《2020高中数学第一章1.3的表面积与体积1.3.2球的体积和表面积检测新人教A版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高中数学第一章1.3的表面积与体积1.3.2球的体积和表面积检测新人教A版必修2（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 - 1.3.2 球的体积和表面积 A级基础巩固 一、选择题 1若一个球的体积扩大到原来的27 倍，则它的表面积扩大到原来的( ) A3 倍B33 倍 C9 倍D93 倍 解析：由V 27 V，得R 3R， R R 3 则球的表面积比SS R R 2 9. 答案： C 2用与球心距离为1 的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为( ) A. 8 3 B. 32 3 C8D. 82 3 解析：设球的半径为R，则截面圆的半径为R 2 1， 所以截面圆的面积为S (R 21)2 ( R 21) ， 所以R 2 2， 所以球的表面积S4R 28 . 答案： C 3如图所示，是某几何体的三
2、视图，则该几何体的体积为( ) A9 42 B36 18 - 2 - C.9 2 12 D. 9 2 18 解析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V 4 3 3 2 3 332 9 2 18. 答案： D 4 设长方体的长、 宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A3a 2 B6a 2 C12a 2 D24a 2 解析：设该球的半径为R， 所以 (2R) 2(2 a) 2 a 2 a 26a2， 即 4R 26a2. 所以球的表面积为S4R 26 a 2. 答案： B 5下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是( )
3、 A4 24 B4 32 C22D12 解析：由三视图可知，该几何体上部分为半径为1 的球，下部分为底边长为2，高为 3 的正 四棱柱，几何体的表面积为4 32. 答案： B 二、填空题 6(2017天津卷 ) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18， 则这个球的体积为_ 解析：设正方体的棱长为a，则 6a 218，所以 a3. 设球的半径为R，则由题意知2Ra 2 a 2 a 23， - 3 - 所以R 3 2. 故球的体积V 4 3 R 34 3 3 2 3 9 2. 答案： 9 2 7两个球的表面积之差为48，它们的大圆周长之和为12，则这两个球的半径之差为 _
4、 解析：由题意设两球半径分别为R、r(Rr) ， 则： 4R 2 4 r 248 2R2r12 即 R 2 r 212 Rr6. ， 所以Rr2. 答案： 2 8.(2017 江苏卷 ) 如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切， 记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则 V1 V2的值是 _ 解析：设球O的半径为R， 因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切， 所以圆柱O1O2的高为 2R，底面半径为R. 所以 V1 V2 R 2 2R 4 3 R 3 3 2. 答案： 3 2 三、解答题 9某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半
5、球形，若图中r 1，l 3，试求该组合体的表面积和体积 解：组合体的表面积S4r 22 rl4 1 22 1 310 . - 4 - 因为圆柱的体积V圆柱r 2 l 1 2 33， 又两个半球的体积2V半球4 3 r 34 3， 因此组合体的体积V3 4 3 13 3 . 10如图，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，将一个钢球完 全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm ，求钢球的半径 解：设球的半径为R，由题意可得 4 3 R 3 320.5 ， 解得：R1.5 (cm)， 所以所求球的半径为1.5 cm. B级能力提升 1用与球心距离为1 的平面去截球，所得
6、的截面面积为，则球的体积为( ) A. 8 3 B. 82 3 C82D.32 3 解析：截面面积为，则该小圆的半径为1，设球的半径为R，则R 212122， 所以R2，V 4 3R 38 2 3 . 答案： B 2我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天 池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆府直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深 九寸，则平地降雨量是_寸 ( 注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸) 解析：圆台的轴截面是下底长为12 寸，上底长为28 寸，高为18 寸的等腰梯形，雨水线恰 为中位线，故雨水线直径是20 寸，所以降水量为
7、3 （10 210 662） 9 14 23( 寸 ) 答案： 3 3体积相等的正方体、球、等边圆柱( 轴截面为正方形的圆柱) 的表面积分别是S1，S2，S3， 试比较它们的大小 解：设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r， 则S16a 2， S24R 2， S36r 2. - 5 - 由题意知， 4 3 R 3 a 3 r 22r ， 所以R 3 3 4a， r 3 1 2 a， 所以S24 3 3 4 a 2 4 3 9 16 2a 23 36a 2， S36 3 1 2 a 2 6 3 1 4 2a 23 54a 2， 所以S2S3. 又 6a 23 3 1 2 a 23 54a 2，即 S1S3. 所以S1，S2，S3的大小关系是S2S3S1.
