2019年地统计分析方法ppt课件

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1、地统计分析方法,地统计学,地统计学（Geostatistics）又称地质统计学，是在法国著名统计学家G. Matheron大量理论研究的基础上逐渐形成的一门新的统计学分支。 地统计学：以区域化变量理论为基础，以变异函数为主要工具，研究在空间分布上既有随机性又有结构性，或空间相关和依赖性的自然现象的科学。 地统计学的理论基础是区域化变量理论，两个最基本的函数是协方差函数和变异函数，克立格法是其主要方法之一。,地统计学与经典统计学,经典统计学的相同点：它们都是在大量采样的基础上，通过对样本属性值的频率分布或均值、方差关系及其相应规则的分析，确定其空间分布格局与相关关系。 地统计学的优势：地统计学既

2、考虑到样本值的大小，又重视样本空间位置及样本间的距离，弥补了经典统计学忽略空间方位的缺陷。,1.区域化变量,当一变量呈现为空间分布时，称之为区域化变量。 区域化变量，亦称区域化随机变量，G.Matheron（1963）将它定义为以空间点x的三个直角坐标xu，xv，xw为自变量的随机场: Z（x）=Z（xu，xv，xw） 区域化变量与一般的随机变量不同之处在于，一般的随机变量取值符合一定的概率分布，而区域化变量根据区域内位置的不同而取不同的值。而当区域化变量在区域内确定位置取值时，表现为一般的随机变量，也就是说，它是与位置有关的随机变量。,区域化变量的特征,区域化变量是一个随机变量，它具有局部的

3、、随机的、异常的特征。 区域化变量具有一般的或平均的结构性质，即变量在点x与偏离空间距离为h的点x+h处的值Z(x)和Z(x+h)具有某种程度的相似性，即自相关性，这种自相关性的程度依赖于两点间的距离h及变量特征。 区域化变量还具有空间局限性（即这种结构性表现为一定范围内）、不同程度的连续性和不同程度的各向异性（即各个方向表现出的自相关性有所区别）等特征。,2.协方差函数,空间协方差函数和变异函数能反映区域化变量的随机性和结构性。 1）协方差函数的概念： 在概率论中，随机变量X与Y的协方差定义为： Cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y) (3.8.1) 区域化变量在空间点x和x+h处

4、的两个随机变量的二阶混合中心矩定义为Z(x)的自协方差函数，即: Cov(Z(x),Z(x+h)=EZ(x)Z(x+h)-EZ(x)EZ(x+h) (3.8.2) 容易看出，该函数依赖于空间点x和向量h。,2）协方差函数的计算公式,若 （常数） 则公式（3.8.3）可改写为 式中，m为样本平均数，可由一般平均数求得，即：,(3.8.6),3.变异函数,1）变异函数的概念,2）变异函数的性质,设Z(x)是区域化变量，在满足二阶平稳假设条件下，变异函数公式（3.8.9）具有如下性质： (0)=0，在h=0时，变异函数为0； (h)=(-h)，即(h)关于直线h=0是对称的，它是一个偶函数； (h)

5、0，(h)表示的方差只能大于或等于0； |h|时，(h)c(0)，或()=c(0)，即当空间距离增大时，变异函数接近先验方差 -(h)必须是一个条件非负定函数，由-(xi-xj)构成的变异函数矩阵在条件 时，为非负定的。,3）变异函数的计算公式,设Z(x)是系统某属性Z在空间位置x处的值，Z(x)为一区域化随机变量，并满足二阶平稳假设，h为两样本点空间分隔距离，Z(xi)和Z(xi+h)分别是区域化变量Z(x)在空间位置xi和xi+h处的实测值i=1,2,N(h)，那么，变异函数r(h)的离散计算公式为：,(3.8.10),因此，对不同的空间分隔距离h，计算出相应的c(h)和r(h)值。如果分

