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1、教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学陈纪修金路 教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整 个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较 它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如 何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算 能力。 指导思想 函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学 中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论， 而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂
2、级数 的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展 开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函 数的幂级数展开公式（见下面的（*）式），但一般来说，直接利用（*）式来求 函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级 数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质 教育的一个不可忽视的环节。,00,0 n!,n,f (n) (x ),(x x ) ,x O(x , r).,（*）f (x) ,3. 教学安排 首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函
3、数 f (x)在 x0 的某个邻域 O(x0, r)中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是 f (x) 在 x0 的Taylor 级数： ,n0,x,(1)f (x) = e=,n0,另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式： xn n!,2!3!n!,x 2x3xn, 1 x + ,x (-, +) 。,(2)f (x) = sin x =,n0,2n1,(1)n,x,(2n 1)!,(2n 1)!,1,x3x5,x2n1,n, x (1) 3!5!,+ ,x(-, + ) 。,(3)f (x) = cos x =,n0,2n, (1)n,x,(2n)!,(2n)!,x 2x4,x2n,n,
4、 1 (1) 2!4!,+ ,x(-, + ) 。,(4)f (x) = arctan x =,n1,2n1, (1)n1,x,2n 1,2n 1,x3x5,x 2n1,n, x (1) 35,+ ,x-1, 1。,(5)f (x) = ln (1 + x) = ,n1,n, (1)n1,x,n,x 2x3x 4,n1 xn n,+ ,x(-1, 1。, x (1) 234 (6)f ( x ) (1 x ) ，0 是任意实数。 当 是正整数 m 时，,f (x) = (1 + x)m = 1 + mx +,2,m(m 1) x 2 + +,mxm1 + xm ，x(-, +),n0 ,n,n
5、,(1 x) x , ,当 1, 当1 0, 当 0., x 1,1, x (1,1,即它的幂级数展开就是二项式展开，只有有限项。 当 不为 0 和正整数时， x (1,1),其中 = nn!, ( 1)( n 1),0, , , (n = 1,2,) 和 1。,设函数 f (x)在 x0 的某个邻域 O(x0, r)中任意阶可导，要求它在 O(x0, r)中的幂级 数展开，一开始就考虑利用公式（*）往往不是明智之举。下面我们通过具体实 例介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法： 1通过各种运算与变换，将函数化成已知幂级数展开的函数的和。,1,3 5x 2x 2,例 1求 f (x) ,在 x
6、0 的幂级数展开。,解利用部分分式得到, , x,7 1 2x ,2 1,3 ,1 ,1,1,f (x) 21,，, 再利用（6）式（ 1），得到,7 n0 3n1, f (x) 1 1 2n1 xn ，,x ( 1 , 1 ). 2 2,6,例2求 f (x) sin 3 x 在 x 的幂级数展开。,46,2,444,解f (x) sin 3 x 3 sin x 1 sin 3x 3 sin (x ) 1 cos 3(x ) 66 ,8, 3,3 sin( x ) 3 cos(x ) 1 cos 3(x ) ， 68646,利用（2）式与（3）式，即得到,x (,).,(2 31)(x ),
7、 6,8(2n)!,(x ),8(2n 1)!6,f (x) ,2n12n,n0,3 (1)n,n0,2n1,3 3 (1)n,例3求f (x) ln x,(x 0),x 1,关于变量 x 1 的幂级数展开。,x 11 t,解令t x 1 , 则 x 1 t ,(0 t 1) 。利用（5）式，即得到,1 t,ln x ln 1 t ln(1 t) ln(1 t),n,n1 n,n1,n1 (1)t n 1 t n, 2 1 t 2n1 2 1 ( x 1)2n1 ,x 0. n1 2n 1n1 2n 1x 1 2对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。,x 2,例 4求 f (x) 1在
