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1、第 3 讲圆锥曲线的综合问题 1(2014 福建改编 )设 P，Q 分别为圆x2(y6)22 和椭圆 x2 10y 21 上的点，则 P，Q 两点 间的最大距离是_ 2(2015 陕西 )如图，椭圆E： x2 a2 y2 b21(ab0)，经过点 A(0， 1)，且离心率为 2 2 . (1)求椭圆 E 的方程； (2)经过点 (1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P，Q(均异 于点 A)，证明：直线AP 与 AQ 的斜率之和为2. 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查 范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要
2、综合应用函数与方程、数 形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大. 热点一范围、最值问题 圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)， 或者利用式子的几何意义求解 例 1(2015 重庆 )如图，椭圆 x2 a2 y2 b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、 F2，过 F2的直线交椭圆于P，Q 两点，且PQPF1. (1)若 PF122，PF222，求椭圆的标准方程； (2)若 PQ PF1，且 3 4 4 3，试确定椭圆离心率 e的取值范围 思维升华解决范围问题的常用方法： (1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端
3、位置后，数形结合求解 (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解 (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域 跟踪演练1已知椭圆 C 的左，右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为 1 2，且椭圆经过点 P(1， 3 2) (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)线段 PQ 是椭圆过点F2的弦，且 PF2 F2Q ，求 PF1Q 内切圆面积最大时实数 的值 热点二定点、定值问题 1由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0， y0)；若得到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过定点(0，m) 2解
4、析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜 率等 )的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终 是一个确定的值 例 2椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 2，其左焦点到点 P(2,1)的距离为10. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若直线 l： ykxm 与椭圆 C 相交于 A，B 两点 (A， B 不是左，右顶点)，且以 AB 为直径 的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标 思维升华(1)动直线 l 过定点问题解法： 设动直线方程(斜率存在 )为 ykxt，由题设条件
5、将 t 用 k 表示为 tmk，得 y k(xm)，故动直线过定点(m,0)(2)动曲线 C 过定点问题解法： 引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点 跟踪演练2已知直线l：y x6，圆 O：x2y25，椭圆 E：y 2 a2 x2 b21(ab0)的离心率 e 3 3 ，直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等 (1)求椭圆 E 的方程； (2)过圆 O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之 积为定值 热点三探索性问题 1解析几何中的探索性问题，从类型上看， 主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常 采用
6、“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、 曲线或参数 )存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则 元素 (点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在 2反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法 例 3如图，抛物线 C：y22px 的焦点为F，抛物线上一定点Q(1,2) (1)求抛物线C 的方程及准线l 的方程； (2)过焦点 F 的直线 (不经过 Q 点)与抛物线交于A， B 两点，与准线l 交于点M，记 QA，QB，QM 的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在 常数 ，使得 k1k2k3成立，若存
7、在 ，求出 的值；若不存在，说明理由 思维升华解决探索性问题的注意事项： 存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存 在 (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论 (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件 (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径 跟踪演练3(2015 四川 )如图，椭圆E： x2 a2 y2 b2 1(ab0)的离心率是 2 2 ，点 P(0,1)在短轴 CD 上，且 PC PD 1. (1)求椭圆 E 的方程； (2)设 O 为坐标原点， 过点 P 的动直线与椭圆交于A，B 两点是否