6、别以h为横坐标，c*(h)或 r*(h)为纵坐标，画出协方差函数和变异函数曲线图，就可以直接展示区域化变量Z(x)的空间变异特点。可见，变异函数能同时描述区域化变量的随机性和结构性，从而在数学上对区域化变量进行严格分析,是空间 变异规律分析和空 间结构分析的有效 工具。,例1,假设某地区降水量Z(x)(单位:mm)是二维区域化随机变量，满足二阶平稳假设，其观测值的空间正方形网格数据如图所示(点与点之间的距离为h=1km)。试计算其南北方向及西北和东南方向的变异函数。,从上图可以看出，空间上有些点，由于某种原因没有采集到。如果没有缺失值，可直接对正方形网格数据结构计算变异函数；在有缺失值的情况下

7、，也可以计算变异函数。只要“跳过”缺失点位置即可。,缺失值情况下样本数对的组成和计算过程为缺失值,首先计算南北方向上的变异函数值，由变异函数的计算公式可得,同样计算出： 同理可以计算东西方向和西北东南方向上的变异函数。最后，得到南北方向和西北东南方向上的变异函数计算结果见下表：,4）变异函数的参数,变异函数的四个重要参数：基台值、变程、块金值和分维数。前三个参数可以从变异函数图中得到。 基台值当变异函数(h)随着间隔距离h的增大，从非零值达到一个相对稳定的常数时，该常数称为基台值C0+C，它是系统或系统属性中最大的变异； 变程变异函数(h) 达到基台值时的间隔距离a称为变程。表示在ha以后，区

8、域化变量Z(x)空间相关性消失。 块金值当间隔距离h=0时，(0)= C(0)，该值称为块金值或块金方差。表示区域化变量在小于抽样尺度时非连续变异，由区域化变量的属性或测量误差决定。 分维数表示变异函数的特性，由变异函数(h)和间隔距离h之间的关系确定：,5）变异函数的理论模型,地统计学将变异函数理论模型分为3大类： 有基台值模型，包括球状模型、指数模型、高斯模型、线性有基台值模型和纯块金效应模型； 无基台值模型，包括幂函数模型、线性无基台值模型、抛物线模型； 孔穴效应模型。,纯块金效应模型:其一般公式为 式中：c00，为先验方差。该模型相当于区域化变量为随机分布，样本点间的协方差函数对于所有

9、距离h均等于0，变量的空间相关不存在。,球状模型:其一般公式为 式中：c0为块金（效应）常数;c为拱高;c0+c为基台值;a为变程。当c0=0，c=1时，称为标准球状模型。球状模型是地统计分析中应用最广泛的理论模型，许多区域化变量的理论模型都可以用该模型去拟合。,指数模型:其一般公式为 式中：c0和c意义与前相同，但a不是变程。当h=3时， ，即 ，从而指数模型的变程约为3。当c0=0，c=1时，称为标准指数模型。,高斯模型:其一般公式为 式中：c0和c意义与前相同，a也不是变程。当 时 ，即 ，因此高斯模型的变程约为 .当c0=0,c=1时，称为标准高斯函数模型。,幂函数模型:其一般公式为

10、式中：为幂指数。当变化时，这种模型可以反映在原点附近的各种性状。但是必须小于2，若2，则函数r(-h)就不再是一个条件非负定函数了，也就是说它已经不能成为变异函数了。,对数模型:其一般公式为 显然，当h0,logh-，这与变异函数的性质 r(h)0不符。因此，对数模型不能描述点支撑上的区域化变量的结构。,线性有基台值模型:其一般公式为 式中:该模型的变程为a，基台值为c0+ c。 线性无基台值模型:其一般公式为 从式中可以看出，该模型没有基台值，也没有变程。,例2:某地区降水量是一个区域化变量，其变异函数 的实测值及距离h的关系见下表，下面我们试用回归分析方法建立其球状变异函数模型。,从上面的

11、介绍和讨论，我们知道，球状变异函数的一般形式为,当 时，有,如果记 ，则可以得到线性模型 根据表中的数据，对上式进行最小二乘拟合，得到 计算可知，上式的显著性检验参数F=114.054，R2=0.962，可见模型的拟合效果是很好的。,比较两式，并做简单计算可知：c0=2.048，c=1.154，a=8.353，所以，球状变异函数模型为,(3.8.21),4.克立格（Kriging）法简介,1）克立格法概述 克立格法，又称空间局部估计或空间局部插值法，建立在变异函数理论及结构分析基础之上，是在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏最优估计的一种方法。 克立格法是根据待估样本点（或块段）有限邻域内若

