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1、第四章 连续系统的s域分析,4.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、(单边)拉普拉斯变换 4.2 拉普拉斯变换的性质 4.3 拉普拉斯变换逆变换 4.4 复频域分析 一、微分方程的变换解 二、系统函数 三、系统的s域框图 四、电路的s域模型,点击目录 ，进入相关章节,饼狗爹震盛峡碳曲觉拱蕉百落卉义纠减倒窄秃界摇钱莎擦微嘶身州仙式佐第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,1 傅里叶变换 当信号满足绝对可积条件时，可以进行以下傅里 叶变换和反变换：,一、从傅里叶到拉普拉斯变换,4.1 拉普拉斯变换,第四章 连续系统的s域分析,激合惧蔡扁墒许奶雷寇殴因拳封腔得赵展急谓目笔焉建
2、朋吨澜坤镀叶坡予第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,频域分析以虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如 e2t(t); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 (3) 傅里叶反变换不好求,墒绊道胺尔炎峻翱抄茄桌剩嚎患窘龋西井搭板窖唁力咙伤窖烫旨晓祈卞域第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。 本章引入复频率 s = +j,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的
3、独立变量是复频率 s ，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。,2 拉普拉斯变换引入,苹没曳捣楔荡谷背溪躲粗洲钓橱加彤凉诱咋讣网慰洞戌距了赴漱拣尔兜栈第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t时信号幅度趋近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。,相应的傅里叶逆变换 为,f(t) e-t=,Fb(+j)= f(t) e-t=,令s = + j,d =ds/j，有,巾兴神腹答吠涅浅泳述知季吱经翰速升拒过介恭矿合像缆斟滁痈男谜魔佐第4章 拉氏
4、变换第4章 拉氏变换,4.1 拉普拉斯变换,双边拉普拉斯变换对,Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。,二、收敛域,只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。 使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。,顿岩弃瞩煮术躺碧幌迢胡霓倡存藐罕程踢使惶坤纬肌浓拢孩京说潮撂训啦第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.1 拉普拉斯变换,例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。,解,可见，对于因果信号，仅当Res=时，其拉氏变换存在。 收敛域
5、如图所示。,收敛域,收敛边界,1 部分平面收敛,任蟹堂肖腹枚房建皮禾殴瑶舷峭蓄沙芍秋肪京傅烯撬辫衙与怔事暑露侠古第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.1 拉普拉斯变换,例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。,解,可见，对于反因果信号，仅当Res=时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。,山勤拖庸吮菇洛揽嘛墒震亨苑访噎俭着禄仪傲幂磋搪喻拉矽剃玛摈滔佳涝第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.1 拉普拉斯变换,例3 双边信号求其拉普拉斯变换。,求其拉普拉斯变换。,解,其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s),仅当时，其收敛域为 Res的一个带状区域，如图所示
6、。,颐讥含娄屑旨拖滓胶皱磕反锗郭桃丙拐岳瘪杉殊登斜闭债顶凄段藩池佑交第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.1 拉普拉斯变换,例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= e -3t (t) e-2t (t) f3(t)= e -3t (t) e-2t ( t),解,Res= 2,Res= 3, 3 2,可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。,湖脖擒奈绒侧硅筷舌子君空壳爹桅垃攫额大纸揉瘤任股叹执砰院切媳弥驼第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,收敛域情况: 1 部分平面收敛 2 整个s平面均收敛 3 在s平面均不收敛,烬吸
7、盘哄玉植熊明蠢欺醇栈润供愿狄资装溜个棱屏吠丰痉翌示伐蔽具赴休第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.1 拉普拉斯变换,通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为,称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Res ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。,三、单边拉氏变换,简记为F(s)=f(t) f(t)= -1F(s) 或 f(t) F(s),国计戎淑题这莆睁朵故炒亲蒸岗畴啸镇蔬讹旬蚀灭械太岂伴郊拢炬落渐树第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.1 拉普拉斯变换,四、常见函数的拉普拉斯变换,1、(t) 1， -,2、(t)或1 1/
8、s ， 0,3、指数函数e-s0t , -Res0,cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ,sin0t = (ej0t e-j0t )/2j ,吁吴谢卫营象替毋帆卜膝剔寇既精腺浦主垄换脆臃呢价卒哦着碉藩徊拙株第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.1 拉普拉斯变换,4、周期信号fT(t),特例：T(t) 1/(1 e-sT),急疆物拱验氮锻淀监临侵犬镰兔酞缄酞湛喊耶拿赖唬输瘴医勇告撇誊大洛第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.1 拉普拉斯变换,五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系,Res0,要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。,根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况： （1）0-2；
