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1、,1. 设 A 为面上一点,过 A 的直线 AO 在面上的射影为 AB,AC 为面上的一条 直线,那么OAC,BAC,OAB 三角的余弦关系为: cosOAC=cosBACcosOAB (cosBAC 和 cosOAB 只能是锐角) 通俗点说就是,斜线与平面内一条直线夹角 的余弦值 =斜线与平面所成角1 的余弦值射影与平面内直线夹角的 余弦值 三余弦定理(又叫最小角定理或爪子定理) 定理证明:如上图,自点 O 作 OBAB 于点 B,过 B 作 BCAC 于 C,连 OC, 则易知ABC、AOC、ABO 均为直角三角,OAABOA,12,形 cos AB , cos AC , cos AC,
2、cos cos1 cos2 辅助记忆:这三个角中,角 是最大的,其余弦值最小,等于另外两个角的余弦值之 积。斜线与平面所成角1 是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。 2.设二面角 MABN 的度数为 ,在平面 M 上有一条射线 AC,它和棱 AB 所成角为 ,和平面 N 所成的角为 ,则 sin =sin sin (如图),三正弦定理 定理证明:如上图,过 C 作 CO平面 N 于点 O,过 O 作直线 OB二面角的棱 于点 B,连 OA,CB,则易知CAO,CBO,ABC 均为直角三角形 于是,sin= CO ,sin= CO ,sin = BC ACBCAC sin =sin sin
3、 ,1,,,如果将三余弦定理和三正弦定理联合起来使用,用于解答立体几何综合题 你会发现出乎意料地简单,甚至不用作任何辅助线!,例1如图,已知 A1B1C1ABC 是正三棱柱,D 是 AC 中点,若 AB1BC1,,求以 BC1 为棱,DBC1 与 CBC1 为面的二面角 的度数.(1994 年全,国高考理科数学 23 题),2,例 2 已知RtABC 的两直角边 AC=2,BC=3P 为斜边 AB 上一点,现沿CP 将此直角三 角形折成直二面角 ACPB(如下图),当 AB=7 时,求二面角 PACB 大小(上海 市 1986 年高考试题,难度系数 0.28),3,例 3已知菱形 ABCD 的边长为 1,BAD=60,现沿对角线 BD 将此菱形折成直二面角 A-BD-C(如图 6)( 1)求异面直线 AC 与 BD 所成的角;( 2)求二面角A-CD-B 的大小,4,