《“形似质异题”辨析（新编写）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《“形似质异题”辨析（新编写）（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 “ 形似质异题 ” 辨析 数学中有许多问题，形式相似，但实质各异，有时却因一个字或符号的差别，就很可能导致所 需知识和解题方法的不同.学生在解决此类问题时，极易产生思维误区，造成解题失误.为提高学生的 辨异思维能力 .下面通过几组“形似质异”问题的辨析，帮助同学们进一步加深对有关概念的内涵与 外延的理解、认识，强化审题能力，提高解题的准确率. 题组一 点集与数集 例 1： （1）已知集合( ) 1 , 2 + = =x y y x A ，( ) 2 5 ,x y y x B- = = 则_AB = I? （2） 已知集合 R x x y y A? + = =, 1 2 ， 2 5,Bx y
2、xxR=-? ， 则_AB = I. 分析：第 （1） 小题中， 因为集合A、B 都是点集， 所以求 AB I 的关键就是求对应曲线 1 2 + = x y 与 2 5x y- = 的交点；第（ 2）小题中，集合A、B 都是数集，求AB I 的关键就是求对应函数 1 2 + = x y( )R x? 的值域与 2 5x y- =) (R x? 的定义域 . 解： （1）解方程组 ? - = + = 2 2 5 1 x y x y 得 或 ? = = 3 2 y x ? = - = 3 2 y x , ( ) ( ) 2 323AB =- I ， ， ，. (2) 函数 ） （R x x y?
3、+ =1 2 的值域是 ) ￥ + ，1 ，函数 ） （R x x y? - = 2 5 的定义域是 R， ) 1ABR=+ ￥= ， ， ，故 )1AB =+ ￥ I ， . 辨析与感悟：遇到集合运算问题，首先要分清类型: 是点集还是数集；其次要注意方法不同: 点 集求交，通过解方程组实现, 而数集求交，通过求对应函数的值域实现. 题组二 定义域与值域 （ 1）若函数 2 2 ( )log ()f xxaxa=+- 的定义域为R ，则实数 a 的取值范围是 ； （2）若函数 2 2 ( )log ()f xxaxa=+- 的值域为R ，则实数 a 的取值范围是. 分析： 第（1）小题中， 由
4、定义域为R 知不等式0 2 - +a ax x 的解集为R ，即0 2 - +a ax x 在R 上恒成立，从而应使 0 4 2 恒成立；若值域为R ，则 2 必有函数( )yu x= 的函数值应取遍所有的正数，即函数( )yu x= 的最小值小于或等于 0，最大值趋于 正无穷大 . 题组三 定义域与有意义 已知函数( ) ( ) x a x a x f 2 2 log log + - = , （1） 若( ) x f 在 ? ? ? ? 2 1 , 0 内恒有意义，则 a 的取值范围 ； （2） 若( )x f 的定义域为 ? ? ? ? 2 1 , 0 ，则 a 的取值范围 . 分析： 如
5、果一个函数的定义域为D，则该函数在区间D的任一子区间 0 D 上必恒有意义. 也就 是说， 使得原函数有意义的自变量的最大取值范围是D，在 0 D 上尽管恒有意义，但 0 D 为D的子区 间！ 解： （1）依题设知，0 log 2 2 + - x a x 即 2 2 logx x a 在 ? ? ? ? 2 1 , 0 上恒成立. 从而，结合函数 x a y 2 log= 与 2 x y = 的图象易知，应使 2 1 32 1 2 1 log 1 2 0 2 2 1 2 T ? ? ? ? ? ? ? 3 + - x a x 即 2 2 logx x a 的解集为 ? ? ? ? 2 1 ,
6、0 . 从而结合函数 x a y 2 log= 与 2 x y = 的图象易知，应使 32 1 2 1 log 1 2 0 2 2 1 2 = T ? ? ? ? ? ? ? = x g 在区间D 上恒成立；若 ) (x f 的定义域为D，则不等式 0 ) (x g 的解集为D. 题组四 存在与恒成立 若存在 x1，e，使得 alnx+x2 (a+2)x 成立，求实数 a 的取值范围 . 若任意 x1，e，使得 alnx+x2 (a+2)x 成立，求实数 a 的取值范围 . 分析： 可以采用参数分离的方法，得到 x x x x a ln 2 2 - - 3 ，然后求函数 x x x x x g
7、 ln 2 ) ( 2 - - = 的最小值； 可 以采用参数分离的方法，得到 x x x x a ln 2 2 - - 3 ，然后求函数 x x x x x g ln 2 ) ( 2 - - = 的最大值 . 解： 可化为x x x x a2 ) ln ( 2 - 3 - , , 1 e x? , x x 1 ln 且等号不能同时取，所以x x -x x ， 3 因而 x x x x a ln 2 2 - - 3 （ , 1 e x? ） 令 x x x x x g ln 2 ) ( 2 - - = （ , 1 e x? ） ，又 2 ) ln ( ) ln 2 2 )( 1 ( ) ( x
