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1、第 3 讲圆锥曲线的综合问题 1(2014 福建改编 )设 P,Q 分别为圆x2(y6)22 和椭圆 x2 10y 21 上的点,则 P,Q 两点 间的最大距离是_ 2(2015 陕西 )如图,椭圆E: x2 a2 y2 b21(ab0),经过点 A(0, 1),且离心率为 2 2 . (1)求椭圆 E 的方程; (2)经过点 (1,1),且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P,Q(均异 于点 A),证明:直线AP 与 AQ 的斜率之和为2. 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体,以参数处理为核心,考查 范围、最值问题,定点、定值问题,探索性问题.2.试题解答往往要
2、综合应用函数与方程、数 形结合、分类讨论等多种思想方法,对计算能力也有较高要求,难度较大. 热点一范围、最值问题 圆锥曲线中的范围、最值问题,可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值), 或者利用式子的几何意义求解 例 1(2015 重庆 )如图,椭圆 x2 a2 y2 b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、 F2,过 F2的直线交椭圆于P,Q 两点,且PQPF1. (1)若 PF122,PF222,求椭圆的标准方程; (2)若 PQ PF1,且 3 4 4 3,试确定椭圆离心率 e的取值范围 思维升华解决范围问题的常用方法: (1)数形结合法:利用待求量的几何意义,确定出极端
3、位置后,数形结合求解 (2)构建不等式法:利用已知或隐含的不等关系,构建以待求量为元的不等式求解 (3)构建函数法:先引入变量构建以待求量为因变量的函数,再求其值域 跟踪演练1已知椭圆 C 的左,右焦点分别为F1,F2,椭圆的离心率为 1 2,且椭圆经过点 P(1, 3 2) (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)线段 PQ 是椭圆过点F2的弦,且 PF2 F2Q ,求 PF1Q 内切圆面积最大时实数 的值 热点二定点、定值问题 1由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:yy0k(xx0),则直线必过定点(x0, y0);若得到了直线方程的斜截式:ykxm,则直线必过定点(0,m) 2解
4、析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜 率等 )的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终 是一个确定的值 例 2椭圆 C: x2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 2,其左焦点到点 P(2,1)的距离为10. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l: ykxm 与椭圆 C 相交于 A,B 两点 (A, B 不是左,右顶点),且以 AB 为直径 的圆过椭圆C 的右顶点,求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标 思维升华(1)动直线 l 过定点问题解法: 设动直线方程(斜率存在 )为 ykxt,由题设条件
5、将 t 用 k 表示为 tmk,得 y k(xm),故动直线过定点(m,0)(2)动曲线 C 过定点问题解法: 引入参变量建立曲线C 的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点 跟踪演练2已知直线l:y x6,圆 O:x2y25,椭圆 E:y 2 a2 x2 b21(ab0)的离心率 e 3 3 ,直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等 (1)求椭圆 E 的方程; (2)过圆 O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线,若切线都存在斜率,求证:两切线的斜率之 积为定值 热点三探索性问题 1解析几何中的探索性问题,从类型上看, 主要是存在类型的相关题型,解决这类问题通常 采用
6、“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、 曲线或参数 )存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则 元素 (点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在 2反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法 例 3如图,抛物线 C:y22px 的焦点为F,抛物线上一定点Q(1,2) (1)求抛物线C 的方程及准线l 的方程; (2)过焦点 F 的直线 (不经过 Q 点)与抛物线交于A, B 两点,与准线l 交于点M,记 QA,QB,QM 的斜率分别为k1,k2,k3,问是否存在 常数 ,使得 k1k2k3成立,若存
7、在 ,求出 的值;若不存在,说明理由 思维升华解决探索性问题的注意事项: 存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存 在 (1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论 (2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件 (3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径 跟踪演练3(2015 四川 )如图,椭圆E: x2 a2 y2 b2 1(ab0)的离心率是 2 2 ,点 P(0,1)在短轴 CD 上,且 PC PD 1. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设 O 为坐标原点, 过点 P 的动直线与椭圆交于A,B 两点是否
