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1、第四节 矩阵秩与向量组秩的关系,按行分块得到,将该矩阵按列分块得到,称为A的行向量组,称为A的列向量组,定义9 矩阵A的行向量组的秩成为A的行秩，A的列向量组的秩称为A的列秩。,矩阵A的秩与其行秩和列秩有什么关系呢？,先看一个例子,此矩阵为具有4个非零行的B-型矩阵,显然B的列向量组,线性无关，并且,故,是B的列向量组的极大无关组。,之间有完全相同的线性关系，即,则A的列向量组与B的列向量组,当且仅当,证 因为矩阵A经过行初等变换化为B，A的列向量组与B的列向量组等价，也就是说齐次线性方程组AX=0 与BX=0同解，即,有相同的线性相关性。,于是知列向量组,与,同解,与,定理5 矩阵的秩等于它
2、的行秩，也等于它的列秩。,证 设矩阵,B是与之对应的B-型阵,设A的r阶非零子式,下证A的列向量组的秩为r,所在的r列构成的,矩阵为,显然,即B的r个列向量线性,无关，而A的任意r+1 列所构成的矩阵的秩小于等于,所以A的任意r+1,列向量线性相关，因此，B的r个列向量为矩阵A的列向量组的极大无关组。所以 A的列秩等于r。,故： A的秩=A的行秩=A的列秩,的列向量组，又,因为A的行向量组就是,例1 设向量组,求该向量组的极大无关组，并把,其余向量由极大无关组线性表示。,解： 以,为列构造矩阵A，并利用初等行,变换把A化成行简化型阶梯矩阵B,所以,故列向量组的 秩为2，即列向量,组的极大无关组
3、含有2个向量，显然，,为矩阵B的列向量组的极大无关组,则,是向量组,的极大无关组，且显然有 ：,对于这道题我们可以直接用数学软件MATLAB来计算向量组的秩和极大无关组，并把其余向量由极大无关组线性表示,%求向量组的秩、极大无关组 A=1 4 5 -10;-2 -1 4 -1;5 -2 -19 16;-3 3 15 -15; rref(A) % * * * * * * * * * * * *运行结果 * * * * * * * * * * * * ans = 1 0 -3 2 0 1 2 -3 0 0 0 0 0 0 0 0,课后作业：,P147 ：8（4）,并试用数学软件MATLAB来解次题,
