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1、第2课时 简易逻辑-逻辑联结词和四种命题,1.命题:可以判断真假的语句。,知识点归纳:,2.逻辑联接词:“或”、“且”、“非”,3.简单命题:不含逻辑联结词的命题。,4.复合命题:由简单命题和逻辑联结词构成的命题。,5.三种形式:p或q、p且q 、非p,6.真假判断:p或q,同假为假,否则为真; p且q,同真为真,否则为假; 非p,真假相反,7.四种命题: 原命题:若p则q; 逆命题: 若q则p; 否命题:若p则q; 逆否命题:若q则p,互为逆否的两个命题是等价的,8.反证法步骤: 假设结论不成立=矛盾=假设不成立,9.充要条件: 条件p成立=结论q成立, 则称条件p是结论q的充分条件; 结论
2、q成立=条件p成立, 则称条件p是结论 q的必要条件; 条件p成立结论 q成立, 则称条件p是结论q 的充要条件。,例1.分别写出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、 “p”形成的复合命题。 (1)p: 是无理数, q : 是实数。 (2)p:5是15的约数, q:5是20的约数。,解:(1)p或q: 是无理数或实数。 p且q: 是无理数且为实数。 p: 不是无理数,(2)p或q: 5是15或20的约数。 p且q: 5是15也是20的约数。 p: 5 不是15的约数。,例2. 指出下列复合命题的形式及构成。 (1)若是一个三角形的最小内角,则不大于60O (2)一个内角为90o,另一个内角
3、为45o的三角形是等腰直角三角形。 (3)有一个内角为60o的三角形是正三角形或直角三角形。,解:(1)是非p形式的复合命题, 其中p:若是一个三角形的最小内角,则60o.,(2)是p且q形式的复合命题, 其中p:一个内角为90o,另一个内角是45o 的三角形是等腰三角形;q:一个内角为90o,另一个内角是45o 的三角形是直角三角形.,例2. 指出下列复合命题的形式及构成。 (1)若是一个三角形的最小内角,则不大于60O (2)一个内角为90o,另一个内角为45o的三角形是等腰直角三角形。 (3)有一个内角为60o的三角形是正三角形或直角三角形。,(3)是p或q形式的复合命题, 其中p:有一
4、个内角为60o 的三角形是正三角形; q:有一个内角为60o 的三角形是直角三角形.,例3. 写出命题“当 abc =0 时,a=0或b=0或c=0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假。,分析:把原命题改写成“若p则q”的形式,再分别写出其相应的逆命题、否命题、逆否命题。,解:原命题:若abc=0, 则a=0或b=0或c=0,是真命题.,逆命题:若a=0或b=0或c=0,则abc=0, 则,是真命题.,否命题:若abc0,则a0且b0且c0,是真命题.,逆否命题:若a0且b0且c0,则abc0,是真命题.,例4. 用反证法证明:如果 a b 0 ,那么,证明:假设 ,或 ,,分析:注
5、意反设时两种情况。,由于 a b 0,则由 ,有,、均与ab0矛盾,,例5.设集合M=x|x2, P=x|x3, 那么“xM或xP” 是 “xMP ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解:,“xM或xP”即“xMP=x|x2x|x3=R”,“xMP”即“xx|2x3”,显然“xMP” = xMP,所以选B,例6.下列各小题中,p是q的什么条件、 (1)p:a、b是整数,q:x2+ax+b=0有且仅有整数解。 (2)p:a+b=1,q:a3+b3+ab-a2-b2 =0,解:(1)必要条件,q = p成立,而 p =q 不成立,设 的解是
6、x1、x2,,由x1、x2是整数,x1+x2=-a, x1x2=b 得a、b是整数,(2)充分条件,即,而 q =p 不成立,例7.如果x、y是实数,那么 “xy0”是 “|x+y|=|x|+|y|”的 ( ),A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解:xy0 x、y同正或同负,xy0,但反之不能推出,如当 x=0,y=2时,有,成立,却没有xy0成立,所以选A,例8.ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是( ),A.0a1 B.a1 C. a1 D. 0a1 或a0,解一:当a=0时,原方程变形为一元一次方程2x+1=0, 有一个负的实根
