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1、共 10 页 第 1 页共 10 页 第 1 页 浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学高等数学 课程类别： 必修必修 考试方式： 闭卷闭卷 注意事项：1、本试卷满分 100 分。 2、考试时间 120 分钟。 一、 单项选择题一、 单项选择题 （在每小题的四个备选答案中， 选出一个正确答案， 并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题 3 分，共 21 分） 1下列各式正确的是： ( ) A. B. sin lim1 x x x 0 sin lim0 x x x C. D. 1 lim
2、 1 x x e x 1 lim 1 x x e x 2. 当时，与等价的无穷小量是： ( )0 x x A. B. C. D. 11x 1 ln 1 x x 1 x e1 cosx 3. 设在的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( )( )f xxa A.存在 B. 存在 1 lim()( ) h h f af a h 0 (2 )() lim h f ahf ah h C. 存在 D. 存在 0 ()() lim 2 h f ahf ah h 0 ( )() lim h f af ah h 题号题号一一二二三三四四五五六六七七八八得分得分 得分得分 评阅人评阅人 学院： 专业
3、班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题 得分 共 10 页 第 2 页共 10 页 第 2 页 4. 函数在区间上的最小值是： ( ) 3 3yxx0,1 A. 0 B. 没有 C. 2 D. 2 9 5. 函数在区间上应用罗尔定理时，所得到的中值 ( ) 2 1yx 1,1 A. 0B. 1 C. D. 21 6设函数处处可导，那么： ( ) 2 0 ( ) (1)0 ax ex f x bxx A B C D1ab2,1ab 0,1ab1,0ab 7. 设为函数的极值点，则下列论述正确的是 ( ) xa( )yf x A B C D以上都不对 ( ) 0fa ( )0f a
4、 ( ) 0fa 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 21 分）分） 1. 极限= . 2 32 )sin( 1cos lim xx xx x 2极限=. 222 222 lim 12 n nnnn 3.设函数 f (x)=在点 x=2 处连续，则 . 2 310 2 2 2 xx x x ax a 4. 函数的间断点为 .( ) sin x f x x 5. 函数的单调减区间为 . 2 2lnyxx 6. 设函数，则 .lntanyxdy 7椭圆曲线 在相应的点处的切线方程为 . cos sin xat ybt 4 t 得分 共 10 页 第 3 页共 10 页 第 3
5、页 三、求下列极限（每小题三、求下列极限（每小题 6 分分, 共共 18 分）分） 1. 求极限 1 1sin1 lim 2 0 x x e xx 2. 求极限 1 2 3 lim 6 x x x x 3. 求极限) tan 11 (lim 2 0 xxx x 得分 共 10 页 第 4 页共 10 页 第 4 页 四、计算下列导数或微分（每小题分四、计算下列导数或微分（每小题分 6, 共共 18 分）分） 1. 设函数, 求与. 22 (2)ln(1) xx yxee dy dx dy 2. 设是由方程确定的隐函数，求.( )yf x 22 arctanln x xy y 2 2 d d y
6、 x 3.计算函数的一阶导数.() 1 x x y x 得分 共 10 页 第 5 页共 10 页 第 5 页 五、五、（本题（本题 6 分）分）求函数的凹凸区间与拐点. 3 2 5 () 2 yxx 六、 （本题六、 （本题 6 分）分） 设函数在上二阶可导，函数 ，试确定常数( )f x(,) 2 0 ( ) ( )0 axbxcx g x f xx 的值，使得函数在点二阶可导., ,a b c( )g x0 x 得分 得分 共 10 页 第 6 页共 10 页 第 6 页 七、 （本题七、 （本题 5 分）分）证明：当时，0 x 22 1ln(1)1xxxx 八、 （本题5分）八、 （本
7、题5分） 设函数在上连续， 在内可导， 且( )f x0,3(0,3) ，.试证：必存在一点，使得(0)(1)(2)3fff(3)1f(0,3) . ( ) 0f 得分 得分 共 10 页 第 7 页共 10 页 第 7 页 浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 参考答案参考答案 一、单项选择题一、单项选择题 D B D D A C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 21 分）分） 1. 1 22； 3.7； 4. ；,0, 1, 2,kk 5.； 6. ； 7. 1 (0, )
