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1、1,4.3.1 定积分的定义,4.3.2 定积分的基本性质,刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。,3,4.3.1 引出定积分定义的例题,4,(4)取极限,取Sn的极限，得曲边三角形面积：,(1)分割,(2)近似,(3)求和,5,(1)分割,(2)近似,(3)求和,6,(1)分割,(2)近似,(3)求和,7,分 割,例: 求曲线 y=x2、直线 x=1和 x轴所围成的曲边三角形的面积。,8,一般地，求由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积的方法是：,9,tn=,=t0,引出定义的实例二：求物体
2、作变速直线运动所经过的路程,(2) 在第 i ( i1, 2, , n) 个时间段 ti1, ti上任取一时刻 i，用v(i)Dti近似替代物体在第i个时间段所走距离: Dsiv(i)Dti 。,(1) 用分点 t=ti (ti1ti , i1, 2, , n-1) 把a, b分割成 n 个小的时间段，第i个时间段为 ti1, ti，长度记为Dti ti ti1。,(3) 将物体在各时间段所走距离的近似值求和，并作为物体在区间a, b内所走距离 s 的近似值：,(4) 记lmaxDt1,Dt2,Dtn，取极限l0，则物体在时间区间a, b内运动的距离：,10,分 割,实例二：求物体作变速直线运
3、动所经过的路程,11,4.3.1定积分的定义,定义 4.3.1:,区间任意分成 n 份,分点依次为,将,在每一个小区间xi-1 , xi上任取一点ci, 作乘积,无论区间的分法如何, ci在xi-1, xi上的取法如何,如果当最大区间长度,12,在每一个小区间xi-1 , xi上任取一点ci, 作乘积,无论区间的分法如何, ci在xi-1, xi上的取法如何,如果当最大区间长度,趋于零时和数的极限存在,那么我们就称函数f(x)在区间a, b上可积,并称这个极限I为函数f(x)在区间a, b上的定积分,记为,其中f(x)称为被积函数,x称为积分变量,a, b称为积分区间,a称为积分下限,b称为积
4、分上限,和数称为积分和.,13,定积分的定义式：,定积分的相关名称：,14,注意: 定积分与不定积分的区别,定积分和不定积分是两个完全不同的概念. 不定积分是微分的逆运算 而定积分是一种特殊的和的极限,函数f(x)的不定积分是(无穷多个)函数,而f(x)在a, b上的定积分是一个完全由被积函数f(x)的形式和积分区间a, b所确定的值.,15,按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为,(2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为,定积分的定义式：,16,规定:,17,定积分的几何意
5、义,S=,18,定积分的几何意义,S,y = f(x),19,函数f(x)在区间a, b上的定积分表示为直线x=a, x=b, y=0所围成的几个曲边梯形的面积代数和。,定积分的几何意义,S1,S2,S3,a,b,20,课本例题： 例3：利用定积分几何意义验证： 例4：在区间a, b上，若f(x)0, f(x)0, 利用定积分几何意义验证：,定积分的几何意义,21,4.3.2 定积分的基本性质,有限个可积函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即若fi(x) (i = 1, 2, , n)在a, b内可积，则有,22,4.3.2 定积分的基本性质,一个可积函数乘以一个常数之后，仍可为可积函数，
6、且常数引资可以提到积分符号外面，即若 f(x)在a, b上可积，则 cf(x)在a, b上也可积（c为常数），且满足,23,4.3.2 定积分的基本性质,设f(x)在a, b内可积，若acb, 则f(x)在a, c和c, b上可积；反之，若f(x)在a, c和c, b上可积，则f(x)在a, b内可积，且有,24,4.3.2 定积分的基本性质,交换积分上下限，积分值变号，即 特别地，若a=b，则,25,4.3.2 定积分的基本性质,设f(x)和g(x)在a, b上皆可积，且满足条件f(x) g(x)，则有,26,4.3.2 定积分的基本性质,27,4.3.2 定积分的基本性质,若函数f(x)在a, b上可积，且最大值与最小值分别为M和m，则 推论：若函数f(x)在a, b上可积，则,28,4.3.2 定积分的基本性质,设f(x) 在区间a, b上连续，则在a, b内至少有一点 (a b), 使得下式成立： 同时， 我们称下式为f(x)在a, b上的平均值,29,课本例题： 例5：不计算积分，试比较下面两个积分的大小,定积分的基本性质,
