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1、第一章 数和数的运算 一概念 (一)整数 1、数字的规范书写 2、整数的意义( 自然数和 0 都是整数。 ) 3、自然数(我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3叫做自 然数。一个物体也没有,用0 表示。 0 也是自然数。) 4、计数单位 ( 一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿 都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法 叫做十进制计数法。) 5、 数位(计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数 位。) 6、数的整除 ( 整数 a 除以整数 b(b 0 ),除得的商是整数而没有余数,我 们就说 a 能被 b 整除,或者说 b 能整除 a 。
2、 如果数 a 能被数 b(b 0)整除, a 就叫做 b 的倍数, b 就叫做 a 的约数(或 a 的因数)。倍数和约数是相互依存的。 因为 35 能被 7 整除,所以 35 是 7 的倍数, 7 是 35 的约数。 一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身。 例如: 10 的约数有 1、2、5、10,其中最小的约数是1,最大的约数是 10。 一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。3 的倍数有: 3、6、 9、12其中最小的倍数是3 ,没有最大的倍数。 个位上是 0、2、4、6、 8 的数,都能被 2 整除,例如: 202、480、304,都能 被 2
3、整除。 个位上是 0 或 5 的数,都能被 5 整除,例如:5、 30、 405 都能被 5 整除。一 个数的各位上的数的和能被3 整除,这个数就能被 3 整除,例如:12、108、204 都能被 3 整除。 一个数各位数上的和能被9 整除,这个数就能被9 整除。 能被 3 整除的数不一定能被9 整除,但是能被 9 整除的数一定能被3 整除。 一个数的末两位数能被4(或 25)整除,这个数就能被4(或 25)整除。例如: 16、404、1256都能被 4 整除, 50、325、500、1675 都能被 25 整除。 一个数的末三位数能被8(或 125)整除,这个数就能被8(或 125)整除。例
4、 如:1168、4600、5000、12344都能被 8 整除, 1125、13375、5000 都能被 125 整除。 能被 2 整除的数叫做偶数。 不能被 2 整除的数叫做奇数。 0 也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 一个数,如果只有 1 和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数),100 以 内的质数有: 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、 53 、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一个数,如果除了1 和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数,例如 4 、6、 8、9、12 都是合数。 1 不是
5、质数也不是合数,自然数除了1 外,不是质数就是合数。如果把自然数按 其约数的个数的不同分类,可分为质数、合数和1。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数, 叫做这个合数的质因数,例如15=35,3 和 5 叫做 15 的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。 例如把 28 分解质因数 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数。其中最大的一个,叫做这几个数 的最大公约数,例如12 的约数有 1、2、3、4、6、12;18 的约数有 1、2、3、6、 9、18。其中, 1、2、3、6 是 12和 1 8 的公约数, 6 是它们的最大公约数。
6、公约数只有 1 的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况: 1 和任何自然数互质。 相邻的两个自然数互质。 两个不同的质数互质。 当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。 两个合数的公约数只有1 时,这两个合数互质,如果几个数中任意两个都互质, 就说这几个数两两互质。 如果较小数是较大数的约数,那么较小数就是这两个数的最大公约数。 如果两个数是互质数,它们的最大公约数就是1。 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数 的最小公倍数,如2 的倍数有 2、4、6 、8、10、12、14、16、18 3 的倍数有 3、6、9、12、15、18 其中
7、 6、12、18是 2、3 的公倍数, 6 是它们的最小公倍数。 如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。 如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 几个数的公约数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。 (二)小数 1、小数的意义 把整数 1 平均分成 10 份、100 份、1000份 得到的十分之几、百分之几、 千分之几 可以用小数表示。 一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之 几 一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点, 小数点左边的数叫做整数部分,小数点左边的数叫做整数部分,小数点右边的
8、 数叫做小数部分。 在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位 “十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。 2、小数的分类 纯小数:整数部分是零的小数,叫做纯小数。例如:、都是纯小数。 带小数:整数部分不是零的小数,叫做带小数。例如:、都是带小数。 有限小数:小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。例如:、都 是有限小数。 无限小数:小数部分的数位是无限的小数, 叫做无限小数。 例如: 无限不循环小数:一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小 数叫做无限不循环小数。例如: 循环小数:一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出
