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1、第二章 统计学基础知识,第一节 常用的统计量平均数、方差 第二节 常用的概率分布,复习：,什么是计量经济学？ 计量经济学与其他学科有什么关系？ 计量经济学研究现实问题的程序是什么？,第一节 常用的统计量平均数、方差,一、算术平均 算术平均（arithmetic mean）就是我们日常生活中使用的普通的平均数，其定义如下式：,二、加权算术平均,加权平均（weighted arithmetic mean）是将各数据先乘以反映其重要性的权数（w），再求平均的方法。其定义如下式：,三、变化率,变化率的定义如下式：,四、几何平均 几何平均（geometric mean）是n个数据连乘积的n次方根，其定义
2、如下式：,五、移动平均,所谓移动平均（movingaverage），就是对时间序列数据的前后数据求平均，将不必要的变动（ 循环变动、季节变动和不规则变动）平滑（smoothing），也即剔除这些变动，从而发现长期变化方向的一种方法。,通常，移动平均大多用简单的奇数项来计算，下面是3项移动平均和5项移动平均的定义。 3项移动平均：,5项移动平均：,EXCEL演示,三项移动平均 五项移动平均,六、方差与标准差,为了了解数据的结构，有必要考察数据的集中趋势和分散的程度。对于集中的趋势，我们从前面学习过的算术平均中已经大体有所了解，而对于分散的程度，通过对方差（variance）与标准差（standa
3、rd deviation），以及下一节将要介绍的变动系数的计算，能够得到很多信息。,方差的计算方法是，先将每个数据与算术平均数之差（即离差）的平方相加求和，再除于样本数减一。而标准差是方差的正的平方根。由于方差是通过平方计算的，它与原数据的次数有所不同，而标准差由于是方差的平方根，因而又与原数据的次数相同。因此，标准差与原数据的单位相同，而方差则不附加单位。,方差S2的定义分别如下式（样本）：,标准差S的的定义分别如下式：,七、变动系数,变动系数（coefficient of variation）又称变异系数，它用标准差S除于算术平均数的商来表示。变动系数CV的定义如下式：,八、标准化变量,标
4、准差变量（standardized variable）,又称基准化变量，它是用来测量某个数据的数值与算术平均数的偏离程度，是标准差s的多少倍。借此可以看出该数据在全体数据所处的位置。标准化变量z的定义如下式：,九、相关系数,所谓相关系数（correlation coefficient）是用来测量诸如收入与消费、气温和啤酒的消费量、汇率与牛肉的进口价格等两个变量X、Y之间的相互关系的大小和方向（正或负）的系数。通过计算相关系数，可以知道X与Y之间具有多大程度的线性（linear）关系。相关系数R的定义如下式：,相关系数的R的取值范围为，R的取值具有以下的不同含义：,（1）R=1完全正相关 （pe
5、rfect positive correlation） （2）R0 正相关（positive correlation） （3）R=0 不相关（no correlation） （4）R0 负相关（negative correlation） （5）R=-1完全负相关 （perfect negative correlation） 为什么会有上述结果？请结合公式思考。,第二节 常用的概率分布,经济计量模型研究具有随机性特征的经济变量关系。本节将对数理统计中常用的随机变量分布及一些概念作一简单回顾。 一、概率分布 二、总体与样本 三、正态分布 四、抽样分布,一、概率分布,随机变量在各个可能值上出现的概率
