谱估计的方法ppt课件

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1、4.5 AR谱估计的方法,引言 （1）主要方法 本节要解决的问题是: 如果不知道 的自相关函数 , 而只知道它 的N个观测数据 , , 如何求 模型的参数? 通常有下列两类方法: a) 利用 求 的估计 , 再用Levinson算法求模型参数的估计 值; b) 利用最小二乘方准则, 直接由信号时间序列 计算 模型参数. 本节介绍以下三种方法: 自相关法(Levinson法, 或Yule-Walker法); 协方差法及修正协方差法; Burg法.,第一类方法: 由 先估计自相关函数,第二类方法: 先估计反射系数,以上方法都是基于线性预测原理, 根据估计准则建立求解AR系数的数学 模型. (2)

2、估计 (即模型参数)的准则 理论上, 采用预测误差功率最小准则, 表示为 (4.5.1) 实际上, 采用由时间平均代替集合平均的最小平方准则, 即 (4.5.2) 式中 的求和范围暂时未指定, 取决于下面要讨论的算法.,4.5.1 自相关法Levinson递推法,(1) 估计准则 假设信号 的数据区间为 , 前向预测误差滤波器的冲激响 应为 , 则预测误差为 , (4.5.3) 上式表明, 是 与 的卷积, 其长度为 . 因此,式(4.5.2)可具体 表示为 (4.5.4) (2)预测误差 的计算 式(4.5.3)的计算原理如图4.5.1所示. 由于 的长度大于 的长度, 因此计算中需对 的两

3、端补零. 这 相当于长度为 点的已知数据 , 是由无限长数据 ( )经 加窗后得到的.,用时间平均代替集合平均; 用最小平方代替最小均方. .,参见3.4(最小二乘自适应滤波器)关于最小二乘准则四种方法的讨论.,由图可见, 当数据长度 时(通常都是满足的), 计算 的求和范 围是0 . (3) AR系数 的求解 由式(4.5.4), 得,(4.5.5) 式中, 模型参数的 维列矢量; 由取样自相关函数 (其中 )构成的取样自相关矩 阵. 自相关函数估计为 (4.5.6) 可见, 是有偏自相关估计. 将式(4.5.5)对 求导并令其等于零(复梯度法), 可得,式中的系数N是在定义 . 时引入的,

4、 见式(4.5.6).,(4.5.7) 或者写成 (4.5.8a) 最小预测误差功率(即白噪声方差)为 (4.5.8b) 式(4.5.8)即为Yule-Walker方程. 由此可见, 自相关法 也是基于解Yule-Walker方程的一种方法. Levinson-durbin递推法是求解Yule-Walker方程的高 效算法, 具体方法见3.3.,如果已知信号的 个观测数据( , ), 利用Levinson递推法计 算功率谱的流程见西电教材图4.5.1. (4) 说明 a)由 个自相关函数的估值, 利用Levinson递推法求解Yule-Walker方程 所得的AR模型参数等效于前向预测器的系数

5、, AR模型激励白噪声的方差 等效于前向预测的最小预测误差功率 . b) 自相关法计算相对简单, 但需事先根据已知观测数据估计自相关函数 (采用有偏估计). 在计算预测误差时因作了加窗处理, 结果使得分辨率降 低. 数据越短, 分辨率越低, 可能还会出现谱峰频率偏移与谱线分裂(即在 信号谱峰附近产生虚假谱线).,4.5.2 协方差法与修正协方差法,1.协方差法 (1)估计准则 (4.5.9) 注意: 本算法仍采用前向预测误差 , 其求和范围是 . (2)预测误差功率 计算 计算原理如图4.5.2所示. 特点: 为回避“加窗处理”而引入的频谱卷积效应, 即避免在数据段 以外补零, 本算法“规定”

6、在第一个数据 移至 位置时开始计算; 而当 最后一个数据 移至 时结束计算. 计算 时仅使用了已获 得的观测数据, 未在数据两端补零, 因此, 实际长度为 .,(3) AR系数 的求解 使用复梯度法使预测误差功率 达到最小, 可得 (4.5.10),协方差矩阵,式中 (4.5.11) 称为协方差函数. 白噪声的方差为 (4.5.12) 由式(4.5.10) (4.5.12)即可解出AR模型参数估值和功率谱. (4) 说明 式(4.5.10)和(4.5.12)构成协方差方程. 由于式中 不能表示为 的函数, 所以协方差矩阵不是Toeplitz矩阵, 不能采用Levinson递推法求解. b) 协