12、干已测定的样本点数据，考虑了样本点的形状、大小和空间相互位置关系，与待估样本点的相互空间位置关系，以及变异函数提供的结构信息，对待估样本点值进行的一种线性无偏最优估计。,1）克立格法概述,(1) 适用条件 变异函数和相关分析的结果表明区域化变量存在空间相关性。其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未采样点的区域化变量的取值进行线性无偏、最优估计。 (2) 克立格法的类型 普通克立格法； 泛克立格法； 协同克立格法； 对数正态克立格法； 指示克立格法； 折取克立格法等。 克立格法是一簇空间局部插值模型的总称。,2）克立格估计量,对于研究区域内任一点x的测量值Z(x)，其估计值

13、的估算公式为 估计量 是实际值Zv(xi)的克立格估计量。其中 为权重系数，是各已知样本Z(xi）在估计 时影响大小的系数，估计 的好坏取决于怎样计算或选择权重系数 。问题的关键在于求各点的权重系数。 显然，权重系数的求取必须满足两个条件： 一是使 的估计是无偏的，即偏差的数学期望为零； 二是最优的，即使估计值 和实际值Zv(x)之差的平方和最小。 公式为：,(3.8.22),3)普通克立格法,首先假设区域化变量Z(x)满足二阶平稳和本征假设，其数学期望为m，协方差函数c(h)及变异函数r(h)存在。即 假设在待估块段V的邻域 内，有一组n个已知样本 v(xi)(i=1,2,n)，其实测 值为

14、Z(xi)(i=1,2,n),克立格法的目标就是求一组权重系数i(i=1,2,n),使得加权平均值 成为待估地段V的平均值ZV（x0）的线性、无偏最优估计量，即克立格估计值。为此，需要满足以下两个条件：,无偏性。要使 成为ZV的无偏估计量，即 ,当 时，也就是 当 时，则有 这时， 为ZV的无偏估计量。 最优性。在满足无偏性条件下，估计方差为,使用协方差函数表达，它可以进一步写为 为使估计方差最小，根据拉格朗日乘数原理，令上式为 求公式F对i和的偏导数，并令其为0，得克立格方程组,（3.8.29）,整理后得:,解上述n+1阶线性方程组,求出权重系数i和拉格朗日系数,可得克立格估计方差,（3.8

15、.30）,（3.8.31）,在变异函数存在的条件下，根据协方差与变异函数的关系：c(h)=c(0)-r(h)或r(h)=c(0)-c(h)，也可以用变异函数表示普通克立格方程组和克立格估计方差，即,上述过程也可用矩阵形式表示，令 则普通克立格方程组为: 解方程组式，可得: 其估计方差为:,用变异函数表示普通克立格方程组和克立格方差,例3,在例1中，假设降水量的变异函数为例2中的函数，它是一个各向同性的二维球状模型，已知四个观测点x1，x2，x3，x4的观测值分别为Z(x1)=37(mm)、Z(x2)=42(mm)、Z(x3)=36(mm)、Z(x4)=35(mm),试用普通克立格法内插估计观测点x0的降水量值Z(x0)。 根据普通克立格法的基本原理，我们知道，Z(x0)估计的基本公式应该是,根据公式，可知 根据协方差与变异函数的关系以及式，可得协方差函数,因为i=0,1,2,3,4;j=1,2,3,4,故 当i=j时，c11=c22=c33=c44=c(0)=c0+c=2.048+1.154=3.202 当ij时，由 ，及根据克立格矩阵的对称性，得,将以上计算结果代入克立格方程组，得 所以，克立格权重系数分别为：1=0.287，2=0.210,3=0.202,4=0.301，= -0.473。,观测点x0的降水量的克立格估计值为： 克立格估计方差为,谢谢！,