8、 x x x x x g - - + - = ， 当 , 1 e x? 时，1 ln , 0 1 3 -x x ，0 ln 2 2 - +x x ， 从而0 ) (3 x g （仅当 x=1 时取等号），所以) (x g 在 , 1 e 上为增函数， 故) (x g 的最小值为1 ) 1 (- =g ，所以 a 的取值范围是) , 1 +￥ - 可化为x x x x a2 ) ln ( 2 - 3 - , 1 e x? , x x 1 ln 且等号不能同时取，所以x x -x x ， 因而 x x x x a ln 2 2 - - 3 （ , 1 e x? ） 令 x x x x x g ln
9、 2 ) ( 2 - - = （ , 1 e x? ） ，又 2 ) ln ( ) ln 2 2 )( 1 ( ) ( x x x x x x g - - + - = ， 当 , 1 e x? 时，1 ln , 0 1 3 -x x ，0 ln 2 2 - +x x ， 从而0 ) (3 x g （仅当 x=1 时取等号），所以) (x g 在 , 1 e 上为增函数， 故) (x g 的最大值为 2 2 ( ) 1 ee g e e - = - ，所以 a 的取值范围是 2 2 , 1 ee e ? - +￥ - ? 辨析与感悟 ：对于 若存在 xM，使( )axj3(或( )axj)，即
10、min ( ) axj3(或 max ( )axj)；对 于若任意 xM，使( )axj3(或( )axj)，即 max ( ) axj3(或 min ( ) axj). 题组五 自变量与参变量 例 5： 0,1x? ，不等式 2 23xaxxa+ 恒成立，求实数 a 的取值范围； 0,1a? ，不等式 2 23xaxxa+ 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 分析： 两小题形式十分相似，但研究对象却不一样.中是对于 0,1x? 不等式恒成立，因此自变量 是 x，参变量是 a；中是对于 0,1a? 不等式恒成立，因此自变量是 a，参变量是 x. 解： 原不等式可化为： 2 (1)230 xax
11、a+- 对于 0,1x? 恒成立， 记 2 ( )(1)23f xxaxa=+- ， 所以 (0)0, (1)0, f f -. 所以实数 a 的取值范围是 3 (,) 2 -+￥ . 4 原不等式可化为： 2 (2)30a xxx-+- 对于 0,1a? 恒成立，记 2 ( )(2)3g aa xxx=-+- ， 所以 (0)0, (1)0, g g ? 解得 113 5 2 x - . 所以实数x 的取值范围是 113 (,5) 2 - . 辨析与感悟 ：问题中给出的是对于 x 在区间 0,1 上恒成立， 因此在解题时我们将 x 看作自变量， a 为参变量； 而在问题中给出的是对于a 在区
12、间 0,1 上恒成立， 因此在解题时我们将 a 看作自变量， x 为参变量 .因此同学们要注意，在多元综合问题中，自变量和参变量相互依存，解题的关键是弄清 依存关系，灵活地选择自变量，调整理顺问题的内部结构关系，促使问题往规范性问题转化. 题组六 增区间与在区间上递增 例 6：已知函数 3 ( )2f xxax=-+ 的一个单调递增区间为 )2,+￥ ，求实数 a 的值； 已知函数 3 ( )2f xxax=-+ 在 )2,+￥ 上单调递增，求实数 a 的值 分析： 两个问题乍一看，题意几乎一样，但仔细分析，解题方法却大相径庭. 问题中一个单调 递增区间为 )2,+￥ ，说明 x=2 是函数
13、3 ( )2f xxax=-+ 的一个极值； 问题 中在 )2,+￥ 上单调递增， 只要 )2,+￥ 是函数增区间的一个子集，即( )0fx 3 在 )2,+￥ 恒成立 . 解： （1）依题意知， 2 ( )3fxxa=- ， 又函数 3 ( )2f xxax=-+ 的一个单调递增区间为 ) 2,+￥ ， 所以 2 (2)320fa=-= ，解得 a=12. (2) 依题意知， 2 ( )3fxxa=- ， 又函数 3 ( )2f xxax=-+ 在 ) 2,+￥ 上单调递增， 所以 2 ( )30fxxa=-3 在 )2,+￥ 恒成立，即 2 3ax ，解得12a . 辨析与感悟 ：如果一个
14、函数的单调递增（减）区间是D，则该函数在区间D的任一子区间 0 D 上 必单调递增 （减） . 也就是说， 单调递增 （减） 的最大范围是D，在 0 D 上尽管单调递增 （减） ，但 0 D 为D的子区间！解决问题的方法是，函数( )f x 的一个单调递增区间为 ( ) ,a +￥ ,我们可以得到在a 处的导数值为 0；解决问题 (2) 的方法是， 函数( )f x 在( ),a +￥ 上单调递增 ( 或递减 ) ， 所以( )0fx 3 在 ( ) ,a +￥ 恒成立 . 5 题组七 对称轴问题 例 7： （1）若) 1 ( ) 1 (x f x f- = - ，则函数) (x f 的图象关
15、于_ 对称 ? （2）设函数) (x f y = 定义在R 上，则) 1 (-x f 与) 1 (x f- 的图象关于_ 对称 . 分析： 第（ 1）小题是考查一个函数的图象本身关于什么对称，第（2）小题是考查两个函数的 图象关于什么对称. 解： （1） ) 1 ( ) 1 (x f x f- = - ，将“ x”都变成“1+x ”得 ) 1 ( 1 1 ) 1 (+ - = - +x f x f ， 即) ( ) (x f x f- = ，故) (x f 是偶函数，从而其图象关于直线0=x （即y 轴）对称 . （ 2）在函数) 1 (- =x f y 的图象上任取一点) , (y x P ，则) 2 ( 1 ) 1 (x f x f y- - = - = ， 点) ,
