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1、信号与系统离散时间系统习题详解 8-2 列出图题 8-2 所示系统的差分方程，指出其阶次。 图题 8-2 解： 1201 12 1y nb y nb y na x na x n二阶 8-3 列出图题 8-3 所示系统的差分方程， 已知边界条件 y 1 = 0， 分别求以下输入序列时的输出yn，并绘出其图形 （用逐次迭代方 法求） 。 （1） x nn （2） x nu n图题 8-3 解： 1 1 3 y ny nx n （1） 1 3 n y nu n（2） 31 1 ( ) ) 22 3 n y nu n 8-7 求解下列差分方程的完全解。 （1） 2 12, 01y ny nny（2）
2、5 1,y ny nn 10y 解： （1）方程齐次解为： h ( 2) n ynC，特解为： p12 ynD nD ，代入原方程 121212 14 2(1)22 , 39 D nDD nDnDD 完全响应为： 14 2 39 n y nCn，代入 10y 得： 9 13 C 1314 2 939 n y nn （2）方程齐次解为： h ( 5) n ynC，特解为： p12 ynD nD ，代入原方程 yn 0234 1 1n 0 1 1234 n yn 3 2 121212 15 5(1)5, 636 D nDDnDnDD 完全响应为： 15 5 636 n y nCn，代入01 y得：
3、 36 5 C 11 565 36 n y nn 8-12 用单边 z 变换解下列差分方程。 （1）yn + 0.1yn 10.02yn 2 = 10 un，y 1 = 4，y 2 = 6 （2）yn 0.9yn 1 = 0.05 un，y 1 = 1 （3）yn + 2yn 1 = (n 2) un，y0 = 1 解： （2）差分方程两边同时进行z变换： 1 1 2 11 ( )0.9( )10.05 1 ( ) 10.90.050.91 1 0.050.90.050.9 () (1)(0.9)(0.9)(1)(10.9)(10.9) ()0.50.45 10.910.9 0.50.45 0
4、. 10.9 z Y zzY zyz z z Y zzy z zzz Y z zzzzzz Y zAB zzzzz zz y n zz -1 Z5 0.45(0.9) n u nu n （3）由差分方程得： 2(0)3 (0)2(1 )2(1 ) 22 y yyy 差分方程两边同时进行z变换： 1 2 2111 2 22 2 ()2()(1)2 1(1) 22(1) () (1)(12)(1)( 12)(12) ()33 (1)2(1)(2)(1) 3949139 (1)2(1) zz YzzYzyz zz zzy Yz zzzzz YzzzABC zzzzzz zzz 3413 ( 2) )
5、 999 n y nnu n 8-13 若描述某线性时不变系统的差分方程为：yn yn 12yn2 = xn + 2xn 2，已知 y 1 = 2，y 2 = 1/2，xn = un。求系统的零输入响应和零状态响应。 解：差分方程两边同时进行Z变换： 1222 1221 21 1212 ( )( ) 12( ) 2 1( )2( ) ( )12(12)( ) 12 22 1 1214 ( )( ) 1212 Y zz Y zyzY zz yzyX zzX z Y zzzzX zyyz Y zz Y zX z zzzz 1 12 14(4) ( ) (2)(1)12 zi zz z Yz zzz
6、z 12 22 122 312 ( )21 2121 2(2) ( 1) 122 ( )( ) 1122 ( )21 22 3 211211 13 2(2)( 1) 22 zi nn zi zs zs nn zs YzAA zzzzz ynu nu n zzz YzX z zzzzz YzBBB zzzzzzz ynu n 8-16 对于由差分方程yn + yn1 = xn所表示的因果离散系统： （1）求系统函数 H(z)及单位样值响应 hn，并说明系统的稳定性； （2）若系统起始状态为零，而且输入xn = 10 un，求系统的响应 yn。 解： （1）差分方程两边同时进行z变换： 1 1 (
7、)()() ()1 () ()11 (1) n YzzYzXz Yzz Hz Xzzz h nu n 系统的收敛域不包括单位圆，所以不稳定。 2 10 (2)()1 1 1055 ()()() (1)(1)11 51(1) n z Xzz z zzz YzXz Hz zzzz y nu n 8-19 因果系统的系统函数H(z)如下，试说明这些系统是否稳定。 （1）2 2 822 z zz （2） 12 12 1 252 zz zz （3）2 34 21 z zz （4） 1 12 1 1 z zz 解： （1）收敛域为 117 8 z ，包括单位圆，所以稳定。 （2）收敛域为 2z 不包括单位
8、圆，所以不稳定。 （3）收敛域为 2z 不包括单位圆，所以不稳定。 （4）收敛域为 1z 不包括单位圆，所以不稳定。 8-20 已知系统函数为H(z) = 9.5 (0.5)(10) z zz ，分别在 z 10 及 0.5 z 10 两种收敛 域情况下，求系统的单位样值响应，并说明系统的稳定性与因果性。 解： ()9.511 (0.5)(10)0.510 (0.5)1010 nn Hz zzzzz hnunz 系统是因果，不稳定的。 (0.5)1010.510 nn h nu nunz 系统是非因果，稳定的。 8-21 建立图题 8-21 所示各系统的差分方程，并求单位样值响应hn。 图题