7、方差函数有两个变量, 故适合于非平稳随机信号. c) 这种方法类似于自相关法, 但其分辨率优于自相关法, 并可有效地估计 正弦信号频率. 2.修正协方差法 (1)估计准则,注意: 模型参数包括:,使用前向和后向预测误差功率平均值最小准则, 即 (4.5.13) 式中, 和 是前向和后向预测误差功率, 分别表示为 (4.5.14) (4.5.15) 最小预测误差平均功率是模型输入的白噪声的方差, 即 .,关于式(4.5.14)和(4.5.15)的说明: 求和范围与协方差法相同, 即为 后向预测是利用某一时刻 以后的 个值, 即 预测的, 因此, 后向预测值 为 实际中, 总是利用同一组数据来同时

8、实现前向和后向预测的(见图).即利用 向后一步预测 , 因此上式可改写为 考虑到前向和后向预测具有相同的预测系数, 即 .于是预测误差功率 令 , 上式求和范围应改为0 , 这样就得到式(4.5.15).,(2) 参数 的求解 求 对 ( )的复梯度, 并令其等于零, 解得 (4.5.16) 其中: (4.5.17) 最小预测误差功率: (4.5.18) 由式(4.5.16)(4.5.18)即可解出AR模型参数估值和功率谱.,模型参数包括:,(3)说明 a) 修正协方差法除计算协方差函数 不同外, 两种计算功率谱的方 法是一样的. b) 同样不能采用Levinson递推法求解修正协方差的协方差

9、方程. c) 适合于估计正弦波频率, 其频率位置与正弦相位及噪声的依赖关系小, 可得到高分辨率且统计稳定的谱估计.,4.5.3伯格(Burg)法,（1）Burg法的基本思路 Burg法不直接估计AR参数, 而是首先估计反射系数 , 然后再利用 Levinson算法由反射系数求得AR参数. 这样就免去了估计自相关函数, 可 以直接利用信号观测数据求模型参数. （2）估计准则 与修正协方差法一样, 采用前向和后向预测误差功率平均值最小准则, 即 (4.5.19) 其中, 前向, 后向预测误差功率分别为 (4.5.20) (4.5.21),以上二式的求和范围与协方差法相同, 即为 . 式中, 前向和

10、后 向预测误差分别为 (4.5.22) (4.5.23) （3）反射系数 的估计 将前向和后向预测误差递推公式 分别代入式(4.5.20)和(4.5.21), 再由(4.5.19)得到,利用格形滤波器原理和分析结果.,求 对 的复梯度, 并令其等于零, 解得反射系数: (4.5.24) 上式就是利用伯格法求第 个反射系数的公式. 可以证明, ,因而, 预测误差滤波器具有最小相位性质. （4）Burg法的基本公式归纳与递推计算流程 见教材. （5）说明 a) Burg算法一般可得到较高精度的谱估计, 特别是对短数据的谱估计比 自相关法精确. b) 对反射系数估计的修正 当用Burg法处理正弦信号

11、时, 会出现谱线分裂, 谱峰位置受相位影响等问 题. 为减小相位的影响, 对式(4.5.24)作如下修正:,(4.5.25) 式中, 是一个具有非负权值的窗函数.,4.5.4关于AR模型的阶次的选择,AR模型的阶次p一般事先不知道. 阶次选得不合适, 会出现下列问题: 阶次太低( )功率谱过于平滑, 可能导致谱峰合并, 使分辨率 降低; 阶次太高( )一般而言, 阶次愈高, 分辨率愈高. 但阶次太高, 将增大估计误差, 出现谱峰分裂(产生虚假谱峰). (1) 选阶方法 在上述模型法谱估计算法中, 预测误差功率一般都是随模型的阶次的增 加而减少(或不变), 因此确定阶次的基本出发点是使预测的误差

12、功率最小, 同时兼顾模型参数增多而引起估计误差加大. 通常预先选定一个稍大的阶次值, 然后在递推过程中予以确定. 由于在 使用Levinson递推时, 所得到的从低阶到高阶的最小预测误差功率 (即 激励源的方差 )是单调下降的, 因此当 达到所指定的希望值, 或是不 再发生变化时, 所对应的阶次即是应选的阶次 .,（2）确定 (或 )的准则 常用的两个准则是: a) 最终预测误差(FPE)准则: 过程的FPE定义为 (4.5.26) 式中, 表示 阶AR模型的白噪声方差(即预测误差功率); 为数据样点数目. 由上式可见: , 而 因此 应有一个最小值. 最小时所对应的 值就是最后要确 定的阶次. b) 阿凯克(Akaike)信息准则(AIC): 对AR或MA过程, AIC定义为 (4.5.27),式中, 是白噪声方差的最大似然估计, 是假设的AR或MA模型的阶. 当 从1增大时, AIC 在某个 处达到最小值, 此时的 就是要选择的 阶.,