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1、1 工程数学作业(一)答案(满分 100 分) 第 2 章 矩阵 (一)单项选择题(每小题 2 分,共 20 分) 设,则(D) aaa bbb ccc 123 123 123 2 aaa ababab ccc 123 112233 123 232323 A. 4 B. 4 C. 6 D. 6 若,则(A) 0001 000 0200 100 1 a a a A. B. 1 C. D. 1 1 2 1 2 乘积矩阵中元素(C) 11 24 103 521 c23 A. 1 B. 7 C. 10 D. 8 设均为阶可逆矩阵,则下列运算关系正确的是(B)A B,n A. B. ABAB 111 (
2、)ABBA 1 1 C. D. ()ABAB 111 ()ABA B 111 设均为阶方阵,且,则下列等式正确的是(D)A B,nk 0k 1 A. B. ABABABn A B C. D. kAk A kAkA n () 下列结论正确的是(A) A. 若是正交矩阵,则也是正交矩阵AA1 B. 若均为阶对称矩阵,则也是对称矩阵A B,nAB C. 若均为阶非零矩阵,则也是非零矩阵A B,nAB D. 若均为阶非零矩阵,则A B,nAB 0 矩阵的伴随矩阵为(C) 13 25 A. B. 13 25 13 25 C. D. 53 21 53 21 方阵可逆的充分必要条件是(B)A A. B. C
3、. D. A 0A 0A* 0A* 0 设均为阶可逆矩阵,则(D)A B C,n()ACB 1 A. B. ( ) BA C 111 B CA 11 C. D. A CB 111 ()()BCA 111 设均为阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(A)A B C,n A. B. ()ABAABB 222 2()AB BBAB 2 C. D. ()22 1111 ABCCBA ()22ABCC B A 2 (二)填空题(每小题 2 分,共 20 分) 7 210 140 001 是关于的一个一次多项式,则该多项式一次项的系数是 2 111 11 111 xx 若为矩阵,为矩阵,切乘积有意义,则为 54
4、 矩阵A34B25AC B C 二阶矩阵A 11 01 5 10 51 设,则 AB 12 40 34 120 314 ,()AB 815 360 设均为 3 阶矩阵,且,则 72 A B,AB 32AB 设均为 3 阶矩阵,且,则 3 A B,AB 13, 3 12 ()A B 若为正交矩阵,则 0 A a 1 01 a 矩阵的秩为 2 212 402 033 设是两个可逆矩阵,则AA 12 , AO OA 1 2 1 1 2 1 1 AO OA (三)解答题(每小题 8 分,共 48 分) 设,求;ABC 12 35 11 43 54 31 ,ABAC23ACAB5AB ()AB C 答案
5、:答案: 81 30 BA 40 66 CA 73 1617 32CA 012 2226 5BA 1223 77 AB 80151 2156 )(CAB 设,求ABC 121 012 103 211 114 321 002 ,ACBC 解解: 1022 1046 200 123 411 102 420 )(CBABCAC 已知,求满足方程中的AB 310 121 342 102 111 211 ,32AXBX 解解:32AXB 3 2 5 2 11 2 7 1 2 5 1 1 2 3 4 5117 252 238 2 1 )3( 2 1 BAX 写出 4 阶行列式 1020 1436 0253
6、 3110 中元素的代数余子式,并求其值aa 4142 , 答案答案: 0 352 634 020 ) 1( 14 41 a45 350 631 021 ) 1( 24 42 a 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵: ; ; 122 212 221 1234 2312 1111 1026 1000 1100 1110 1111 解:(1) 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 100 010 001 9 1 9 2 9 2 0 3 1 3 2 0 3 2 3 1 100 210 201 122 012 0 3 2 3 1 900 630 201 102 012 0
7、01 360 630 221 100 010 001 122 212 221 | 23 13 3 2 32 12 31 21 2 2 9 1 3 1 2 3 2 2 2 rr rr r r rr rr rr rr IA 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 1 A (2)(过程略) (3) 3514 1201 1320517 1726622 1 A 1100 0110 0011 0001 1 A 求矩阵的秩 1011011 1101100 1012101 2113201 4 解解: 0000000 0111000 1110110 1101101 0111000
8、 0111000 1110110 1101101 1221110 0111000 1110110 1101101 1023112 1012101 0011011 1101101 43 4241 31 21 2 rr rrrr rr rr 3)(AR (四)证明题(每小题 4 分,共 12 分) 对任意方阵,试证是对称矩阵AAA 证明:证明:) () (AAAAAAAA 是对称矩阵AA 若是阶方阵,且,试证或AnAAI A 11 证明证明: 是阶方阵,且AnAAI 1 2 IAAAAA 或A 11A 若是正交矩阵,试证也是正交矩阵AA 证明:证明: 是正交矩阵A AA 1 )()()( 111
9、AAAA 即是正交矩阵A 工程数学作业(第二次)(满分 100 分) 第 3 章 线性方程组 (一)单项选择题(每小题 2 分,共 16 分) 用消元法得的解为(C) xxx xx x 123 23 3 241 0 2 x x x 1 2 3 A. B. ,1 02,7 22 C. D. ,11 22,1122 线性方程组(B) xxx xx xx 123 13 23 232 6 334 A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解 向量组的秩为(A) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 3 0 4 , A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 5 设向量组为,则(B
10、)是极大无关组 1234 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 , A. B. C. D. 12 , 123 , 124 ,1 与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,若这个方程组无解,则(D)AA A. 秩秩 B. 秩秩( )A ()A( )A ()A C. 秩秩 D. 秩秩( )A ()A( )A ()A 1 若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解,则该线性方程组(A) A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 以下结论正确的是(D) A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯
11、一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解 若向量组线性相关,则向量组内(A)可被该向量组内其余向量线性表出 12 , s A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量 9设 A,为阶矩阵,既是又是的特征值,既是又是的属于的特征向量,则结论()成立nx 是 AB 的特征值 是 A+B 的特征值 是 AB 的特征值 是 A+B 的属于的特征向量x 10设,为阶矩阵,若等式()成立,则称和相似n BAAB ABAB ) (BPAP 1 BPPA (二)填空题(每小题 2 分,共 16 分) 当 时,齐次线性方程组
12、有非零解 xx xx 12 12 0 0 向量组线性 相关 12 0 0 01 1 1, , 向量组的秩是 1 2 31 2 01 0 00 0 0, 设齐次线性方程组的系数行列式,则这个方程组有 无穷多 解,且 112233 0 xxx 123 0 系数列向量是线性 相关 的 123 , 向量组的极大线性无关组是 123 1 00 10 0, 21, 向量组的秩与矩阵的秩 相同 12 , s 12 , s 设线性方程组中有 5 个未知量,且秩,则其基础解系中线性无关的解向量有 个AX 0( )A 3 设线性方程组有解,是它的一个特解,且的基础解系为,则的通解为AXbX0AX 0XX 12 ,AXb 22110 XkXkX 9若是的特征值,则是方程的根0 AI 10若矩阵满足,则称为正交矩阵AA 1 (三)解答题(第 1 小题 9 分,其余每小题 11 分) 1用消元法解线性方程组 6 xxxx xxxx xxxx xxxx 1234 1234 1234 1234 326 3850 2412 432 解:解: 26121000 90392700 188710 48231901 84310 01850 188710 61