8、存在常数 ，使得 OA OB P A PB 为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由 已知椭圆C1：x 2 a2 y2 3 1(a0)与抛物线C2：y2 2ax 相交于 A，B 两点，且两曲线的焦点F 重 合 (1)求 C1，C2的方程； (2)若过焦点F 的直线 l 与椭圆分别交于M，Q 两点，与抛物线分别交于P，N 两点，是否存 在斜率为k(k0)的直线 l，使得 PN MQ 2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由 提醒：完成作业专题六第 3 讲 二轮专题强化练 第 3 讲圆锥曲线的综合问题 A 组专题通关 1已知椭圆方程为 x2 a2 y2 b21(ab0)，它的一个顶点为
9、 M(0,1)，离心率e 6 3 ，则椭圆的方 程为 _ 2已知椭圆 x2 4 y2 b2 1(0bb0)的离心率为 e 1 2，右焦点为 F(c,0)，方程ax2 bxc0 的两个 实根分别为x1和 x2，则点 P(x1，x2)和圆 x2y22 的位置关系是_ 5已知 F1，F2是椭圆 x2 a2 y2 b21(ab0)的左， 右焦点， 过 F 1的直线与椭圆相交于A，B 两点， 若AB AF2 0，且 |AB |AF2 |，则椭圆的离心率为_ 6已知双曲线x2 y2 3 1 的左顶点为A1，右焦点为 F2，P 为双曲线右支上一点，则PA1 PF2 的 最小值为 _ 7已知 A(1,2)，
10、B(1,2)，动点P 满足 AP BP .若双曲线 x2 a2 y2 b2 1(a0，b0)的渐近线与动 点 P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是_ 8在直线 y 2 上任取一点Q，过 Q 作抛物线x24y 的切线，切点分别为 A、B，则直线 AB 恒过定点 _ 9已知抛物线x22py(p0)，过点 M(0，m)的直线 l 与抛物线交于A，B 两点，又过A，B 两 点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点P. (1)求证：两条切线的斜率之积为定值； (2)当 p m 4 时，求 P AB 面积的最小值 10已知椭圆C： x2 a2 y2 b21(ab0)的短轴长为 2，离心率为 2
11、2 ，过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点， O 为坐标原点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 B 点关于 x 轴的对称点是N，证明：直线AN 恒过一定点 B 组能力提高 11已知直线ya 交抛物线yx2于 A，B 两点若该抛物线上存在点C，使得 ACB 为直 角，则 a 的取值范围为_ 12 直线 3x4y40 与抛物线 x2 4y 和圆 x2(y 1)21 从左到右的交点依次为 A、 B、 C、 D，则 AB CD 的值为 _ 13(2015 课标全国 )已知椭圆C：9x2y2m2(m 0)，直线 l 不过原点O 且不平行于坐标 轴， l 与 C 有两个交点
12、A，B，线段 AB 的中点为M. (1)证明：直线OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值； (2)若 l 过点 m 3 ，m ，延长线段OM 与 C 交于点 P，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能， 求此时 l 的斜率；若不能，说明理由 学生用书答案精析 第 3 讲圆锥曲线的综合问题 高考真题体验 16 2 解析如图所示，设以(0,6)为圆心， 以 r 为半径的圆的方程为x 2(y6)2r2(r0)，与椭圆方程 x2 10y 21 联立得方程组， 消掉 x2 得 9y212yr2460. 令 12249(r246)0， 解得 r2 50，即 r5 2. 由题意易知P，Q 两点间的最大距离为
13、r26 2. 2(1)解由题设知 c a 2 2 ，b1， 结合 a 2b2c2，解得 a 2， 所以椭圆的方程为 x2 2 y21. (2)证明由题设知，直线PQ 的方程为y k(x1)1(k2)，代入 x2 2 y21， 得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知 0， 设 P(x1， y1)，Q(x2，y2)，x1x2 0， 则 x1 x2 4k k1 12k2 ，x1x2 2k k2 12k2 ， 从而直线AP，AQ 的斜率之和 kAPkAQ y11 x1 y21 x2 kx12k x1 kx22k x2 2k(2k) 1 x1 1 x2 2k(2k) x1x2 x1x2
14、2k(2k) 4k k1 2k k2 2k2(k1)2. 热点分类突破 例 1解(1)由椭圆的定义， 2aPF1PF2(22)(22)4，故 a2. 设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，因此 2cF1F2PF21PF 2 2 22 2 2 2 22 3， 即 c3，从而 ba2c21. 故所求椭圆的标准方程为 x2 4 y21. (2)如图，由PF1PQ， PQ PF1，得 QF1PF 2 1PQ 2 1 2PF1. 由椭圆的定义，PF1PF22a，QF1QF22a， 进而 PF1 PQQF14a， 于是 (1 1 2)PF 14a， 解得 PF1 4a 1 1 2， 故 PF22aPF1
15、 2a 1 21 1 1 2 . 由勾股定理得 PF21PF22F1F 2 2(2c)24c2， 从而 4a 1 1 2 2 2a 1 2 1 1 1 2 2 4c2， 两边除以4a2，得 4 1 1 2 2 1 212 1 1 2 2 e 2. 若记 t1 1 2，则上式变成 e2 4 t 2 2 t2 8 1 t 1 4 21 2. 由 3 4 4 3，并注意到 1 1 2关于 的单调性，得 3 t4， 即 1 4 1 t 1 3. 进而 1 2e 25 9， 即 2 2 e 5 3 . 跟踪演练1解(1)e c a 1 2，P(1， 3 2)满足 1 a2 3 2 2 b2 1， 又 a
16、2 b2c2， a24，b23， 椭圆标准方程为 x2 4 y2 3 1. (2)显然直线PQ 不与 x 轴重合， 当直线 PQ 与 x 轴垂直时， PQ3，F1F22， 1 PF QSV 3； 当直线 PQ 不与 x 轴垂直时，设直线PQ：yk(x1)，k0 代入椭圆C 的标准方程， 整理，得 (34k2)y26ky9k20， 0，y1y2 6k 34k2，y 1 y2 9k2 34k2 . 1 PF Q SV 1 2 F 1F2|y1y2| 12 k2k4 34k2 2 ， 令 t34k2，t3，k2 t 3 4 ， 1 PF Q SV 33 1 t 1 3 24 3， 01 t b0)， 由 e c a 1 2，得 a2c，a 2b2c2， b23c2， 则椭圆方程变为 x2 4c2 y2 3c21.
