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1、- 1 - 1.3.2 球的体积和表面积 A级基础巩固 一、选择题 1若一个球的体积扩大到原来的27 倍,则它的表面积扩大到原来的( ) A3 倍B33 倍 C9 倍D93 倍 解析:由V 27 V,得R 3R, R R 3 则球的表面积比SS R R 2 9. 答案: C 2用与球心距离为1 的平面去截球,所得截面圆的面积为,则球的表面积为( ) A. 8 3 B. 32 3 C8D. 82 3 解析:设球的半径为R,则截面圆的半径为R 2 1, 所以截面圆的面积为S (R 21)2 ( R 21) , 所以R 2 2, 所以球的表面积S4R 28 . 答案: C 3如图所示,是某几何体的三
2、视图,则该几何体的体积为( ) A9 42 B36 18 - 2 - C.9 2 12 D. 9 2 18 解析:由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体,其体积V 4 3 3 2 3 332 9 2 18. 答案: D 4 设长方体的长、 宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ) A3a 2 B6a 2 C12a 2 D24a 2 解析:设该球的半径为R, 所以 (2R) 2(2 a) 2 a 2 a 26a2, 即 4R 26a2. 所以球的表面积为S4R 26 a 2. 答案: B 5下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得几何体的表面积是( )
3、 A4 24 B4 32 C22D12 解析:由三视图可知,该几何体上部分为半径为1 的球,下部分为底边长为2,高为 3 的正 四棱柱,几何体的表面积为4 32. 答案: B 二、填空题 6(2017天津卷 ) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18, 则这个球的体积为_ 解析:设正方体的棱长为a,则 6a 218,所以 a3. 设球的半径为R,则由题意知2Ra 2 a 2 a 23, - 3 - 所以R 3 2. 故球的体积V 4 3 R 34 3 3 2 3 9 2. 答案: 9 2 7两个球的表面积之差为48,它们的大圆周长之和为12,则这两个球的半径之差为 _
4、 解析:由题意设两球半径分别为R、r(Rr) , 则: 4R 2 4 r 248 2R2r12 即 R 2 r 212 Rr6. , 所以Rr2. 答案: 2 8.(2017 江苏卷 ) 如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则 V1 V2的值是 _ 解析:设球O的半径为R, 因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切, 所以圆柱O1O2的高为 2R,底面半径为R. 所以 V1 V2 R 2 2R 4 3 R 3 3 2. 答案: 3 2 三、解答题 9某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半
5、球形,若图中r 1,l 3,试求该组合体的表面积和体积 解:组合体的表面积S4r 22 rl4 1 22 1 310 . - 4 - 因为圆柱的体积V圆柱r 2 l 1 2 33, 又两个半球的体积2V半球4 3 r 34 3, 因此组合体的体积V3 4 3 13 3 . 10如图,一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm,瓶里所装的水深为8 cm,将一个钢球完 全浸入水中,瓶中水的高度上升到8.5 cm ,求钢球的半径 解:设球的半径为R,由题意可得 4 3 R 3 320.5 , 解得:R1.5 (cm), 所以所求球的半径为1.5 cm. B级能力提升 1用与球心距离为1 的平面去截球,所得
6、的截面面积为,则球的体积为( ) A. 8 3 B. 82 3 C82D.32 3 解析:截面面积为,则该小圆的半径为1,设球的半径为R,则R 212122, 所以R2,V 4 3R 38 2 3 . 答案: B 2我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天 池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸,盆府直径为一尺二寸,盆深一尺八寸若盆中积水深 九寸,则平地降雨量是_寸 ( 注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸) 解析:圆台的轴截面是下底长为12 寸,上底长为28 寸,高为18 寸的等腰梯形,雨水线恰 为中位线,故雨水线直径是20 寸,所以降水量为
7、3 (10 210 662) 9 14 23( 寸 ) 答案: 3 3体积相等的正方体、球、等边圆柱( 轴截面为正方形的圆柱) 的表面积分别是S1,S2,S3, 试比较它们的大小 解:设正方体的棱长为a,球的半径为R,等边圆柱的底面半径为r, 则S16a 2, S24R 2, S36r 2. - 5 - 由题意知, 4 3 R 3 a 3 r 22r , 所以R 3 3 4a, r 3 1 2 a, 所以S24 3 3 4 a 2 4 3 9 16 2a 23 36a 2, S36 3 1 2 a 2 6 3 1 4 2a 23 54a 2, 所以S2S3. 又 6a 23 3 1 2 a 23 54a 2,即 S1S3. 所以S1,S2,S3的大小关系是S2S3S1.