9、8-21 解： （a） 1 1 3 y ny nx n 1 3 n h nu n （b） 4 2 y ny nx n 1 2( 2) 2 nn h nu n 8-23 如下各序列中， xn是系统的激励序列， hn是线性时不变系统的单位样值响应。 分别求出各响应 yn，画出 yn的图形（用卷积方法） 。 （1）xn, hn如图题 8-23(a)所示。（2）xn, hn如图题 8-23(b)所示。 （3） n x nu n ，01； n h nu n ，01且。 图题 8-23 解： （1） 3 14 23 34y nnnnnn （2） 122 34y nnnnnn （3） 11 nn y nu
10、n yn 01234 1 n (1) 3 4 0 123 1 n (2) 2 -1 yn 0 1 1234 n yn (3) 8-24 已知线性时不变系统的单位样值响应hn和输入 xn分别如下所示， 求输出序列 yn，并绘出 yn的图形。 （1） 44 , h nR nx nR n （3）4 (1/ 2) , n h nu nx nRn 解： （1） 2 13 24 33 42 56y nnnnnnnn （3） 13 10.510.5 4 10.510.5 nn y nu nu n 8-25 图题 8-25 所示的系统包括两个级联的线性时不变 系统，它们的单位样值响应分别为h1n和 h2n，已
11、知 12 2, (0.8) n h nnnh nu n ，令 x nu n。 （1）按下式求 yn：yn= xn* h1n * h2n （2）按下式求 yn：yn= xn* h1n* h2n 注：以上两种方法的结果应该相同（卷积结合律）。 解： （1） 12 * * 2*(0.8) n y nx nh nh nu nu nu n 11 *(0.8) 2*(0.8) 10.810.8 2 1 0.81 0.8 nn nn u nu nu nu n u nu n （2） 2 12 * * *(0.8) (0.8)2 nn y nx nh nh nu nu nu n 2 11 *(0.8) *(0.
12、8)2 10.810.8 2 10.810.8 nn nn u nu nu nu n u nu n 8-27 用计算机对测量的随机数据xn进行平均处理， 当收到一个测量数据后， 计算机 就把这一次输入数据与前三次输入数据进行平均。试求这一运算过程的频率响应。 解：设本次输入为 x n ，则本次与前三次数据的平均值为： 1 123 4 ynx nx nx nx n 01234 1 n (1) 2 4 5 yn 6 3 0 1 1234 n yn (3) 5 图题 8-25 对上式进行 z变换得： 123 12312 1 ( )(1)( ) 4 ( )11 ( )(1)(1)(1) ( )44 Y
13、 zzzzX z Y z H zzzzzz X z 2 1 222 3 2 1 ()()(1)(1) 4 1 ()() 4 coscos 2 jjj zj jjj jjj j HeHzee eeeeee e 8-28 利用 z 平面零极点分布的几何作图法粗略画出下列各系统函数所对应系统的幅 频特性曲线。 （1）H(z) = 0.5 z z （2）H (z) = 1 0.5z （3）H (z) = 0.5z z 解：(1) (2) Re(z) jIm(z) 0.5 1 2 2/3 2 H(e j ) 0 Re(z) jIm(z ) 0 0.5 1 H(e j ) 2 2/3 2 (3) 8-29
14、 已知横向数字滤波器的结构如图题8-29 所示。试以 M = 8 为例。 （1）写出差分方程；（2） 求系统函数 H(z)；（3） 求单位样值响应 hn； （4）画出 H(z)的零极点图；（5）粗略画出系统的幅频特性曲线。 图题 8-29 解: 1 2 17 00 (1) 121 M M kk kk y nx nax na x nax nM a x nka x nk 1181 11 0 88 7 ( )1()1() (2)( ) ( )11 0 () MM kk k Y zazaz Hza z X zazaz za z zza 77 00 (3) ( )() 8 kkkn kk h nH za
15、 zanka u nu n -1-1 ZZ 2 8 12 (4) (1,28),0 ji i zaeipa p （7 阶） 为保证系统稳定，设 |a|1, 则零极点图如下： -0.5 0 1 Re(z) jIm(z) H(e j ) 2 3/2 0.5 8-36 由下列差分方程画出因果离散系统的结构图，求系统函数H(z)及单位样值响应 hn。 （1）3yn 6yn 1 = x n （2）yn = xn 5xn 1 + 8xn 2 （3）yn 3yn 1 +3yn 2yn 3 = x n （4）yn 5yn 1 + 6yn 2 = x n 3xn 2 解: 1 ( )1 (1)( ) ( )3(
16、2)36 Y zz H z X zzz 1 (2) 3 n h nu n 12 () (2)()158 () 5182 Yz Hzzz Xz h nnnn a 1/3 y n (7) 1 Re(z) jIm(z) 2 x n 1 z 33 123323 1 (3)( ) 1 33331(1) (1)(2) 2 zz H z zzzzzzz nn h nu n 2 12 2 1 ()13 (4)() ()156 321 21 (2)(3)322 1 (232) 2 nn Yzz HZ Xzzz z zzzz h nunn 1 z 1 z xn yn -3 5 -6 1 z 1 z 1 z xn y n 3 -3 1 z 1 z -5 8 x n y