7、;,当a0时,原方程为一元二次方程,有实根的充要条件是,即a1,设两根为x1、x2,,则有一负实根,有两个负实根,综上,a1,解二:排除法 当a=0时,原方程有一个负的实根,可排出A、D,例8.ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是( ),A.0a1 B.a1 C. a1 D. 0a1 或a0,当a=1时,原方程有两个相等的负实根,可排出B,所以选 C,例9.在ABC中,“AB”是“sinAsinB”的什么条件?,解:在ABC中 a、b分别是角A、B的对边, R是ABC外接圆的半径,,一方面,因为AB, 所以ab,即2RsinA2RsinB 亦即 sinAsinB,从而ABC中 “
8、A sinAsinB,另一方面,因为sinAsinB, 所以2RsinA2RsinB , 即ab,得AB,从而ABC中 sinA AB,故ABC中 ,“AB” 是 “ sinA sinB”的充要条件,例10.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.,分析:证充分性就是证由a-b+c=0= ax2+bx+c=0有一个根为-1, 证必要性就是证由ax2+bx+c=0有一个根为-1=a-b+c=0,证明:先证充分性,若a-b+c=0, 此时把x=-1代入所给方程的左边得 a(-1)2+b(-1)+c=a-b+c=0 所以x=-1是方程ax2+bx+c=0的根,
9、再证必要性,若x=-1方程 ax2+bx+c=0的根,则 a(-1)2+b(-1)+c=0,即a-b+c=0,综上可知:a-b+c=0是方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件。,【解题回顾】充要条件的证明一般分两步:证充分性即证A=B,证必要性即证B=A,一定要使题目与证明中的叙述一致,2. 若a、b、cR,写出命题“若ac0,则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这三个命题的真假。,解题分析:认清命题的条件 p 和结论 q ,然后按定义写出逆、 否、逆否命题,最后判断真假。,解:逆命题:“若ax2+bx+c=0 (a、b、cR) 有两个不相等
10、的实数根,则ac0.,否命题:“若ac0,则方程ax2+bx+c=0 (a、b、cR) 没有两个不相等的实数根,” 是假命题。因为它和逆命题互为逆否命题,而逆命题是假命题。,逆否命题:“若方程ax2+bx+c=0 (a、b、cR) 没有两个不相等的实数根, 则ac0” 是真命题。因为原命题是真命题,它与原命题等价。,3.判断命题“若c0,则y=x2+x-c的图象与x轴有两个交点”的逆否命题的真假.,解题分析:因为一个命题和它的逆否命题是等价命题,所以 只要判断原命题的真假即可。当然也可先写出它的逆否命题 然后判断真假。,解法一:c 0,4c 0,1+4c 0,y=x2+x-c 的判别式= 1+
11、4c 0,y=x2+x-c 的图像与 x 轴有两个交点。,原命题为真,而原命题与它的逆否命题等价,从而其逆否 命题为真。,解法二:原命题“若c0,则y=x2+x-c的图象与x轴有两个交点”的逆否命题是“若y=x2+x-c的图象与x轴没有两个交点,则c0”.,y=x2+x-c 的图像与 x 轴没有两个交点。,= 1+4c 0,,若y=x2+x-c 的图像与 x 轴没有两个交点,则c0为真。,3.判断命题“若c0,则y=x2+x-c的图象与x轴有两个交点”的逆否命题的真假.,解法三:记p:c0,则 p 的真值集合为A=cR|c 0,记q:y=x2+x-c 的图像与 x 轴有两个交点,则 q 的真值集合 为B=cR|y=x2+x-c 的图像与x轴有两个交点=cR| c -1/4,p q,原命题为真,其逆否命题也为真。,准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的,下面是一些常见的结论的否定形式.,误解分析,