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1、一次函数和二次函数【学习目标】1.掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，会判断函数的单调性；2会求函数的最大值、最小值，能利用配方法解决二次函数的问题；3.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式。【要点梳理】要点一、一次函数的性质与图象1一次函数的概念(1)深刻理解斜率这个概念 定义：一次函数ykx+b(k0)的图象是一条直线，以后简写为直线ykx+b，其中k叫做该直线的斜率 用运动的观点理解斜率k 函数的改变量与自变量的改变量的比值等于常数k 从对图象的单调性的影响上理解斜率k 当k0时，一次函数是增函数；当k0时，一次函数是减函数 (2)深刻理解截距b的含义 定义：一
2、次函数ykx+b(k0)的图象是一条直线，以后简写为直线ykx+b，其中b叫做该直线在y轴上的截距 b的取值范围：bR b的几何意义：直线ykx+b与y轴的交点的纵坐标 点(0，b)是直线ykx+b与y轴的交点当b0时，此交点在y轴的正半轴上；当b0时，此交点在y轴的负半轴上；当b0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数2一次函数的图象和性质一次函数图象性质单调性奇偶性k0b0增函数奇函数b0增函数非奇非偶函数k0b0减函数奇函数b0减函数非奇非偶函数 (1)图象的形状：一次函数的图象是一条直线，一次函数ykx+b，也称作直线ykx+b (2)图象的画出：因为两点确定一条直线，所以画一
3、次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可 (3)图象的特点：正比例函数ykx的图象是经过原点(0，0)的一条直线一次函数ykx+b的图象是经过y轴上点(0，b)的一条直线 (4)画法技巧： 画正比例函数ykx的图象，通常取(0，0)、(1，k)两点连线画一次函数ykx+b的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b)、两点连线，原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确但由于多数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x和y都是整数的情形3一次函数性质的应用(1)函数的改变量与自变量的改变量的比值等于常数k (2)当k0时，一次函数是增函数；当k0时，一次函数是减函数 (3)当b0时，一次函数变为正
4、比例函数，是奇函数；当b0时，它既不是奇函数，也不是偶函数 (4)直线ykx+b与x轴的交点为，与y轴的交点为(0，b)要点诠释：一次函数ykx+b(k0)的性质可从两方面来理解： 图象与坐标轴的交点，大家知道x轴、y轴上的点的纵坐标、横坐标都分别为0，所以在解析式ykx+b中分别令x0，y0，得yb，从而得出直线ykx+b与x轴、y轴的交点分别是、B(0，b)，这是要熟记的，另外还要知道ykx+b与正比例函数ykx的图象的平行关系 函数的增减性，也就是：当k0时，y随x增大而增大；当k0时，y随x的增大而减小其含义是：当k0时，如果x越来越大，那么y的值也越来越大；当k0时，如果x越来越大，
5、那么y的值越来越小 对于直线ykx+b(k0)而言：当k0，b0时，直线经过一、二、三象限；当k0，b0时，直线经过一、三、四象限；当k0，b0时，直线经过一、二、四象限；当k0，b0时，直线经过二、三、四象限 4一次函数的最值问题求一次函数ykx+b(k0)在某一区间a，c上的值域的方法是：由于一次函数在某一区间a，c上是单调的，所以它在区间的两个端点上取得最值，当k0时，它的值域为f(a)，f(c)，当k0时，它的值域为f(c)，f(a) 5一次函数的保号性及应用 性质1：已知函数，如果有，则对任意都有这个性质称为函数在区间上的保号性同样，在区间，上也具有保号性 性质2：若一次函数在区间上
6、有，则在内必存在一点x0使 要点二：二次函数的性质与图象1函数的图象和性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来研究，下面结合图象将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向顶点坐标对称轴单调性最大(小)值yax2(a0)向上(0,0)y轴在区间上是减函数，在区间上是增函数当x0时，yax2(a0)向下(0,0)y轴在区间上是增函数，在区间上是减函数当x0时，要点诠释：函数中的系数a对函数图象的影响：(1)当a0时，开口向上，a越小，开口越大，在(-，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增；(2)当a0时，开口向下，a的绝对值越
7、小，开口越大，在(-，0)上单调递增，在(0，+)单调递减2二次函数的图象和性质(1)二次函数的图象和性质如下表：函数二次函数图象a0a0性质抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向上，并向下无限延伸对称轴是直线，顶点坐标是对称轴是直线，顶点坐标是在区间上是减函数，在区间上是增函数在区间上是增函数，在区间上是减函数抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值， (2)配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数幂和的形式通过配方解决数学问题的方法叫配方法其中，用的最多的是配成完全平方式配方法是数学中一种重要的恒等变形的方