8、 x 1 的幂级数展开。,n0,x1 (x 1), 解由于 g(x) 1 1 (x 1)n ，利用逐项求导，即可得到, f (x) g(x) n(x 1)n1 (n 1)(x 1)n ,x (0, 2). n1n0 例 5求 f (x)= arcsin x 在 x 0 的幂级数展开。,2,解利用(6)式 ( 1 ) ，可知当 x(-1,1)时，,1,1 x 2, 1,= (1 x 2 ) 2, 1 ,= 2 (x 2 )n,= 1 +,1 x 2,n0 n + 3 x 4 + +,28(2n)!,(2n 1)! x 2n + ，,对等式两边从 0 到 x 积分，利用幂级数的逐项可积性与,x,0
9、,1 t 2,d t,= arcsin x，,即得到,arcsin x = x + ,n1, (2n 1)! x 2n1,，x-1, 1。 (2n)! 2n 1,2,其中关于幂级数在区间端点 x = 1 的收敛性，可用Raabe 判别法得到。 特别，取 x = 1，我们得到关于的一个级数表示： ,= 1 +,n0,(2n)!2n 1, (2n 1)! 1 。,g (x),3,3对形如 f (x)g(x) ， f (x) 的函数，可分别用 Cauchy 乘积与“待定系数法”。,n0,n, n,1,n0,n, n,设 f (x) 的幂级数展开为a x ，收敛半径为 R ，g(x) 的幂级数展开为b
10、 x ,n0n0,nn,n0,n, n n n,收敛半径为 R2，则 f (x)g(x)的幂级数展开就是它们的Cauchy 乘积： f (x)g(x) = (a x )(b x ) =c x,其中 cn =, a b,n,k 0n0,n,k nk n,c x的收敛半径R ,minR1，R2。,当 b0 0 时，我们可以通过待定系数法求 f (x) 的幂级数展开：设,f (x) g (x),=,n0,g (x) n,n,c x,则,n,n0n0,n, n n,(b x ) (c x,n, n,)=a x, n0,分离 x 的各次幂的系数，可依次得到 b0 c0 = a0,c0 =,b0 c1 +
11、 b1 c0 = a1,c1 =,b0,a0 , b0 a1 b1c0,，,b0 c2 + b1 c1 + b2 c0 = a2c2 =,b0,a2 b1c1 b2 c0 ，, 一直继续下去，可求得所有的 cn 。 例 6求ex sin x 的幂级数展开( 到 x5 )。,x,x 2x3x 4,3!5!,x3x5,解e sin x = ( 1 x + )( x ),330,2!3!4! = x + x 2 1 x3 1 x5 + ，,由于ex 与sin x 的收敛半径都是 R ，所以上述幂级数展开对一切 x(-, + ) 都成立。 例 7求tan x 的幂级数展开( 到 x5 )。 解由于ta
12、n x 是奇函数，我们可以令,tan x =,cos x,sin x,= c1 x + c3 x3 + c5 x5 + ，,于是,2!4!3!5!,x 2x 4x3x5,(c1 x + c3 x3 + c5 x5 + )(1 ) = x ，,c1 = 1,c3 =,3,比较等式两端 x, x3 与 x5 的系数，就可得到 1 ,15,c5 = 2 ,因此,tan x = x + 1 x3 + 3,2 15,4,x5 + 。,4 “代入法”,对于例 7，我们还可采用如下的“代入法”求解：在,1 u,1 =,n0, u n,= 1 + u + u2 + ,中，以 u =,代入，可得到,cos x,
13、x 2 x 4 2!4! 1,x 2 x 4,2!4!2!4!,x 2x 4,2,= 1 + () + () + ,= 1 + x2 +5 x4 + ， 24,然后求sin x 与,cos x,1,的Cauchy 乘积，同样得到上述关于tan x 的幂级数展开。,需要向学生指出的是，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们目 前无法得到它的收敛范围，而只能知道在 x = x0 的小邻域中，幂级数展开是成立 的（事实上，tan x 的幂级数展开的收敛范围是 (- , )，它的证明需要用到复 22 变函数的知识）。 “代入法”经常用于复合函数，例如形如e f (x)，ln(1 + f (x
14、)等函数的求幂级数展 开问题。 例 8求 f (x) esin x 在 x 0 的幂级数展开( 到 x4 ),x3,(2n 1)!,解以 u sin x ,2n1,n0,(1)n,x x 代入 6,234,n0,sin x,111,n!, sin n x,f (x) e , 1 sin x sin x sin x sin x ， 2624,即可得到 f (x) esin x 1 x 1 x 2 1 x 4 ,x (,) 。 28 注对于求函数 f (x) ecos x 在 x 0 的幂级数展开问题， 我们不能采用以,24,n0,11 cosn x,u cos x 1 x x 代入 f (x)
15、224n!,的方法，请学生思考为什,么，并思考应该怎样正确使用“代入法”。 例 9求ln sin x 的幂级数展开( 到 x4 )，其中函数sin x 应理解为 xx,f (x) =,x 0,sin x , x 1，x 0.,解,首先，利用sin x 的幂级数展开，可以得到,sin x,x3!5!,x 2x 4,= 1 。,23,5,x 2x 4u 2u 3 令 u = 代入ln (1 + u) = u - ，即得 3!5!,sin x,ln=(,x3!5!,1,23!5!,x 2x 4,2,2x 4 x ) -( ) + ,x 2x 4 = 。 6180 利用例 9，我们可以得到一些有趣的结果。在前面我们已得到等式,sin x,2 2,=(1 n1,n ,x2,) ,x 两边取对数，再分别将ln (1 ,n2 2,x 2,) 展开成幂级数，,ln,x,sin x,2 2,=ln(1 ,n1,n ,x 2,2 2,1,) = - ( n1,n 2 n4 4,x2x4, ) 。,将上式与本例中的结果相比较，它们的 x2 系数，x4 系数都对应相等，于是就得 到等式,2,1,n,2,=, 6, n1 ,4,1,n1,n,=,4,。 90,x,如果我们在计算时更精细些，也就是将ln sin x 的幂级数展开计算到 x6
