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1、提 分 数 学 - 1 - 提分数学七年级上知识清单 第一章 有理数 一正数和负数一正数和负数 正数和负数的概念 负数：比0 小的数 正数：比0 大的数 0 既不是正数，也不是负数 注意注意 ： 字母a 可以表示任意数， 当a 表示正数时， -a 是负数 ； 当a 表示负数时， -a 是正数 ； 当a 表示0 时， -a 仍是0。 （如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a 就不能 做出简单判断） 正数有时也可以在前面加“+” ，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与
2、该正数相反意义的量，比如： 零上8表示为：+8；零下8表示为：-8 支出与收入;增加与减少;盈利与亏损;北与南;东与西;涨与跌;增长与降低等等是相对相反量，它们计数： 比原先多了的数,增加增长了的数一般记为正数;相反，比原先少了的数，减少降低了的数一般记为负数。 3.0 表示的意义 0 表示“ 没有” ，如教室里有0 个人，就是说教室里没有人； 0 是正数和负数的分界线，0 既不是正数，也不是负数。 二有理数二有理数 1.有理数的概念 正整数、0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数） 正分数和负分数统称为分数 正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
3、 理解理解：只有能化成分数的数才是有理数。是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。有限 小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8也是偶数，-1,-3,-5也是奇数。 2. (1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数 ； 正分数、负分)0pq, p( p q 为整数且 数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0 即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是 正数；不是有理数； 提 分 数 学 - 2 - (2)有理数的分类: 按正、负分类: 负分数 负整数 负有理数 零 正
4、分数 正整数 正有理数 有理数 按有理数的意义来分: 负分数 正分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 总结：正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数） 负整数、0 统称为非正整数 正有理数、0 统称为非负有理数 负有理数、0 统称为非正有理数 (3)注意：有理数中，1、0、-1 是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域， 这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数 0 和正整数；a0 a 是正数；a0 a 是负数； a0 a 是正数或0 a 是非负数；a 0 a 是负数或0 a 是非正数. 三数轴三数轴 数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
5、 注意注意 ： 数轴是一条向两端无限延伸的直线 ； 原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可 ； 同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点 表示，0 用原点表示。 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上 的点不是一一对应关系。 （如，数轴上的点不是有理数） 3.利用数轴表示两数大小 在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数； 两个负数比较
6、，距离原点远的数比距离原点近的数小。 提 分 数 学 - 3 - 4.数轴上特殊的最大（小）数 最小的自然数是0，无最大的自然数； 最小的正整数是1，无最大的正整数； 最大的负整数是-1，无最小的负整数 5.a 可以表示什么数 a0 表示a 是正数；反之，a 是正数，则a0； a0 表示a 是负数；反之，a 是负数，则a0 时，-a0（正数的相反数是负数） 当a0（负数的相反数是正数） 当a=0 时，-a=0， （0的相反数是0） 6.多重符号的化简 多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果； 即：“-”的个数是奇数时，结果为负， “-”
7、的个数是偶数时，结果为正。 五绝对值五绝对值 绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作|a|。 2.绝对值的代数定义 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是0. 可用字母表示为： 如果a0，那么|a|=a； 如果a0，那么|a|=-a； 如果a=0，那么|a|=0。 可归纳为：a0， |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。 ） a0， |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。 ） 3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性
8、。所以，a 取任何有理数，都有|a|0。 即 (1)正数的绝对值是其本身，0 的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数 轴上表示某数的点离开原点的距离；绝对值是0 的数是0.即：a=0 |a|=0； 一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是 0.绝对值可表示为：或 )0a (a )0a (0 )0a (a a ；即：|a|0；绝对值的问题经常分类讨论； )0a (a )0a (a a 任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|a； ； ；0a1 a a 0a1 a a 绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a0） ，则x=a； 互为相反数的两数的绝对值
9、相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；|a|是重要的非负数， 即|a|0；注意：|a|b|=|ab|, b a b a 提 分 数 学 - 5 - 绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b 或a=-b； 若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0 且b=0。 （非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0） 4.有理数大小的比较 利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的数总比右边的数小，或者右边的数总比左边 的数大 利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的
10、反而小；异号两数比较大小，正数大于 负数。 （3）正数的绝对值越大，这个数越大； （4）正数永远比0 大，负数永远比0 小； （5）正数大于一切负数； （6）大数-小数 0，小数-大数 0. 5.绝对值的化简 当a0 时， |a|=a ； 当a0 时， |a|=-a 6.已知一个数的绝对值，求这个数 一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个， 它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。 六有理数的加减法六有理数的加减法. 1.有理数的加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对
11、值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 互为相反数的两数相加，和为零； 一个数与0 相加，仍得这个数。 2.有理数加法的运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： 互为相反数的两个数先相加“相反数结合法” ； 符号相同的两个数先相加“同号结合法” ； 分母相同的数先相加“同分母结合法” ； 提 分 数 学 - 6 - 几个数相加得到整数，先相加“凑整法” ； 整数与整数、小数与小数相加“同形结合法” 。 3.加法性质 一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；
12、加0 后的和等于原数。即： 当b0 时，a+ba 当b0 时，a+ba 当b=0 时，a+b=a 4.有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。 5.有理数加减法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如： (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法：按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5 的和” 按运算意义读作“负8 减7 减6 加5” 6.有理数加减混合运算
13、中运用结合律时的一些技巧： .把符号相同的加数相结合（同号结合法） (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法） =-33+18-15-1+23 （省略加号和括号） =(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合） =-49+41 （运用加法法则一进行运算） =-8 （运用加法法则二进行运算） .把和为整数的加数相结合 （凑整法） (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法
14、转换成加法） =6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号） =(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合） =4-10+3.8 （运用加法法则进行运算） =7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算） =-2.2 （得出结论） .把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法） 提 分 数 学 - 7 - -+-+- 5 3 2 1 4 3 5 2 2 1 8 7 原式=(-)+(-+)+(+-) 5 3 5 2 2 1 2 1 4 3 8 7 =-1+0- 8 1 =-1 8 1 .既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）
15、(+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25) 4 3 8 1 3 2 原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1) 8 1 4 3 8 1 3 2 4 1 =+3-3+10-1 8 1 4 3 8 1 3 2 4 1 =(3-1)+(-3)+10 4 3 4 1 8 1 8 1 3 2 =2-3+10 2 1 3 2 =-3+13 6 1 =10 6 1 .把带分数拆分后再结合（先拆分后结合） -3+10-12+4 5 1 11 6 22 1 15 7 原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-) 5 1 15 7 11 6 22 1 =-1+ 15 4 22 11 提 分 数 学 - 8 - =-1+ 30 8 30 15 =- 30 7 .分组结合 2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69 原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+69) =0 .先拆项后结合 （1+3+5+7+99）-（2+4+6+8+100） 七有理数的乘除法七有理数的乘除法 1.有理数的乘法法则 法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘” 的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三
