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1、 1 第四章第四章 一元函数的积分及其应用一元函数的积分及其应用 第一节第一节 不定积分不定积分 一一、原函数与不定积分的概念、原函数与不定积分的概念 定义定义 1 1.设 )(xf 是定义在某区间的已知函数， 若存在函数 )(xF ， 使得)()(xfxF= 或dxxfxdF)()(=,则称 )(xF 为 )(xf 的一个原函数 定义定义 2 2.函数)(xf的全体原函数CxF+)(叫做 )(xf 的不定积分， ，记为: +=CxFxxf)(d)( 其中 )(xf 叫做被积函数 xxfd)(叫做被积表达式 C叫做积分常数 “”叫做积分号 二、不定积分的性质和基本积分公式二、不定积分的性质和基
2、本积分公式 性质性质 1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即 () = xxfxxfxfxxfd)(d)(d)(d)(； . 性质性质 2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即 +=+= CxfxfCxfxxf)()(d,)(d)(或 性质性质 3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即 = )0(d)(d)(kxxfkxxkf . 性质性质 4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即 = xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()( 基本积分公式基本积分公式 (1)+=Ckxxkd (k为常数) (2)Cxxx+ +
3、= +1 1 1 d (1) (3)Cxx x += lnd 1 (4)+=Cedxe xx (5)+=C a a xa x x ln d (6)+=Cxxxsindcos (7)+=Cxxxcosdsin (8)+=Cxxxtandsec2 (9)+=Cxxxcotdcsc2 (10)+=Cxxxxsecdtansec (11)+=Cxxxxcscdcotcsc (12)+=Cxxxxtanseclndsec (13)+=Cxxxxcotcsclndcsc (14)Cxx x += + arctand 1 1 2 (15)Cxx x += arcsind 1 1 2 (16)Cxx x +=
4、 arcsind 1 1 2 2 三、换元积分法和分部积分法三、换元积分法和分部积分法 定理定理 1.1. 设 )(x 可导，并且 .)(d)( +=CuFuuf 则有 CxF xu CuF uuf xu xxfxxxf + = + = )( )( )( d)( )( )(d)(d)()( 代回 令凑微分 该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法 定理定理 2.2.设 )(tx= 是可微函数且0)( t ，若 )()(ttf 具有原函 数 )(tF ，则 ( ) ( ) d xt f xx = 换元 ( )( )( ) ( ) ( ) 1
5、1 d. tx ftttF tCFxC = + 积分 回代 该方法叫第二换元积分法换元积分法 :)d(的原则或及选取vvu 1) v 容易求得 ; xvuxvudd)2 比 解题技巧解题技巧: : :的一般方法及选取vu 把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ “ 反对幂指三反对幂指三” ” 的顺序, 前者为u后者为. v 第第二节二节 定积分概念定积分概念 一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念 二、定积分的定义和存在定理定积分的定义和存在定理 三、定积分的几何意义与定积分的性质三、定积分的几何意义与定积分的性质 1定积分的几何意义 2. 定积分的性质 性质 1. = dxxgx
6、f b a )()( b a dxxf)( b a dxxg)( . 性质 2. = b a dxxkf)( k b a dxxf)( (k是常数). 性质 3. = b a dxxf)( + c a dxxf)( b c dxxf)( . 3 性质 4. = b a dxxf)(abdx b a = . 推论 1. 如果在 ,ba 上， 则),()(xgxf b a dxxf)( b a dxxg)( (ab). 推论 2. b a dxxf)( b a dxxf)( 性质 5. 0)( b a dxxf )(ba . 性质 6. 设M与m分别是函数 ,)(baxf在 上的最大值及最小值，则
7、 )(abm b a dxxf)( )(abM ( ba ). 性质 7 .(定积分中值定理) 如果函数 )(xf 在闭区间 ,ba 上连续， 则在积分区间,ba 上至少存在一点，使下式成立： )()(abfdxxf b a = ( ba ) 可积的充分条件可积的充分条件: 定理定理 1.1.上连续在函数,)(baxf，则.,)(可积在baxf 定理定理 2.2.,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点 ，则.,)(可积在baxf 第三节第三节 微积分基本公式微积分基本公式 一、微积分基本公式一、微积分基本公式 1. 变上限函数 定义 1. 设函数 )(xf 在区间 ,ba 上连续，则它在
8、 ,ba 任意一个子区间 ,xa 上可 积，则 = x a dxtfx)()( ( bxa) 是上限变量x的函数，称此函数为积分上限函数，也称为变上限函数. 2. 微积分基本公式微积分基本公式 定理定理 2. = b a dxxf)()(bF )(aF 1.1.定积分的换元积分法定积分的换元积分法 定理定理 3.3. = b a dxxf)(dtttf )()( 注：设 )(xf 在 ,aa 上连续,证明 (1)若 )(xf 在 ,aa 为偶函数，则 a a dxxf)( = a dxxf 0 )(2 ； (2)若 )(xf 在 ,aa 上为奇函数，则 a a dxxf)( =0. 2.2.定
9、积分的分部积分法定积分的分部积分法 定理定理 4.4. = b a b a b a vduuvudv 第四节第四节 定积分的应用定积分的应用（这点跟高中无异，于是乎就偷懒了（这点跟高中无异，于是乎就偷懒了=v=） 一、定积分的微元法一、定积分的微元法 4 其实质是找出A的微元dA的微分表达式. 二、定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用 1. 平面图形的面积平面图形的面积 = b a dxxfA)(. 2. 旋转体的体积旋转体的体积 xxAV b a d)( = 三、定积分在物理上的应用三、定积分在物理上的应用 1.1.变力做功变力做功 = b a xxFWd)( 2.2.液体静压液体静压 dxxxfF b a )(g = 四、定积分在医学上的应用四、定积分在医学上的应用
