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1、数值计算方法,对于一般的非线性方程,没有通常所说的求根公式求其精确解,需要设计近似求解方法,即迭代法。它是一种逐次逼近的方法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。,10.2 迭代法及其收敛性,10.2.1 不动点迭代法的基本概念和迭代格式的构造,将方程（1.1）改写成等价的形式,（2.1）,若要求 满足 ，则 ；反之亦然， 称 为函数 的一个不动点.,求 的零点就等价于求 的不动点，选择一个 初始近似值 ，将它代入(2.1)右端，即可求得,如此反复迭代计算,（2.2）,称为迭代函数.如果对任何 ，由（2.2）得到 的迭代序列 有极限,则称迭代方程(2.
2、2)收敛，且 为 的不动点， 故称（2.2）为不动点迭代法.,上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐式 方程（2.1）归结为一组显式的计算公式（2.2），就是说， 迭代过程实质上是一个逐步显示化的过程.,方程 的求根问题在 平面上就是要确定曲 线 与直线 的交点,对于 的某个近似值 ，在曲线 上可确定 一点 ，它以 为横坐标，而纵坐标则等于,过 引平行 轴的直线，设此直线交直线 于点 ， 然后过 再作平行于 轴的直线，它与曲线 的 交点记作 ，则点 的横坐标为 ，纵坐标则等于,图1-2,例1 求方程,（2.3）,在 附近的根,解 设将方程（2.3）改写成下列形式,按图1-2中箭头所示的路
3、径继续做下去，在曲线 上得到点列 ，其横坐标分别为依公式 求得的迭代值,据此建立迭代公式,如果点列 趋向于点 ，则相应的迭代值 收敛 得到所求的根,各步迭代的结果见表.,如果仅取6位数字，那么结果 与 完全相同，这时可 以认为 实际上已满足方程(2.3)，即为所求的根.,但若采用方程（2.3）的另一种等价形式,建立迭代公式,仍取迭代初值 ，则有,结果会越来越大，不可能趋于某个极限. 这种不收敛的迭 代过程称作是发散的. 一个发散的迭代过程，纵使进行了 千百次迭代，其结果也是毫无价值的.,x2,10.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性,首先考察 在 上不动点的存在唯一性.,定理1 设 满足以
4、下两个条件：,1 映内性 对任意 有,2 压缩性 存在正常数 ,使对 都有,（2.4）,证明 先证不动点存在性.,若 或 ，显然 在 上存在 不动点.,因 ，以下设 及 ，定,义函数,显然 ，且满足 ，由连续函数性质可知存在 使 ，即 即为 的不动点.,再证唯一性.,设 都是 的不动点，则由(2.4)得,引出矛盾. 故 的不动点只能是唯一的. 证毕.,定理.2 设 满足定理1中的两个条件，则 对任意 ，由（2.2）得到的迭代序列 收敛到 的不动点 ，并有误差估计,（2.5）,证明 设 是 在 上的唯一不动点， 由条件1，可知 ，再由（2.4）得,因 ，故当 时序列 收敛到 .,再证明估计式（2
5、.5），由李普希兹条件有,（2.6）,反复递推得,于是对任意正整数 有,在上式令 ，注意到 即得式（2.5）证毕.,迭代过程是个极限过程. 在用迭代法实际计算时，必 须按精度要求控制迭代次数.,误差估计式（2.5）原则上可用于确定迭代次数，但它 由于含有信息 而不便于实际应用.,根据式（2.6），对任意正整数 有,在上式中令 知,由此可见，只要相邻两次计算结果的偏差 足够小即可保证近似值 具有足够精度.,对上述定理中的压缩性， 在使用时如果 且对任意 有,（2.7）,则由中值定理可知对 有,表明定理中的压缩性条件可用（2.7）代替.,例7.2.3中，当 时， ,在 区间 中， ，故（2.7）成
6、立.,又因 ，故定理1中条件1也成立. 所以迭代法是收敛的.,而当 时， 在区间 中 不满足定理条件.,10.3 局部收敛性与收敛阶,上面给出了迭代序列 在区间 上的收敛性， 通常称为全局收敛性. 定理的条件有时不易检验，实际应 用时通常只在不动点 的邻近考察其收敛性，即局部收 敛性.,定义7.2.1 设 有不动点 ，如果存在 的某个邻域 ，对任意 ，迭代（2.2）产生的序列 ，且收敛到 ，则称迭代法（2.2）局部收敛.,定理7.2.3 设 为 的不动点， 在 的某个邻 域连续，且 ，则迭代法（2.2）局部收敛.,证明 由连续函数的性质，存在 的某个邻域 ，使对于任意 成立,此外，对于任意 ，
7、总有 ，这是因为,于是依据定理7.2.2可以断定迭代过程 对于任意 初值 均收敛.,证毕.,解 这里 ，可改写为各种不同的等价形 式 ，其不动点为 由此构造不同的迭代法：,取 ，对上述4种迭代法，计算三步所得的结果如下表.,注意 ，从计算结果看到迭代法（1） 及（2）均不收敛，且它们均不满足定理3中的局部收敛条 件，迭代法（3）和（4）均满足局部收敛条件，且迭代法 （4）比（3）收敛快，因在迭代法（4）中 .,定义7.2.2 设迭代过程 收敛于方程 的根 ，如果迭代误差 当 时成立下列 渐近关系式,则称该迭代过程是 阶收敛的,C为渐进误差常数.特别地, 时称线性收敛， 时称超线性收敛， 时称平方收敛.,证明 先证充分性由于 ，据定理7.2.3立即 可以断定迭代过程 具有局部收敛性.,再将 在根 处做泰勒展开，利用条件（2.8）， 则有,注意到 ，由上式得,因此对迭代误差，当 时有,（2.9）,这表明迭代过程 确实为 阶收敛. 证毕.,上述定理说明，迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数 的选取. 如果当 时 ，则该迭代过 程只可能是线性收敛.,在例7.2.2中，迭代法（3）的 ，故它只是线性 收敛，而迭代法（4）的 ，而 由定理4知 ，即该迭代过程为2阶 收敛.,10.3迭代收敛的加速,