9、现, 这个数叫做循环小数。例如: 一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环 节。 例如:的循环节是“ 9 ” ,的循环节是“ 54 ” 。 纯循环小数:循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数。例 如: 混循环小数:循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小 数。 写循环小数的时候,为了简便,小数的循环部分只需写出一个循环节,并在这 个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有 一个数字,就只 在它的上面点一个点。例如: 简写作 简写作。 (三)分数 1、 分数的意义 把单位“ 1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 在分数里,中间
10、的横线叫做分数线;分数线下面的数,叫做分母,表示把单位 “1”平均分成多少份;分数线下面的数叫做分子,表示有这样的多少份。 把单位“ 1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。 2 、分数的分类 真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。 假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。假分数大于 或等于 1。 带分数:假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。 3 、约分和通分 把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数,叫做约分。 分子分母是互质数的分数,叫做最简分数。 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。 (四)百分
11、数 1、 表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数 , 也叫做百分率或百分 比。百分数通常用 %来表示。百分号是表示百分数的符号。 二、方法 (一)数的读法和写法 1. 整数的读法: 从高位到低位,一级一级地读。读亿级、万级时,先按照个级 的读法去读,再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0 都不读出来, 其它数位连续有几个0 都只读一个零。 2. 整数的写法: 从高位到低位, 一级一级地写, 哪一个数位上一个单位也没有, 就在那个数位上写0。 3. 小数的读法: 读小数的时候,整数部分按照整数的读法读,小数点读作 “点”,小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。 4. 小数的写
12、法: 写小数的时候,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个 位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字。 5. 分数的读法: 读分数时,先读分母再读“分之”然后读分子,分子和分母按 照整数的读法来读。 6. 分数的写法:先写分数线,再写分母,最后写分子,按照整数的写法来写。 7. 百分数的读法: 读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时按 照整数的读法来读。 8. 百分数的写法: 百分数通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分 号“% ”来表示。 (二)数的改写 一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用“万”或“亿”作单位 的数。有时还可以根据需要,省略这个数某一位
13、后面的数,写成近似数。 1. 准确数: 在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万 或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。例如把 00 改写成以万做单位 的数是 125430 万;改写成以亿做单位的数亿。 2. 近似数: 根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾 数,用一个近似数来表示。例如: 15 省略亿后面的尾数是 13 亿。 3. 四舍五入法 : 要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比 4 小, 就把尾数去掉; 如果尾数的最高位上的数是5 或者比 5 大, 就把尾数舍去,并向它的前一位进1。 例如:省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略
14、 20 亿后面的尾数约是 47 亿。 4. 大小比较 (1). 比较整数大小: 比较整数的大小, 位数多的那个数就大, 如果位数相同, 就看最高位,最高位上的数大,那个数就大;最高位上的数相同,就看下一位, 哪一位上的数大那个数就大。 (2). 比较小数的大小: 先看它们的整数部分,整数部分大的那个数就大; 整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百 分位上的数大的那个数就大 (3). 比较分数的大小 : 分母相同的分数,分子大的分数比较大;分子相同的 数,分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的,先通分,再比较两个数 的大小。 (三)数的互化 1. 小数化成分数:
15、 原来有几位小数,就在1 的后面写几个零作分母,把原来的 小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。 2. 分数化成小数: 用分母去除分子。 能除尽的就化成有限小数, 有的不能除尽, 不能化成有限小数的,一般保留三位小数。 3. 一个最简分数,如果分母中除了2 和 5 以外,不含有其他的质因数,这个分 数就能化成有限小数;如果分母中含有2 和 5 以外的质因数,这个分数就不能 化成有限小数。 4. 小数化成百分数: 只要把小数点向右移动两位, 同时在后面添上百分号。 5. 百分数化成小数: 把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向 左移动两位。 6. 分数化成百分数: 通常先把分数化成小
16、数(除不尽时,通常保留三位小数), 再把小数化成百分数。 7. 百分数化成小数: 先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。 (四)数的整除 1. 把一个合数分解质因数,通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除, 一直除到商是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式。 2. 求几个数的最大公约数的方法是:先用这几个数的公约数连续去除,一直除 到所得的商只有公约数1 为止,然后把所有的除数连乘求积,这个积就是这几 个数的的最大公约数。 3. 求几个数的最小公倍数的方法是:先用这几个数(或其中的部分数)的公约 数去除,一直除到互质(或两两互质)为止,然后把所有的除数和商连乘求积, 这个积就是这几个数的最小公倍数。 4. 成为互质关系的两个数:1 和任何自然数互质; 相邻的两个自然数互 质;当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质;两个合数的 公约数只有 1 时,这两个合数互质。 (五) 约分和通分 约分的方法: 用分子和分母的公约数( 1 除外)去除分子、分母;通常要除到得 出最简分数为止。 通分的方法: 先求出原来的几个分数分母