8、2 csc 2 x dx x 20aybxab 三、求下列极限（每小题三、求下列极限（每小题 6 分分, 共共 18 分）分） 1. 求极限 1 1sin1 lim 2 0 x x e xx 解：原式= 3 分 2 0 sin 2 lim x xx x 4 分 0 sin lim 2 x x x 6 分 1 2 2. 求极限 1 2 3 lim 6 x x x x 解：原式= 2 分 1 2 3 lim 1 6 x x x = 5 分 631 3 62 3 lim 1 6 xx x x x 6 分 313 lim 622x x x ee 3. 求极限) tan 11 (lim 2 0 xxx
9、x 解：原式= 2 分 23 00 tantan limlim tan xx xxxx xxx 共 10 页 第 8 页共 10 页 第 8 页 = 4 分 22 22 00 sec11 cos limlim 33 xx xx xx = 6 分 0 2cos sin1 lim 63 x xx x 四、计算下列导数或微分（每小题分四、计算下列导数或微分（每小题分 6, 共共 18 分）分） 1. 设函数, 求与. 22 (2)ln(1) xx yxee dy dx dy 解： 4 分 2 2(2) 1 x x e yx e 6 分 2 2(2) 1 x x e dyxdx e 2. 设是由方程确
10、定的隐函数，求.( )yf x 22 arctanln x xy y 2 2 d d y x 解：方程两边同时对变量求导并化简可得：x 从而得到： ， 2 分 yxyxyy yx y yx 上式继续对变量求导可得： 4 分x 1yyxyy yyy 化简上式并带入可得： 6 分 y 22 3 2()xy y yx 3.计算函数的一阶导数.() 1 x x y x 解：两边同时取对数得：(2 分)lnln()lnln(1) 1 x yxxxx x 两边同时对求导得：(5 分)x 111 lnln(1)ln 111 yx xxx yxxxx 从而得(6 分) 11 lnln()ln 11111 xx
11、x yyx xxxxx 五、 （本题五、 （本题 6 分）分）求函数的凹凸区间与拐点. 3 2 5 () 2 yxx 解：函数的定义域为，(,) 3 5(1) 3 x y x 3 4 5(21) 9 x y x 共 10 页 第 9 页共 10 页 第 9 页 ，不存在。 2 分 1 ,0 2 xy 0,xy 3 111 (,)(, 0)0(0,) 222 0 13 (,2) 22 x y y 4 分 可知函数在和上是凹的， 在 3 2 5 () 2 yxx 3 2 (5)yxx 1 (, 0) 2 (0,) 1 (,) 2 内是凸的，拐点为. 6 分 3 13 (,2) 22 六、 （本题六
12、、 （本题 6 分）分） 设函数在上二阶可导，函数 ，试确定常数( )f x(,) 2 0 ( ) ( )0 axbxcx g x f xx 的值，使得函数在点二阶可导., ,a b c( )g x0 x 解：因为在点二阶可导，所以，在点一阶可导、连续。( )g x0 x ( )g x0 x 由在点连续可得：，从而2 分( )g x0 x 00 lim(0)(0)lim(0) xx gfgc (0)cf 由在点可导可得：，从而( )g x0 x 2 0 (0) (0)(0)(0)lim 0 x axbxcf gfgb x 4 分 (0) bf 从而可知： 20 ( ) ( )0 axbx g
13、x fxx 又由在点二阶可导可得：，( )g x0 x 0 2(0) (0)(0)(0)lim2 0 x axbf gfga x 从而 6 分 2(0)af 共 10 页 第 10 页共 10 页 第 10 页 七、 （本题七、 （本题 5 分）分）证明：当时，0 x 22 1ln(1)1xxxx 证明：令，则 1 分 22 ( )1ln(1)1f xxxxx (0)0f 因为，从而在时单调递增， 3 分 2 ( )ln(1)0fxxx( )f x0 x 从而，从而 5 分( )(0)0f xf 22 1ln(1)1xxxx 八、（本题5分）八、（本题5分） 设函数在上连续，在内可导，且，.试证 ：( )f x0,3(0,3)(0)(1)(2)3fff(3)1f 必存在一点，使得.(0,3) ( ) 0f 证明：因为函数在上连续，从而函数在上连续，( )f x0,3( )f x0,2 故在上有最大值和最小值，分别设为，0,2,m M 于是， 2 分 (0)(1)(2) 3 fff mM 从而由介值定理可得，至少存在一点，0,2c 使得， 3 分 (0)(1)(2) ( )1 3 fff f c 可验证在上满足罗尔定理的条件，( )f x ,3c 故存在，使得. 5 分 ,30,3c ( ) 0f
