《高考理科数学一轮复习课时提升作业：第2章 2.11.2《利用导数研究》（含答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考理科数学一轮复习课时提升作业：第2章 2.11.2《利用导数研究》（含答案）（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、利用导数研究函数的极值、最值(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.当函数y=x2x取极小值时,x=()A.B.-C.-ln 2D.ln 2【解析】选B.令y=2x+x2xln2=0,解得x=-.2.(2016济宁模拟)函数f(x)=x2-lnx的最小值为()A.B.1C.0D.不存在【解析】选A.f(x)=x-=,且x0,令f(x)0,得x1;令f(x)0,得0x0,f(-1)0,不满足f(-1)+f(-1)=0.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016滨州模拟)若函数f(x)=在x=1处取得极值,则a=.【解析】f(x)=,由题意知f(1)=0,所以=0,解得a=3
2、.经验证,a=3时,f(x)在x=1处取得极值.答案:37.已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为.【解析】因为f(x)=3x2+6ax+3b,所以所以f(x)=3x2-6x,令3x2-6x=0,得x=0或x=2,所以f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4.答案:48.若函数f(x)=x3-3x在区间(a,6-a2)上有最小值,则实数a的取值范围是.【解析】若f(x)=3x2-3=0,则x=1,且x=1为函数的极小值点,x=-1为函数的极大值点.函数f(x)在区间(a
3、,6-a2)上有最小值,则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6-a2)内,且左端点的函数值不小于f(1),即实数a满足a16-a2且f(a)=a3-3af(1)=-2.解a16-a2,得-a1.不等式a3-3af(1)=-2,即a3-3a+20,a3-1-3(a-1)0,(a-1)(a2+a-2)0,即(a-1)2(a+2)0,即a-2,故实数a的取值范围为上的最小值为8,求a的值.【解析】(1)f(x)=(4x2-16x+16),定义域为上单调递增,故f(x)的最小值为f(1)=4+4a+a2=8,解得a=-22,均需舍去;当-1且-4,即-10a-8时,f(x)在上单调递减,故f(x)的
4、最小值为f(4)=2(64+16a+a2)=8,解得a=-10或a=-6(舍去);当1-4,即-8a-2时,f(x)的最小值为f,因为f=0,所以不成立;当1-4,即-40a0),此时f(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1).令f(x)0,解得所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为(2)F(x)=+x-lnx=xlnx+x.由F(x)=2+lnx,得F(x)在(0,e-2)上单调递减,在(e-2,+)上单调递增.所以F(x)F(e-2)=-e-2.(3)f(x)=2(x-a)lnx+=(2xlnx+x-a),令g(x)=2xlnx+x-a,则g(x)=3+2lnx,所以函数g(x
5、)在上单调递减,在上单调递增,所以当a0时,因为函数f(x)无极值点,当a0时, 即函数g(x)在(0,+)上存在零点,记为x0,由函数f(x)无极值点,易知x=a为方程f(x)=0的重根,所以2alna+a-a=0,即2alna=0,a=1.当0a1时,x01时,x01且x0a,函数f(x)的极值点为a和x0;当a=1时,x0=1,此时函数f(x)无极值.(20分钟40分)1.(5分)已知实数a,b,c,d成等比数列,且曲线y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),则ad等于()A.2B.1C.-1D.-2【解析】选A.因为a,b,c,d成等比数列,所以ad=bc,又(b,c)为函数y=3x
6、-x3的极大值点,所以c=3b-b3,且0=3-3b2,所以或所以ad=2.2.(5分)已知y=f(x)是奇函数,当x(0,2)时,f(x)=lnx-ax,当x(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于()A.B.C.D.1【解析】选D.因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1.当x(0,2)时,f(x)=-a,令f(x)=0得x=,又a,所以02.当0x0,f(x)在上单调递增;当x时,f(x)1)在区间上的最大值为1,最小值为-1,则a=,b=.【解析】因为f(x)=3x2-3ax=3x(x-a),令f(x)=0,解得:x1=0,x2=a.因为a1,所以当x变
7、化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,1)1f(x)+0-f(x)-1-a+b极大值b1-a+b由题意得b=1.f(-1)=-,f(1)=2-,f(-1)0)上的最小值.【解析】(1)当a=5时,g(x)=(-x2+5x-3)ex,g(1)=e.又g(x)=(-x2+3x+2)ex,故切线的斜率为g(1)=4e,所以切线方程为:y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.(2)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=lnx+1,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:xf(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增当t时,在区间上f(x)为增函数,所以f(
8、x)min=f(t)=tlnt.当0t时,在区间上f(x)为减函数,在区间上f(x)为增函数,所以f(x)min=f=-.5.(13分)f(x)=x2-x+a+1+alnx.(1)a=-1时,求f(x)的最小值.(2)f(x)有两个极值点x1,x2且x1x2.证明:f(x1)-f(x2).【解析】(1)当a=-1时,f(x)=x2-x-lnx,定义域为(0,+),f(x)=2x-1-=,当x(0,1)时,f(x)0,f(x)为增函数,当x=1时,f(x)有最小值f(1)=0.(2)方法一:f(x)=,由题意设2x2-x+a=0的两个正根为x1,x2,=1-8a0且a0即0a,0x1x2,x1+x2=,x1x2=,f(x1)-f(x2)=-x1+a+1+alnx1-(-x2+a+1+alnx2)=x2-+(x2-2).要证:f(x1)-f(x2),只需证:(x2-2)-x2=,只需证:x2,只需证:ln,只需证:ln()令F(x)=ln(x-1)-x,易证:F (x)0即ln(x-1)0且a0即0a,0x1x2,x1+x2=,x1x2=,f(x1)-f(x2)=(x1+x2)(x1-x2)+x2-x1+aln=(x1-x2)+x2-x1+aln=(x2-x1)+aln,又0a,0x1x2,则x2-x1,01,则f(x1)-f(x2).
