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1、 第二章平面向量 21 平面向量的实际背景及基本概念 练习 (P77) 1、略. 2、 AB , BA . 这两个向量的长度相等,但它们不等. 3、2AB,2.5CD,3EF,2 2GH. 4、 (1)它们的终点相同;(2)它们的终点不同 . 习题 2.1 A 组(P77) 1、 30 45 C A O B (2) D C B A . 3、与 DE 相等的向量有:,AF FC ;与 EF 相等的向量有:,BD DA ; 与 FD 相等的向量有: ,CE EB. 4、与 a 相等的向量有:,CO QP SR;与 b 相等的向量有:,PM DO ; 与 c 相等的向量有:,DC RQ ST 5、
2、3 3 2 AD. 6、 (1);(2);(3);(4) . 习题 2.1 B 组(P78) 1、海拔和高度都不是向量. 2、 相等的向量共有24对. 模为 1 的向量有 18 对. 其中与 AM 同向的共有 6 对, 与 AM 反向的也有 6 对;与 AD 同向的共有 3 对,与 AD 反向的也有 6 对;模为2 的向量共有 4 对;模为 2 的向量有 2 对 22 平面向量的线性运算 练习 (P84) 1、图略 . 2、图略 . 3、 (1) DA ;(2)CB . 4、 (1) c;(2) f ;(3) f ;(4)g. 练习 (P87) 1、图略 . 2、 DB , CA , AC ,
3、 AD , BA . 3、图略 . 练习 (P90) 1、图略 . 2、 5 7 ACAB, 2 7 BCAB. 说明:本题可先画一个示意图,根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是 BC 与 AB 反向. 3、 (1)2ba ;(2) 7 4 b a ; (3) 1 2 b a ; (4) 8 9 ba. 4、 (1)共线;(2)共线 . 5、 (1)32ab;(2) 111 123 ab;(3) 2ya. 6、图略 . 习题 2.2 A 组(P91) 1、 (1)向东走 20 km;(2)向东走 5 km;(3)向东北走 102 km; (4)向西南走 5 2 km; (5)向西北走 10
4、2 km; (6)向东南走 10 2 km. 2、飞机飞行的路程为700 km;两次位移的合成是向北偏西53方向飞行 500 km. 水流方向 C DA B 3、解:如右图所示:AB 表示船速, AD 表示河水 的流速,以AB、AD为邻边作ABCD,则 AC 表示船实际航行的速度. 在 RtABC 中,8AB,2AD, 所以 22 22 822 17ACABAD 因为tan4CAD,由计算器得76CAD 所以,实际航行的速度是2 17km/h, 船航行的方向与河岸的夹角约为76. 4、 (1) 0; (2) AB ; (3) BA ; (4) 0 ; (5) 0 ; (6)CB ; (7) 0
5、 . 5、略 6、不一定构成三角形 . 说明:结合向量加法的三角形法则,让学生理解,若三 个非零向量的和为零向量,且这三个向量不共线时,则表示这三个向量的有向线段 一定能构成三角形 . 7、略. 8、 (1)略;(2)当 ab 时, abab 9、 (1) 22a b ; (2)102210ab c ; (3) 1 3 2 ab;(4)2()xy b . 10、 1 4abe, 12 4abee, 12 32310abee. 11、如图所示, OCa ,ODb , DCba , BCab . 12、 1 4 AEb, BCba , 1 () 4 DEba, 3 4 DBa , 3 4 ECb,
6、 1 () 8 DNba, 11 () 48 ANAMab. 13、证明:在ABC中,,E F 分别是,AB BC 的中点, (第 11 题) (第 12 题) 所以EFAC/ /且 1 2 EFAC, 即 1 2 EFAC; 同理, 1 2 HGAC, 所以 EF HG . 习题 2.2 B 组(P92) 1、丙地在甲地的北偏东45方向,距甲地1400 km. 2、不一定相等,可以验证在,a b不共线时它们不相等 . 3、证明:因为 MNANAM ,而 1 3 ANAC, 1 3 AMAB, 所以 1111 () 3333 MNACABACABBC. 4、 (1)四边形ABCD为平行四边形,
7、证略 (2)四边形ABCD为梯形 . 证明: 1 3 ADBC, ADBC/ /且ADBC 四边形ABCD为梯形 . (3)四边形ABCD为菱形 . 证明: ABDC , ABDC/ /且ABDC 四边形ABCD为平行四边形 又 ABAD 四边形ABCD为菱形 . 5、 (1)通过作图可以发现四边形ABCD为平行四边形 . 证明:因为 OAOBBA ,ODOCCD (第 13 题) E H G F D C A B 丙 甲 乙 (第 1题) (第 4 题(2)) B A C D (第 4 题(3)) A D C B A D M O B C (第 5题) 而 OAOCOBOD 所以 OAOBODO
8、C 所以 BACD ,即ABCD. 因此,四边形ABCD为平行四边形 . 23 平面向量的基本定理及坐标表示 练习 (P100) 1、 (1)(3,6)ab,( 7, 2)ab;(2)(1,11)ab,(7,5)ab; (3)(0,0)ab,(4,6)ab;(4)(3,4)ab,(3, 4)ab. 2、24( 6, 8)ab, 43(12,5)ab. 3、 (1)(3,4)AB,( 3, 4)BA;(2)(9,1)AB,( 9,1)BA; (3)(0,2)AB,(0, 2)BA;(4)(5,0)AB,( 5,0)BA 4、ABCD. 证明:(1, 1)AB,(1, 1)CD, 所以 ABCD