6、的大小的情况，叫概率分布。概率分布可用概率函数描述。 离散性随机变量X的可能取值为xi，P为概率，则概率函数为 P（X= xi ） i=1,2,3, n 概率函数满足 P（X= xi ）0；,一、概率分布,连续性的随机变量概率函数,二、总体与样本,数理统计中把所研究对象的全部单位所组成的集合，叫做总体。从总体中抽出的部分单位所组成的集合，叫做样本。,三、正态分布,当连续的随机变量的概率密度函数形式为 时，称X的分布为正态分布,记为X ， 密度函数中 和 是X的数学期望和方差。,三、正态分布（总体分布）,当 和 时，称X服从标准正态分布，记为X 。 对于非标准正态分布的X，总可以作如下变换， ，
7、使Z服从标准正态分布。,四、抽样分布,1、 分布 2、 t 分布 3、 F 分布 注：正态母体子样分布性质：,1、 分布,统计量定义为,Xi符从正态分布。xi服从标准正态分布， 服从自由度为n的卡方分布，卡方分布其实就是残差平方和。,分布的密度函数为：,其数学期望,其方差为,，,N=4,N=15,如果随机变量X服从标准正态分布N（0，1）；随机变量 服从自由度为n、方差为2n的 分布。并且X和 相互独立，则统计量：,服从t分布（注：可以将分子理解为符合正态分布的参数，分母看作其标准差。,2、 t分布,t分布的密度函数为,其数学期望E（t）=0，方差,t分布的特点是： 左右对称；当n很大时，非常
8、接近正态分布。,对于从标准正态分布中的总体中抽的容量为n的简单随机样本，其样本均值 与样本标准差S构成如下统计量。,服从自由度为n-1的t分布，记为tt(n-1)。 注意：这里的分母是子样标准差除以自由度，实际上是子样均值的标准差！只有这样才与分子保持一致性。分子被平均了，分母当然也要平均！,t分布在小样本（n30）统计推断中占有重要的地位。,T分布图形：正态分布相当于标准差为1的t分布。而t分布的标准差多小于1。因而出现这种尾部肥大的现象。,正态分布,T分布,如果随机变量Xi(i=1,2,3,n),Yi(i=1,2,3,n)是相互独立的，而且服从相同的正态分布 。令,3、F分布,则统计量,服
9、从第一自由度,、第二自由度,的F分布。记为FF(,),3、F分布,注：F分布在方差分析中有着重要的作用。例如判断两个正态分布总体的方差是否有显著差异，需要利用F分布。其分子与分母其实是两个方差，在进行回归检验时正是利用F函数这个特点。,F分布图形,例1：正态分布检验,设甲、乙两台机床生产同类型产品，其产品重量分别服从方差为70克（ ）与90克 （ ）的正态分布。从甲机床中随机地取出35件，其平均重量是137克，独立地从乙机床随机取出45件，其平均重量130克，问在显著性为0.01时，两台机床的产品就重量而言有无显著差异？,解：,理论：,例2：比较两种安眠药A、B的疗效，以10个患者为实验对象，
10、数据如下：,问：在显著性水平为0.01时，两种药的疗效是否相同？（T分布）,解：由于患者相同，可以建立z变量，然后假设z的均值是0，对其进行t单侧检验,例3（卡方分布）：设已知维尼纶纤度在正常生产条件下服从正态分布N（1.405, 0.002304)。在生产某段时间，抽取了5根纤维，测得其纤度为1.32, 1.55, 1.36, 1.4, 1.44.问该段时间母体方差是否正常？（显著性水平是0.1）,解：,9.49,13.5,例4（F）：甲乙两台机床加工同一种轴。从这两台机床加工的轴中随机抽取若干根，没得直径（单位为毫米）为：,假定各台机床加工轴的直径分别服从正态分布，试比较甲乙两台机床加工的精度有无显著差异。显著性取0.05（拒绝原假设水平）。如果是单侧检验呢？,解：,F分布图形,作业：,例2：显著性改为0.02时，问两种药的疗效是否相同； 例4：显著性取0.01时，两种机床的加工精度有无区别？ 重点理解什么是显著性？,显著性解释,数理统计中的显著性是划分原假设与备择假设界线，一般是原假设成立是1- ； 在软件中给出的显著性可以看作是原假设成立的概率。显著性越小，即原假设正确的错误的概率越小。,
