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1、学业分层测评（二十一） (建议用时： 45 分钟) 学业达标 一、选择题 1已知 x0，y0，x，a，b，y成等差数列， x，c，d，y 成等比数列， 则 ab 2 cd 的最小值是 () A0 B1 C2 D4 【解析】 ab 2 cd xy 2 xy 4xy xy 4，当且仅当 xy 时等号成立 【答案】D 2设 x0，则 y33x1 x的最大值是 ( ) A3 B322 C32 3 D1 【解析】y33x 1 x3 3x 1 x 323x 1 x32 3， 当且仅当 3x1 x，即 x 3 3 时取等号 【答案】C 3下列函数中，最小值为4 的函数是 () Ayx 4 x Bysin x
2、 4 sin x Cye x4ex Dylog3xlogx81 【解析】A、D 不能保证是两正数之和， sin x 取不到 2，只有 C 项满足两 项均为正，当且仅当xln 2 时等号成立 【答案】C 4 已知 ma 1 a2(a2)， n22b 2(b0)， 则 m， n 之间的大小关系是 ( ) AmnBm2，a20. 又ma 1 a2(a2) 1 a222 a2 1 a224(当且仅当 a 2 1 a2，即 a3 时，“”成立) 即 m4，)，由 b0 得 b20， 2b22，22b24，即 nn. 【答案】A 5已知 x0，y0，x2y2xy8，则 x2y 的最小值是 () A3 B4
3、 C.9 2 D. 11 2 【解析】x2y2xy8，y 8x 2x20. 0x0， x x 23x1a 恒成立，则 a 的取值范围是 _ 【解析】因为 x0，所以 x 1 x2. 当且仅当 x1 时取等号，所以有 x x 23x1 1 x 1 x3 1 23 1 5， 即 x x 23x1的最大值为 1 5， 故 a 1 5. 【答案】 1 5， 8设 a0，b0，给出下列不等式： a21a； a 1 a b1 b 4； (ab) 1 a 1 b 4； a296a. 其中恒成立的是 _(填序号 ) 【解析】由于 a21a a1 2 23 40，故恒成立； 由于 a1 a2，b 1 b2. a
4、 1 a b1 b 4，故恒成立； 由于 ab2 ab，1 a 1 b2 1 ab， 故(ab) 1 a 1 b 4，故恒成立；当 a3 时，a296a，故不能恒成立 【答案】 三、解答题 9(1)已知 x3，求 f(x) 4 x3x 的最大值； (2)已知 x，yR ，且 xy4，求1 x 3 y的最小值 . 【导学号： 05920079】 【解】(1)x3，x30， b0， 所以ab1 a 2 b2 2 ab， 即 ab2 2， 当且仅当 1 a 2 b， 1 a 2 b ab 即 a 4 2，b242时取“”，所以 ab 的最小值 为 2 2. 【答案】C 2若 lg(3x)lgylg(
5、xy1)，则 xy 的最小值为 () A1 B2 C3 D4 【解】由 lg(3x)lgylg(xy1)， 得 x0， y0， 3xyxy1， 因为 x0，y0，所以 3xyxy12 xy1， 所以 3xy2xy10， 即 3( xy)22 xy10， 所以(3 xy1)(xy1)0， 所以xy1，所以 xy1， 当且仅当xy1 时，等号成立， 所以 xy 的最小值为 1. 【答案】A 3设正实数 x，y，z 满足 x 23xy4y2z0，则当xy z 取得最大值时 2 x 1 y 2 z的最大值为 _ 【解析】 xy z xy x 23xy4y2 1 x y 4y x 3 1 431 当且仅
6、当 x2y 时等式成立，此时z2y2，2 x 1 y 2 z 1 y 22 y 1 y1 2 11，当且仅当 y1 时等号成立，故所求的最大值为1. 【答案】1 4已知函数 f(x)lg x(xR )，若 x 1，x2R ，判断1 2f(x1)f(x2)与 f x1x2 2 的大小并加以证明 【解】 1 2f(x1)f(x2)f x1x2 2 . 证明： f(x1)f(x2) lg x1lg x2lg(x1 x2)， f x1x2 2 lg x1x2 2 . x1，x2R ，x1x2 2 x1 x2， lgx1 x2lg x1x2 2 ， 即1 2lg(x1 x2)lg x1x2 2 ， 1 2(lg x1lg x2)lg x1x2 2 . 故1 2f(x1)f(x2)f x1x2 2 .