8、存在常数 ,使得 OA OB P A PB 为定值?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由 已知椭圆C1:x 2 a2 y2 3 1(a0)与抛物线C2:y2 2ax 相交于 A,B 两点,且两曲线的焦点F 重 合 (1)求 C1,C2的方程; (2)若过焦点F 的直线 l 与椭圆分别交于M,Q 两点,与抛物线分别交于P,N 两点,是否存 在斜率为k(k0)的直线 l,使得 PN MQ 2?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由 提醒:完成作业专题六第 3 讲 二轮专题强化练 第 3 讲圆锥曲线的综合问题 A 组专题通关 1已知椭圆方程为 x2 a2 y2 b21(ab0),它的一个顶点为
9、 M(0,1),离心率e 6 3 ,则椭圆的方 程为 _ 2已知椭圆 x2 4 y2 b2 1(0bb0)的离心率为 e 1 2,右焦点为 F(c,0),方程ax2 bxc0 的两个 实根分别为x1和 x2,则点 P(x1,x2)和圆 x2y22 的位置关系是_ 5已知 F1,F2是椭圆 x2 a2 y2 b21(ab0)的左, 右焦点, 过 F 1的直线与椭圆相交于A,B 两点, 若AB AF2 0,且 |AB |AF2 |,则椭圆的离心率为_ 6已知双曲线x2 y2 3 1 的左顶点为A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点,则PA1 PF2 的 最小值为 _ 7已知 A(1,2),
10、B(1,2),动点P 满足 AP BP .若双曲线 x2 a2 y2 b2 1(a0,b0)的渐近线与动 点 P 的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是_ 8在直线 y 2 上任取一点Q,过 Q 作抛物线x24y 的切线,切点分别为 A、B,则直线 AB 恒过定点 _ 9已知抛物线x22py(p0),过点 M(0,m)的直线 l 与抛物线交于A,B 两点,又过A,B 两 点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点P. (1)求证:两条切线的斜率之积为定值; (2)当 p m 4 时,求 P AB 面积的最小值 10已知椭圆C: x2 a2 y2 b21(ab0)的短轴长为 2,离心率为 2
11、2 ,过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点, O 为坐标原点 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 B 点关于 x 轴的对称点是N,证明:直线AN 恒过一定点 B 组能力提高 11已知直线ya 交抛物线yx2于 A,B 两点若该抛物线上存在点C,使得 ACB 为直 角,则 a 的取值范围为_ 12 直线 3x4y40 与抛物线 x2 4y 和圆 x2(y 1)21 从左到右的交点依次为 A、 B、 C、 D,则 AB CD 的值为 _ 13(2015 课标全国 )已知椭圆C:9x2y2m2(m 0),直线 l 不过原点O 且不平行于坐标 轴, l 与 C 有两个交点
12、A,B,线段 AB 的中点为M. (1)证明:直线OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (2)若 l 过点 m 3 ,m ,延长线段OM 与 C 交于点 P,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能, 求此时 l 的斜率;若不能,说明理由 学生用书答案精析 第 3 讲圆锥曲线的综合问题 高考真题体验 16 2 解析如图所示,设以(0,6)为圆心, 以 r 为半径的圆的方程为x 2(y6)2r2(r0),与椭圆方程 x2 10y 21 联立得方程组, 消掉 x2 得 9y212yr2460. 令 12249(r246)0, 解得 r2 50,即 r5 2. 由题意易知P,Q 两点间的最大距离为
13、r26 2. 2(1)解由题设知 c a 2 2 ,b1, 结合 a 2b2c2,解得 a 2, 所以椭圆的方程为 x2 2 y21. (2)证明由题设知,直线PQ 的方程为y k(x1)1(k2),代入 x2 2 y21, 得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0,由已知 0, 设 P(x1, y1),Q(x2,y2),x1x2 0, 则 x1 x2 4k k1 12k2 ,x1x2 2k k2 12k2 , 从而直线AP,AQ 的斜率之和 kAPkAQ y11 x1 y21 x2 kx12k x1 kx22k x2 2k(2k) 1 x1 1 x2 2k(2k) x1x2 x1x2
14、2k(2k) 4k k1 2k k2 2k2(k1)2. 热点分类突破 例 1解(1)由椭圆的定义, 2aPF1PF2(22)(22)4,故 a2. 设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,因此 2cF1F2PF21PF 2 2 22 2 2 2 22 3, 即 c3,从而 ba2c21. 故所求椭圆的标准方程为 x2 4 y21. (2)如图,由PF1PQ, PQ PF1,得 QF1PF 2 1PQ 2 1 2PF1. 由椭圆的定义,PF1PF22a,QF1QF22a, 进而 PF1 PQQF14a, 于是 (1 1 2)PF 14a, 解得 PF1 4a 1 1 2, 故 PF22aPF1
15、 2a 1 21 1 1 2 . 由勾股定理得 PF21PF22F1F 2 2(2c)24c2, 从而 4a 1 1 2 2 2a 1 2 1 1 1 2 2 4c2, 两边除以4a2,得 4 1 1 2 2 1 212 1 1 2 2 e 2. 若记 t1 1 2,则上式变成 e2 4 t 2 2 t2 8 1 t 1 4 21 2. 由 3 4 4 3,并注意到 1 1 2关于 的单调性,得 3 t4, 即 1 4 1 t 1 3. 进而 1 2e 25 9, 即 2 2 e 5 3 . 跟踪演练1解(1)e c a 1 2,P(1, 3 2)满足 1 a2 3 2 2 b2 1, 又 a
16、2 b2c2, a24,b23, 椭圆标准方程为 x2 4 y2 3 1. (2)显然直线PQ 不与 x 轴重合, 当直线 PQ 与 x 轴垂直时, PQ3,F1F22, 1 PF QSV 3; 当直线 PQ 不与 x 轴垂直时,设直线PQ:yk(x1),k0 代入椭圆C 的标准方程, 整理,得 (34k2)y26ky9k20, 0,y1y2 6k 34k2,y 1 y2 9k2 34k2 . 1 PF Q SV 1 2 F 1F2|y1y2| 12 k2k4 34k2 2 , 令 t34k2,t3,k2 t 3 4 , 1 PF Q SV 33 1 t 1 3 24 3, 01 t b0), 由 e c a 1 2,得 a2c,a 2b2c2, b23c2, 则椭圆方程变为 x2 4c2 y2 3c21.