2019年二章随机变量向量及其概率分布ppt课件

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1、勤学好问必有所获,第二章 随机变量（向量）及其概率分布,随机变量与随机变量分布函数,随机变量的概率函数与随机变量的概率密度函数,几个常用的概率分布,随机向量与随机向量的分布函数,随机向量的概率函数与随机向量的概率密度函数,边际分布与条件分布,随机变量的独立性,随机变量函数的分布,概率论,随机变量与随机变量分布函数 一、随机变量,Random Variable,如果令 表示出现的点数，则 的可能取值为,出现1点；出现2点；出现3点； 出现4点；出现5点；出现6点。,例2.1 某人抛掷一枚骰色子，观察出现的点数。,1. Def 设随机随机试验 的样本空间为 ，如果对于每一个样本点 ，均有唯一的实数

2、 与之对应，且对于任意给定的实数 ，有事件 都是有概率的，则称 为样本空间 上的随机变量。,随机变量的几个特征:,3）随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件。,2）它的取值随试验结果而改变；,1）它是一个变量；,如果 表示国徽面在上面， 表示有字面在上面。,特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了对应关系。,随机变量实例：,随机变量的分类,离散型随机变量,非离散型随机变量,连续型,非连续型,有限或无穷可列取值,无穷且不可列取值,2. 随机变量举例与分类,的可能取值为 。,例2.6 在 区间上随机移动的点，该点的坐标 。,的可能取值为 。,例2.5 一部电话总机在一分钟内收到的呼叫次数 。

3、,的可能取值为 。,例2.4 某个灯泡的使用寿命 。,的可能取值为 。,例2.3 某人抛掷一枚骰子，观察出现的点数 。,二、分布函数 1. 随机变量的概率分布,是一个实函数！,Distribution Function,概率分布的常用表达方式有：,分布函数（“通用型”）；,概率函数或概率密度函数（“针对型”）。,显然，分布函数是一个特殊的随机事件的概率。,3. 分布函数的性质,2. 分布函数概念,函数并作其图像。,解：由题设随机变量的概率分布为,分布函数图像如图2.1所示,概率函数与概率密度函数 一、随机变量的概率函数 1. 离散型随机变量 Def 如果随机变量所有可能取值为有限或无穷可列，则

4、该随机变量称为离散型随机变量。 设离散型随机变量 的所有可能取值是 ，而取值 的概率为 ，即有 则称该式为随机变量 的概率函数。其也可以用下列表达： 并称其为随机变量 的概率分布列，简称分布列。 注意：离散型随机变量的概率分布除用分布函数可以表示以外，还可以利用概率函数或分布列表示，概率函数与分布列是等效的，概率函数或分布列表示更直观、简便。,2. 概率函数或分布列的性质,已知概率函数求分布函数,已知分布函数求概率函数,（1）,3. 概率函数与分布函数的关系,例2.9 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽,的分布律和“至少抽得一件次品”的概率。,解：,例2.10 一名士兵向一目标连续

5、射击，直至其击中目标为,解：,的可能取值为,所以,注意：这种类型的随机变量取值愈大，概率值愈小，是,解: (1) 由概率函数的性质有,解得,(2) 由(1)知随机变量的分布列为,二、随机变量的概率密度函数 1. 连续型随机变量 2. 概率密度的性质,简称概率密度或密度函数。,3. 连续型随机变量与离散型随机变量区别,即有,所以有,该定理表明连续型随机变量的概率分布不能用逐点取,值的概率表达，而只能用概率密度来表达。,对于连续型随机变量总成立下式：,解: 有概率密度的性质知,解: (1)由于连续型随机变量分布函数处处连续，所以有,(2),(3),几个常用的概率分布 引入随机变量的概念以后，客观世

6、界中的许多随机现象，如果抛开其所涉及的具体内容，实质上可以用同一个概率模型（概率分布）来表达。,凡是随机试验只有两个可能的结果，都可以二点分布作为其概率模型。例如：掷硬币观察正反面，产品是否格，人口性别统计，系统是否正常，电力消耗是否超负荷等等。,二点分布所能刻画随机现象：,1. 二点分布（0-1分布）,一、几个常用的离散型概率分布,2. 二项分布 Def 若随机变量 的概率函数为 则称 服从参数为 的二项分布，记为 。,解:,表示该学生至少有3门课及格。,显然，这是一个5重贝努里概型，从而有,二项分布所能刻画随机现象：,例2.15 某保险公司以往资料显示，索赔要求中有8%是,因为被盗而提出来

7、的。现已知该公司某个月共收到10个索,赔要求，试求其中包含4个以上被盗索赔要求的概率。,于是，所求概率为,即10各索赔要求中有4个以上被盗索赔要求的概率为,0.00059,通过该例题的求解，可以看出：,Poisson定理 设随机变量 ， 若 时，有 ，则有,所以,有百分之一的希望 就要做百分之百的努力,实际应用中：当 较大, 较小， 适中时，即可用泊松定理的结果对二项概率进行近似计算。,解:,400次上街400重Bernoulli概型；,由Poisson定理有,若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次，则,这表明随着实验次数的增多，小概率事件是会发生的！,例2.16 某人骑摩托车上街，出

8、事故的概率为0.02，独 立重复上街400次，求至少出两次事故的概率。,3.泊松（Poisson）分布 Def 若随机变量 的概率函数为 则称 服从参数为 的二项分布，记为 。,服务台在某时间段内接待的服务次数； 交换台在某时间段内接到呼叫的次数； 矿井在某段时间发生事故的次数； 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目； 单位体积空气中含有某种微粒的数目； 单位时间内市级医院急诊病人数； 一本书中每页印刷错误的个数。,泊松分布所能刻画随机现象：,特别注意: 体积相对较小的物质，在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其参数 可以由观测值的平均值求出。,二、几个常用的连续型概率分布 1. 均

