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1、2.2函数的表示知识梳理1.函数的三种表示法(1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.(2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系.(3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系.2.复习目标(1)由所给函数表达式正确求出函数的定义域;(2)掌握求函数值域的几种常用方法;(3)能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系,求出它的解析式;(4)会进行函数三种表示方法的互化,培养学生思维的严密性、多样性.点击双基1.(2004年春季安徽)若f(sinx)=2cos2x,则f(cosx)等于A.2sin2x B.2+sin2xC
2、.2cos2xD.2+cos2x解析:f(sinx)=2(12sin2x)=1+2sin2x,f(cosx)=f(sinx)=1+2sin2(x)=1+2cos2x=2+cos2x.答案:D2.(2004年湖北,3)已知f()=,则f(x)的解析式可取为A. B.C.D.解析:令=t,则x=,f(t)=.f(x)=.答案:C评述:本题考查函数的定义及换元思想.3.(2005年春季北京,文2)函数f(x)=|x1|的图象是解析:转化为分段函数y= 答案:B4.函数y=的定义域为_,值域为_.答案:1,2 0,典例剖析【例1】 已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是A.aB.12a0
3、C.12a0D.a剖析:由a=0或可得12a0.答案:B【例2】 在ABC中,BC=2,AB+AC=3,中线AD的长为y,AB的长为x,建立y与x的函数关系式,并指出其定义域.解:设ADC,则ADB.根据余弦定理得12y22ycos(3x)2,12y22ycos()x2.由整理得y.其中 解得x.函数的定义域为(,).评述:函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围,同时也要注意变量的实际意义的要求.【例3】 若函数f(x)=的值域为1,5,求实数a、c.解:由y=f(x)=,得x2yax+cy1=0.当y=0时,ax=1,a0.当y0时,xR,=a24y(cy1)0.4cy24ya20.1
4、y5,1、5是方程4cy24ya2=0的两根.评述:求f(x)=(a12+a220)的值域时,常利用函数的定义域非空这一隐含的条件,将函数转化为方程,利用0转化为关于函数值的不等式.求解时,要注意二次项系数为字母时要讨论.闯关训练夯实基础1.函数y=的值域是A.1,1 B.(1,1 C.1,1) D.(1,1)解法一:y=1.1+x21,02.1y1.解法二:由y=,得x2=. x20,0,解得1y1.解法三:令x=tan(),则y=cos2.2,1cos21,即1y1.答案:B2.如果ff(x)=2x1,则一次函数f(x)=_.解析:设f(x)=kx+b,则ff(x)=kf(x)+b=k(k
5、x+b)+b=k2x+kb+b.由于该函数与y=2x1是同一个函数,k2=2且kb+b=1.k=.当k=时,b=1;当k=时,b=1+.答案:f(x)=x+1或f(x)=x+1+3.已知f(x24)=lg,则f(x)的定义域为_.解析:设x24=t,则t4,x2=4+t. f(t)=lg.f(x)=lg(x4).由得x4.答案:(4,+)4.用长为l的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如下图),若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式,并写出其定义域.解:AB=2x,则=x,AD=.y=2x+=(+2)x2+lx.由0,解得0x.5.(2005年北京市西城区模拟题)已知函
6、数f(x)=则f(lg30lg3)=_;不等式xf(x1)10的解集是_.解析:f(lg30lg3)=f(lg10)=f(1)=2,f(x1)=当x3时,x(x3)102x5,故3x5.当x3时,2x10x5,故5x3.总之x(5,5).答案:2 x|5x5培养能力6.设定义在N上的函数f(x)满足f(n)= 试求f(2002)的值.解:20022000,f(2002)=ff(200218)=ff(1984)=f1984+13=f(1997)=1997+13=2010.7.设f(x)=2x+1,已知f(m)=,求f(m).解:f(m)=,2m+1=. 2m=1.而f(m)=+2m+1=+2m+
7、1=+2m+1=+2m+1=+ 2m+1=(2m)+1=(1)+1=2.8.(理)(2003年重庆市高三毕业班诊断性考试)某市有小灵通与全球通两种手机,小灵通手机的月租费为25元,接听电话不收费,打出电话一次在3 min以内收费0.2元,超过3 min的部分为每分钟收费0.1元,不足1 min按1 min计算(以下同).全球通手机月租费为10元,接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多,每次接听与打出的时间在1 min以内、1到2 min以内、2到3 min以内、3到4 min以内的次数之比为4311.问,根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省?(注:m到m+
8、1 min以内指含m min,而不含m+1 min)解:设小灵通每月的费用为y1元,全球通的费用为y2元,分别在1 min以内、2 min以内、3 min以内、4 min以内的通话次数为4x、3x、x、x,则y1=25+(4x+3x+x+x)0.2+0.1x=25+1.9x,y2=10+2(0.24x+0.43x+0.6x+0.8x)=10+6.8x.令y1y2,即25+1.9x10+6.8x,解得x3.06.总次数为(4+3+1+1)23.06=55.1.故当他每月的通话次数小于等于55次时,应选择全球通,大于55次时应选择小灵通.(文)(2005年北京东城区模拟题)定义“符号函数”f(x)
9、=sgnx=则不等式x+2(x2)sgnx的解集是_.解析:分类讨论.答案:(,+)探究创新9.图是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.(1)试说明图上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义.(2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议,如图所示.你能根据图象,说明这两种建议的意义吗?解:(1)点A表示无人乘车时收入差额为20元,点B表示有10人乘车时收入差额为0元,线段AB上的点表示亏损,AB延长线上的点表示赢利.(2)图的建议是降低成本,票价不变,图的建议是增加票价.深化拓展(1)图、图中的票价是多少元?图中的票价是多少元?(2)此问题中直线斜率的实际意义是什么
10、?答案:(1)图中的票价是2元.图(3)中的票价是4元.(2)斜率表示票价.思悟小结1.并不是所有的函数关系都可以用解析式来表示,函数还有另外两种表示方法:列表法、图象法.2.求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造模式,可用待定系数法;如果已知复合函数fg(x)的表达式来求f(x),常用换元法;当已知表达式较简单时,甚至可直接用凑配法求解.3.要熟悉求函数值域的几种基本方法,遇到求值域的问题,应优先考虑采用特殊方法,如不等式法、配方法、几何法、换元法等.当特殊方法不易解决时,再采用一般方法如方程法求解.如一题可有多种方法解决时,应注意选择最优解法.教师下载中心教学点睛1.用换元法解决问题时,应提醒学生注意“新元”相应的取值范围.2.强化待定系数法在求函数解析式中的重要作用.3.新课改对函数的图象表示提出了更高的要求,要加强图象表示的教学.拓展题例【例题】 已知扇形的周长为10,求扇形半径r与面积S的函数关系式及此函数的定义域、值域.解:设扇形的弧长为l,则l=102r,S=lr=(5r)r=r2+5r.由得r5. S=r2+5r的定义域为(,5).又S=r2+5r=(r)2+且 r=(,),当r=时,S最大=. 又S52+55=0,S=r2+5r,r(,5)的值域为(0,.