8、法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明不等式和等式、求函数最值和解析式等方面都经常用到它对任何二次函数都可通过配方化为：其中，(3)关于配方法要注意两点：要把二次项系数化为1，方法是提取二次项的系数；找准一次项的系数，加上它的一半的平方(目的是配成完全平方式)，再减去这个平方数(目的是保持恒等)3二次函数的解析式(1)一般式：(2)顶点式：，顶点(h，k)(3)交点式：，x1，x2为二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标 求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之要点诠释：若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为
9、一般式，a、b、c为常数，a0的形式若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式，其中顶点为(h，k)，a为常数，且a0若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，则设所求二次函数为交点式，a为常数，且a04二次函数的图象画法与平移(1)二次函数的图象的画法： 因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特征：有顶点；有对称轴；有开口方向所以，画二次函数的图象通常采用简化了的描点法五点法，其步骤如下：(i)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点时，并用虚线画出对称轴； (ii)求抛物线与坐标轴的交点 当抛物线与
10、x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D将这五个点按从左到右的顺序连起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后连线，画出二次函数的图象 (2)二次函数的平移规律任意抛物线都可转化为的形式，都可由的图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示 即上述平移规律“h值正、负，右、左移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”5二次函数的最值求解
11、 二次函数的最大值与最小值，可以从函数解析式的变形和函数的图象两方面去理解 (1)从函数的解析式来研究，对于，通过配方可化为的形式，再对进行研究 一般地，对于二次函数， 当a0时，y有最小值； 当a0时，y有最大值(2)从函数的图象来研究，二次函数的图象是抛物线，又称抛物线，一般描出五个点可画出图象二次函数的图象如图所示 当a0时，抛物线开口向上，它的顶点恰是抛物线的最低点，显然纵坐标y有最小值，最小值是； 当a0时，抛物线开口向下，它的顶点恰是抛物线的最高点，显然纵坐标y有最大值，最大值是6二次函数的对称轴及其应用 根据教材中例题知道对称轴为x-4，由此推导出反过来，如果已知，则可得该函数的
12、对称轴为x-4现总结如下：(1)若某函数(不一定是二次函数)满足(a为常数)，则该函数的对称轴为xa(2)若某函数(不一定是二次函数)满足(a为常数)，则该函数的对称轴为xa (3)若某函数(不一定是二次函数)满足(且a，b为常数)，则该函数的对称轴为实际上(2)与(1)是等价的，在(1)中令a+xt，则xt-a， ， ，即要点三、待定系数法1待定系数法的定义（1）一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法.（2）根据题设求待定系数的方法列方程组用特殊
13、值法列方程组；根据多项式恒等定理列方程组；利用定义本身的属性列方程（组）；利用几何条件列方程（组）。（3）待定系数法的理论根据是多项式恒等定理，即如果，那么。2待定系数法求解题的基本步骤(1)设出含有待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；(3)解方程（组），求出待定系数的值，从而写出函数解析式.【典型例题】类型一：一次函数的图象和性质例1已知为一次函数且满足，求函数在-1，1上的最大值，并比较和的大小举一反三：【变式1】对于每一个，设取，三个函数中的最小值，用分段函数写出的解析式，并求的最大值例2. 设函数f(x)=(3a-1)x+b-a，x0，1，若f(x)1恒成立，求a+b的最大值.例3（1）设函数，当x满足0x1时，要使y0，1，k应取怎样的值？（2）对任意的k-1，1，函数的值恒大于零，求x的取值范围 举一反三：【变式1】 对于的一切，求使不等式都成立的的范围。类型二：二次函数的图象及性质例4已知二次函数与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式例5(1)已知二次函数满足，且，试求此二次函数的解析式；(2)已知二次函