9、.所以ABCD. 5、 (1)(3,2) ;(2) (1,4) ;(3) (4, 5) . 6、 10 (,1) 3 或 14 (, 1) 3 7、 解: 设( , )P x y , 由点P在线段AB的延长线上,且 3 2 APPB, 得 3 2 APPB ( ,)(2,3)(2,3)APx yxy,(4,3)( , )(4, 3)PBx yxy 3 (2,3)(4, 3) 2 xyxy 3 2(4) 2 3 3( 3) 2 xx yy 8 15 x y ,所以点P的坐标为 (8, 15) . 习题 2.3 A 组(P101) 1、 (1) ( 2,1) ;(2) (0,8) ;(3) (1,
10、2) . 说明:解题时可设( ,)B x y ,利用向量坐标的定义解题. 2、 123 (8,0)FFF 3、解法一:( 1, 2)OA,(53,6( 1)(2,7)BC 而 AD BC , (1,5)ODOAADOABC. 所以点D的坐 标为 (1,5). 解法二:设( ,)D x y ,则( 1),( 2)(1,2)ADxyxy, (53,6( 1)(2,7)BC 由 ADBC 可得, 12 27 x y ,解得点D的坐标为 (1,5). 4、解:(1,1)OA,( 2,4)AB. 1 ( 1,2) 2 ACAB,2( 4,8)ADAB, 1 (1, 2) 2 AEAB. (0,3)OCO
11、AAC,所以,点C的坐标为 (0,3) ; ( 3,9)ODOAAD,所以,点D的坐标为 ( 3,9) ; (2,1)OEOAAE,所以,点E的坐标为 (2,1). 5、由向量,a b共线得 (2,3)( , 6)x,所以 23 6x ,解得4x. 6、(4,4)AB,( 8, 8)CD,2CDAB ,所以 AB 与 CD 共线 . 7、2(2, 4)OAOA,所以点A的坐标为 (2,4) ; 3( 3,9)OBOB,所 以 点B的 坐标 为( 3,9);故 ( 3,9)(2,4)( 5,5)A B 习题 2.3 B 组(P101) 1、(1,2)OA,(3,3)AB. 当1t时,(4,5)O
12、POAABOB,所以(4,5)P; 当 1 2 t时, 13 35 7 (1,2)(,)(,) 22 22 2 OPOAAB,所以 5 7 (,) 2 2 P; 当2t时, 2(1,2)(6,6)( 5, 4)OPOAAB ,所以( 5, 4)P; 当2t时,2(1,2)(6,6)(7,8)OPOAAB,所以(7,8)P. 2、 (1)因为( 4, 6)AB,(1,1.5)AC,所以4ABAC,所以A、B、C三 点共线; (2)因为(1.5, 2)PQ,(6,8)PR,所以4PRPQ ,所以P、 Q 、R三 点共线; (3)因为( 8, 4)EF,( 1, 0.5)EG,所以8EFEG ,所以
13、E、F、G 三点共线 . 3、证明:假设 1 0,则由 1122 0ee,得 2 12 1 e e . 所以 12 ,e e是共线向量,与已知 12 ,e e是平面内的一组基底矛盾, 因此假设错误, 1 0. 同理 2 0 . 综上 12 0. 4、 (1)19OP. (2)对于任意向量 12 OPxeye,, x y都是唯一确 定的, 所以向量的坐标表示的规定合理. 24 平面向量的数量积 练习 (P106) 1、 1 cos,8 624 2 p qpqp q. 2、当0a b时,ABC为钝角三角形;当0a b时,ABC为直角三角形 . 3、投影分别为 3 2 ,0,3 2 . 图略 练习
14、(P107) 1、 22 ( 3)45a, 22 5229b,35427a b. 2、8a b, ()()7ab ab,()0abc, 2 ()49ab. 3、1a b,13a,74b,88. 习题 2.4 A 组(P108) 1、6 3a b, 22 2 ()22512 3abaa bb,2512 3ab. 2、 BC 与 CA 的夹角为 120,20BC CA. 3、 22 223abaa bb, 22 235abaa bb. 4、证法一:设 a 与 b 的夹角为. (1)当0时,等式显然成立; (2)当0时,a 与 b , a 与b 的夹角都为, 所以()coscosaba ba b (
15、)cosa ba b ()coscosababa b 所以()()()aba bab ; (3)当0时,a 与 b , a 与b 的夹角都为180, 则 ()cos(180)cosaba ba b ()coscosa ba ba b ()cos(180)cosababa b 所以()()()aba bab ; 综上所述,等式成立. 证法二:设 11 (,)axy, 22 (,)bxy, 那么 11221212 ()(,) (,)abxyxyx xy y 112212121212 ()(,) (,)()a bx yxyx xy yx xy y 11221212 ()(,) (,)abx yxyx
16、 xy y 所以()()()aba bab ; 5、 (1)直角三角形,B为直角 . 证明:( 1, 4)(5,2)( 6, 6)BA,(3,4)(5,2)( 2,2)BC 6( 2)( 6)20BA BC BABC,B为直角,ABC为直角三角形 (2)直角三角形,A为直角 证明:(19,4)( 2, 3)(21,7)AB,( 1, 6)( 2, 3)(1, 3)AC 21 17( 3)0AB AC AB AC ,A为直角,ABC为直角三角形 (3)直角三角形,B为直角 证明:(2,5)(5,2)( 3,3)BA,(10,7)(5,2)(5,5)BC 353 50BA BC BA BC,B为直角, ABC为直角三角形 6、135. 7、120. 22 (23 )(2)44361ababaa bb,于是可得6a b, 1 cos 2 a b a b ,所以120.