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1、1,第七章 非线性系统的分析,2,4 相平面法及相平面图,它是一种求解二阶微分方程的图解法,设有二阶常微分方程,其解有两种表达式,时间响应过程形式x=F(t)它直接揭示了系统动态过程. 相轨迹形式,即状态变量描述形式 任一动态过程都可用相应的状态变量来描述.状态变量个数等于微分方程阶数,如二阶系统 两个状态变量,实际中可对应于(位移,速度),(压力,压强),(E,E程度变化率),.,一、相平面的基本概念,3,1.相平面:以x和为横轴和纵轴构成的坐标平面.,2.相点:相平面上任一点,3.相轨迹: 对二阶系统来讲，从某一初始状态出发，以时间t为参变量，便可画出一条连续变化的相轨迹。 4.相轨迹特点
2、: 与初始点(状态)密切相关. 可以不直接求出微分方程而获得系统所有运动状态. 5.相轨迹判断系统稳定性,4,二、相平面图绘制方法,1.解析法:适用于微分方程简单(二阶)或可分段线性化.,5,设二阶系统,(*),若令,则,可积,便解出,相轨迹方程,并由此画出相轨迹。,以t为参变量（或消去t）也能画出相轨迹。,例：如无阻尼二阶系统,只考虑暂态解故取常数0。,令 则,，设初始条件为,整理上式并积分,6,其中,当然还可解出,消去t可得,上式表示一族封闭椭圆，说明:=0时的状态为临界稳定，但实际中不存在，将随时间不是发散就是收敛。,7,例: 库仑摩擦二阶随动系统,则上式有解,式中A,B为实常数与初始条
3、件有关相轨迹分别为以,为圆心的椭圆族.,8,由图可见,时,系统运动停止于横轴上，如,若以,为纵轴将变成圆族。,初始点1出发,经2，3点到横轴上4点，与0点有稳态偏差.,9,图解法之一：等斜线法,它多用于解析法中求解微分方程困难的情况。 由（x,y）平面上斜率,其中,这便是相轨迹上等斜线方程,若令,画图原理： 据不同的斜率c可画出等斜线方向场（分布）可证明不同c不相交，则对确定初始点 沿等斜率切线变化规律唯一。这样便可画出相轨迹（近似）,10,画图步骤：,ii.作等斜线分布图,iii.从初始点出发,沿相邻等斜线间的,平均斜率依次作短直线便可画得。,说明：等斜线未必都是直线，另外，为保证精度，等斜
4、线分布要有适当密度，密度可不一样。,i.求出等斜线方程,11,例如,令,12,等斜线方程:,等斜线分布图. 相轨迹 A点,直线段交c=1.2线于B.,三、相轨迹之特征,奇点（平衡点）：系统的速度和加速度都为零,有一个不为零，系统就未达到平衡状态，将继续运动。 这样的点叫普通点。,结论： 奇点是非线性系统唯一可能的平衡状态。,13,利用系统特征方程根确定奇点位置及特征,如二阶系统,常令,解出x.,i.共轭复根,在s左半平面:稳定焦点,线性系统有唯一奇点零输入条件下就在原点，非线性系统奇点若在原点 不确定，则相轨迹会在该点相交.,14,ii共俄复根在s右半平面,:不稳定焦点,iii.一对负实根,稳
5、定节点，,临界稳定。,iv.一对正实根,不稳定节点,15,V 一对共轭虚根中心点 等幅振荡,Vi一对共轭实根（正反馈）鞍点（不稳定）,16,可见，当定出奇点的特征，那么它附近导流的运动也相应确定下来。,特征区：奇点周围相轨迹具有共性的区域，共性是指普通点（描述点）在该区域内不是沿相轨迹趋于奇点（吸引）就是沿相轨迹离开奇点（发散），他们对应的区域分别称为吸引区、发散区。 利用这一特征可判断系统品质。因为在奇点附近某一特征区域内画出一条相轨迹，即可知道其他初始条件下导流运况。这也为画相轨迹提供了理论依据。,例：试绘制由下列方程描述的非线性系统的相平面图。,17,解：确定奇点 令,则原方程为,奇点有
6、两个,分析奇点性质 (0,0) 奇点， 由线性化方程为,有,稳定焦点,（2,0）奇点，坐标变换，令 得,18,在 y=0,=0 线性化得,有s+0.5s2=0,鞍点，不稳定,阴影为稳定区,2.极限环,（1）定义：相平面中孤立，封闭相轨迹（奇线），自持振荡（稳定）。（二阶无阻尼系统就不是）环内环外两个区域内部特征相同，不可穿越。,19,四非线性系统的相平面分析,1分析思路:,用若干分段线性系统近似原非线性系统，把相平面表示一个线性系统的相平面图，在分区域的边界上，把各段相轨迹衔接起来，就得到所谓的相轨迹，即代表了整个非线性系统的运行规律。 每个分段线性系统都有一个奇点，若它位于本身分区域内称为奇
7、点，否则就是虚奇点。,2分析步骤：,20,设有带饱和非线性的控制系统，开始处于静态，试用相平面法分析阶跃输入r(t)=R和斜坡输入r(t)=vt作用下的系统响应特性。,例：,a)划分线性区域。 b)确定每个分区域上奇点类型。 c)作出各分区域相轨迹。 d)连接各分区域相轨迹构成“合成相轨迹”。,21,解：1.由饱和非线性特性得：,区域划分,2.奇点类型：,系统动态方程为：,由e=r-y可得误差形式的系统方程：,A. 阶跃输入时 时,则系统方程为：,22,则上面方程变为：,缺项系统不稳定，无平衡点，无奇点,在线性工作区区内，奇点为(0,0)代入T,K,得,为稳定焦点。,在，区内，令斜率,分区划分
8、为：,23,所以，等斜率是平行于E轴的直线。渐近线为,24,B 斜坡输入,线性区内，奇点为,稳定焦点。,非线性区， 内,平行e轴,渐近线,25,（1）vm,奇点（v/k,0）为虚点,1.2/4 0.3e,=0.2,不收敛,（2）vkm,v/k 0.4/4=0.1e,=0.2,奇点为实奇点收敛稳态误差为v/k,当v=0.8 k=4 e,=m,=0.2时,26,(3)v=km,ee有,斜率为-1/T 而e-e时不变A点出发经ABCD终止于D点，稳态误差为,27,例 非线性增益控制系统,设T=1 k=4,k=0.0625,e=0.2 试用相平面法分析该系统的阶跃响应特性。,非线性元件特性 作用：抑制小幅度高频干扰,28,解：动态方程,误差形式：,阶跃输入r(t)=R t0时,则，方程又为,分段线性化,29,相轨迹如下图：,30,结论：相轨迹如下特点 1响应速度快，超调减小。 2小阶跃信号响应为非周期衰减过程， 大阶跃信号响应为衰减振荡。 3无稳态误差。,