9、匀分布（Uniform Distribution） Def 若随机变量 的概率密度函数为 则称随机变量 服从区间 上的均匀分布，记为,均匀分布所能刻画随机现象：,2. 指数分布（Exponential Distribution） Def 若随机变量 的概率密度函数为 则称随机变量 服从参数为 的指数分布，记为,指数分布所能刻画随机现象： 随机服务系统中的服务时间； 电话的通话时间； 无线电元件的寿命；动植物的寿命。,3. 正态分布（Normal Distribution） Def 若随机变量 的概率密度函数为 其中参数 满足 ，则称随机变量 服从参数为 的正态分布，记为 。,Gauss,图像以

10、 轴为渐近线。,图像在点 处有拐点；,图像关于直线 对称；,图像呈单峰状；,正态分布概率密度函数的图像特点：,参数 对密度曲线的影响,相同 不同 密度曲线情况,相同 不同 密度曲线情况,位置参数变化,形状参数变化,正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随 机现象都是服从或近似服从正态分布的。事实上如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布。 正态分布可以作为许多分布的近似分布。 正态分布有许多其它分布所不具备的良好的性质。,各种测量的误差；人的生理特征指标； 工厂产品的尺寸；农作物的收获量； 海洋波浪的高度；金属

11、线的抗拉强度； 热噪声电流强度；学生们的考试成绩等等,若随机变量 受到众多相互独立的随机因素的影响，每,一个别因素的影响都是微小的，而且这些影响具有加性特征,，则 服从正态分布。例如：,正态分布所能刻画的随机现象：,正态分布是概率论中最重要的分布，体现在以下方面：,标准正态分布的概率计算,分布函数,利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值，从而解决概率计算问题。,解: 查表知,所以有,一般正态分布的概率计算,分布函数,在求解一般正态分布的概率计算问题时，现将其转化为标准正态分布问题，然后利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值，从而解决概率计算问题。,标准正态分布的分位数,双侧分位数,标准正态

12、分布双侧分位数的意义如图2.1所示 。,双侧分位数的计算方法：,查标准正态分布函数值表便可得,也可直接查依据上式编制的标准正态分布双侧分位数表。,由定义知,上侧分位数,标准正态分布上侧分位数 的意义如图2.2所示 。,上侧分位数的计算方法： 由定义知,查标准正态分布函数值表便可得,也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系，借助于标准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查 的双侧分位数。,对于有些随机试验，要定量化表达其结果用一个随机变量来描述还不够，往往需要两个或两个以上变量作为整体来描述。 例如：在打靶时，命中 点的位置是由一对随机变量 (两个坐标)来确定的。 飞机的重心在空中的位 置

13、是由三个随机变量来确定 的等等。 这就需要研究随机向量的概率规律。 一、随机向量的概念 1. 随机向量的定义 Def 设 为 个随机变量，如果 能表达随机试验 的结果，则称 为 维随机向量；有时也称为 维随机变量， 称为第 个分量。,随机向量与随机向量的分布函数,2. 二维随机向量的分布函数 Def 设 为二维随机向量， 为平面内任意一点，则 称为二维随机向量 的分布函数，也称为 与 的联合分布函数。,(2),(1) 即非负有界性；,3. 分布函数的性质,(3) 关于 或 为非减函数；,解: 由题设条件知试验结果需用随机向量 表示，且其概率分布如下表所示：,(4) 关于 或 至少是右连续的；,

14、(5) 对于任意的数 有,性质(5)的概率意义如图2.4，即就 随机点游荡到红色区域的概率。,例2.20 设某人同时抛掷一枚5分 和一枚1分均匀硬币，用 分 别表示5分硬币出现国徽面与有字 面；用 分别表示1分硬币出 现国徽面与有字面。试将该试验结果 用变量形式表示，并求其分布函数。,4. 二维随机向量的边际分布与边际分布函数 Def 设 为二维随机向量，则称随机变量 与 的概率分布分别为随机向量 关于分量 和 的边际概率分布；随机变量 与 的分布函数分别称为随机向量 关于分量 和 的边际分布函数。,从而由分布函数的定义有,随机向量 的分布函数与边际分布函数的关系式表明，边际分布函数由随机向量

15、 的分布函数唯一确定，但反之未必成立。,随机向量 的分布函数与边际分布函数的关系,证明:（只证明第一式，第二式同理可证） 由随机变量分布函数的定义,所以有,的分布函数为,例2.21设随机向量,(2),(3),解: (1)由边际分布函数的定义,二维离散型随机向量与二维连续型随机向量 一、二维离散型随机向量与其概率分布的表达 1. 二维离散型随机向量 Def 设 为二维随机向量，如果 的所有可能取值点是平面上的有限个或无穷可列个点，则称 为二维离散型随机向量。 2. 二维离散型随机向量概率函数 Def 设 为二维离散型随机向量，其所有可能取值点及其对应概率如下表所示，称其为 的概率分布表。,而称

16、为随机向量 的概率函数或随机变量 与 的联合概率函数。,如已知随机向量 分布函数 ，则有,则有,如已知随机向量 概率函数,4. 随机向量概率函数与分布函数的关系,(2) （归一性）,(1) （非负性）,3. 随机向量概率函数的性质,例2.22 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1, 2, 2， 从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各球被取到的可能性相等。以 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字， 求 的概率分布。,同理可得,解: 由题目条件随机向量 所有可能取值点为,从而 的概率函数为,一般求概率函数 采用以下公式： 例2.23 整数 等可能的取值1,2,3,4，整数 等可能的