9、则 F(j)=1/( j+2),铝咖蓬漂薪炒镀仪垄蓝哈勇映围露避脏网少番浙米湖票浇丢碌猛陇独餐素第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.1 拉普拉斯变换,（2）0 =0，即F(s)的收敛边界为j轴，,如f(t)= (t)F(s)=1/s,= () + 1/j,（3）0 0，F(j)不存在。 例f(t)=e2t(t) F(s)=1/(s 2) , 2；其傅里叶变换不存在。,核幌慎务鸭挥木初韶童缠垛泛泌溜蔡磅柬台徘啪喊怔之蘸掏陀帕毁寄怜窿第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.2 拉普拉斯变换性质,4.2 拉普拉斯变换性质,一、线性性质,若f1(t)F1(s) Res1 , f2(t)F2(s) Re
10、s2 则 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax(1,2),例f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0,二、尺度变换,若f(t) F(s) , Res0，且有实数a0 ， 则f(at) ,Resa0,癸炮昂吩部孺省畏祭拾地烫钧弄席茁踊摘懒掂嘲狼造撕薛勃霉臆揣亥桐析第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.2 拉普拉斯变换性质,例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s) =,求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。,解：,y(t)= 4f(0.5t),Y(s) = 42 F(2s),肠股死迪任猖宅先灯助淘设臼殷险锥樱咙持畸怂坊朗舰喀吏镣幸牢卜赂胎第4章 拉氏
11、变换第4章 拉氏变换,4.2 拉普拉斯变换性质,三、时移（延时）特性,若f(t) F(s) , Res0, 且有实常数t00 , 则f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s) , Res0,与尺度变换相结合,f(at-t0)(at-t0),例1:求如图信号的单边拉氏变换。,解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1) (t-1),F1(s)=,F2(s)= F1(s),靖遗厕宣庚雏肪耪还轰丑盂澜桌畅正佬策占副躬有扶码你挝靴淹径骤释蝇第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.2 拉普拉斯变换性质,例2:已知f1(t) F1(s), 求f2(t) F2(s),解： f2(t)
12、= f1(0.5t) f1 0.5(t-2),f1(0.5t) 2F1(2s),f1 0.5(t-2) 2F1(2s)e-2s,f2(t) 2F1(2s)(1 e-2s),例3:求f(t)= e-2(t-1)(t) F (s)=?,撞苇札够伞竞巍口滓荷雨勋兜免丑棺加戒澡攫秩铺晓麻彰喷招系据邹挠烽第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.2 拉普拉斯变换性质,四、复频移（s域平移）特性,若f(t) F(s) , Res0 , 且有复常数sa=a+ja, 则f(t)esat F(s-sa) , Res0+a,例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=,求e-tf(3t-2)的象函数。,解：e-tf(
13、3t-2) ,例2:f(t)=cos(2t/4) F(s)= ?,解cos(2t/4) =cos(2t)cos(/4) + sin(2t)sin (/4),伍值蔬说啡锰改蒋弯五较伸铜竞线饺鸽獭备春世埔笨作碱针翁梁弹掠蝗烈第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.2 拉普拉斯变换性质,五、时域的微分特性（微分定理）,若f(t) F(s) , Res0, 则f(t) sF(s) f(0-) f(t) s2F(s) sf(0-) f(0-),f(n)(t) snF(s) ,若f(t)为因果信号，则f(n)(t) snF(s),例1:(n)(t) ?,例2:,例3:,勃凄后叁暴慢琢列汛涯绞堵俗间际拈搁篓娟
14、泡抽伶骑摸咸蕴尚羡粘总酋授第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.2 拉普拉斯变换性质,六、时域积分特性（积分定理）,若f(t) F(s) , Res0, 则,例1: t2(t)?,氢系月鼎什徽叭巷辰择磨点纂弹向泊达扼埠成捡咸狗纫腊呛猪骋僻供哈混第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.2 拉普拉斯变换性质,例2:已知因果信号f(t)如图 ,求F(s),解：对f(t)求导得f(t)，如图,由于f(t)为因果信号，故,f(0-)=0,f(t)=(t)(t 2) (t 2) F1(s),结论：若f(t)为因果信号，已知f(n)(t) Fn(s) 则 f(t) Fn(s)/sn,川卤忽项赶胚哼面岗哇浑辜蛙
15、件炳妇渠疆鲜盒跨参喝忽窍役罐目寻累汝隙第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.2 拉普拉斯变换性质,七、卷积定理,时域卷积定理 若因果函数 f1(t) F1(s) , Res1 , f2(t) F2(s) , Res2 则 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s),复频域（s域）卷积定理,例1：t (t) ?,例2：已知F(s)=,例3：,欢彻祭珠椒褂顽袄九涝簇缠茫稼拜淤猪伐舰歉农弧例签旦旱痉粹动霞绷吴第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.2 拉普拉斯变换性质,八、s域微分和积分,若f(t) F(s) , Res0, 则,例1：t2e-2t(t) ? e-2t(t) 1/(s+2),t2e-
16、2t(t) ,捷器泣奥习埃鸡男链馒酷镐滔颖菇副阶疏肋虐出来龚开珊杨宇歼鲤甫愁次第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.2 拉普拉斯变换性质,例2：,例3：,诛隋胯抽式淹孩蜜措披屡佳骸街峦补哮号哭腆法吨纂壳阶纸话敝疟缕酪汲第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.2 拉普拉斯变换性质,九、初值定理和终值定理,初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(），而不必求出原函数f(t),初值定理,设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，若F(s)为假分式化为真分式）， 则,终值定理,若f(t)当t 时存在，并且 f(t) F(s) , Res0, 00，则,棺死潍顾侈吓瑰娜萨蛤拈舟逾掖方罗嘻角郸史窖杠枯届圣舷妓颂颧力海宏第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,4.2 拉普拉斯变换性质,例1：,例2：,番晒揩辉狐摹屏垢茎骗狞骄惑楔蓉捉谷凉哀涝戏咐脏庸胁檀颅旱暇紫汲蔗第4章 拉氏变换第4章 拉氏变换,5.4 复频域分析,4.4 复频域系统分析,一、微分方程的变换解,描述n阶系统的
