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1、学业分层测评(二十一) (建议用时: 45 分钟) 学业达标 一、选择题 1已知 x0,y0,x,a,b,y成等差数列, x,c,d,y 成等比数列, 则 ab 2 cd 的最小值是 () A0 B1 C2 D4 【解析】 ab 2 cd xy 2 xy 4xy xy 4,当且仅当 xy 时等号成立 【答案】D 2设 x0,则 y33x1 x的最大值是 ( ) A3 B322 C32 3 D1 【解析】y33x 1 x3 3x 1 x 323x 1 x32 3, 当且仅当 3x1 x,即 x 3 3 时取等号 【答案】C 3下列函数中,最小值为4 的函数是 () Ayx 4 x Bysin x
2、 4 sin x Cye x4ex Dylog3xlogx81 【解析】A、D 不能保证是两正数之和, sin x 取不到 2,只有 C 项满足两 项均为正,当且仅当xln 2 时等号成立 【答案】C 4 已知 ma 1 a2(a2), n22b 2(b0), 则 m, n 之间的大小关系是 ( ) AmnBm2,a20. 又ma 1 a2(a2) 1 a222 a2 1 a224(当且仅当 a 2 1 a2,即 a3 时,“”成立) 即 m4,),由 b0 得 b20, 2b22,22b24,即 nn. 【答案】A 5已知 x0,y0,x2y2xy8,则 x2y 的最小值是 () A3 B4
3、 C.9 2 D. 11 2 【解析】x2y2xy8,y 8x 2x20. 0x0, x x 23x1a 恒成立,则 a 的取值范围是 _ 【解析】因为 x0,所以 x 1 x2. 当且仅当 x1 时取等号,所以有 x x 23x1 1 x 1 x3 1 23 1 5, 即 x x 23x1的最大值为 1 5, 故 a 1 5. 【答案】 1 5, 8设 a0,b0,给出下列不等式: a21a; a 1 a b1 b 4; (ab) 1 a 1 b 4; a296a. 其中恒成立的是 _(填序号 ) 【解析】由于 a21a a1 2 23 40,故恒成立; 由于 a1 a2,b 1 b2. a
4、 1 a b1 b 4,故恒成立; 由于 ab2 ab,1 a 1 b2 1 ab, 故(ab) 1 a 1 b 4,故恒成立;当 a3 时,a296a,故不能恒成立 【答案】 三、解答题 9(1)已知 x3,求 f(x) 4 x3x 的最大值; (2)已知 x,yR ,且 xy4,求1 x 3 y的最小值 . 【导学号: 05920079】 【解】(1)x3,x30, b0, 所以ab1 a 2 b2 2 ab, 即 ab2 2, 当且仅当 1 a 2 b, 1 a 2 b ab 即 a 4 2,b242时取“”,所以 ab 的最小值 为 2 2. 【答案】C 2若 lg(3x)lgylg(
5、xy1),则 xy 的最小值为 () A1 B2 C3 D4 【解】由 lg(3x)lgylg(xy1), 得 x0, y0, 3xyxy1, 因为 x0,y0,所以 3xyxy12 xy1, 所以 3xy2xy10, 即 3( xy)22 xy10, 所以(3 xy1)(xy1)0, 所以xy1,所以 xy1, 当且仅当xy1 时,等号成立, 所以 xy 的最小值为 1. 【答案】A 3设正实数 x,y,z 满足 x 23xy4y2z0,则当xy z 取得最大值时 2 x 1 y 2 z的最大值为 _ 【解析】 xy z xy x 23xy4y2 1 x y 4y x 3 1 431 当且仅
6、当 x2y 时等式成立,此时z2y2,2 x 1 y 2 z 1 y 22 y 1 y1 2 11,当且仅当 y1 时等号成立,故所求的最大值为1. 【答案】1 4已知函数 f(x)lg x(xR ),若 x 1,x2R ,判断1 2f(x1)f(x2)与 f x1x2 2 的大小并加以证明 【解】 1 2f(x1)f(x2)f x1x2 2 . 证明: f(x1)f(x2) lg x1lg x2lg(x1 x2), f x1x2 2 lg x1x2 2 . x1,x2R ,x1x2 2 x1 x2, lgx1 x2lg x1x2 2 , 即1 2lg(x1 x2)lg x1x2 2 , 1 2(lg x1lg x2)lg x1x2 2 . 故1 2f(x1)f(x2)f x1x2 2 .