《双曲线简（单几何性质知识点总结）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《双曲线简（单几何性质知识点总结）（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、四、双曲线 一、双曲线及其简单几何性质 （一）双曲线的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数2a（02a|F1F2| ）的点的轨 迹叫做双曲线。定点叫做双曲线的焦点；|F1F2|=2c ，叫做焦距。 备注： 当|PF1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F2所对应的双曲线的一支（即右支）； 当|PF2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F1所对应的双曲线的一支（即左支）； 当 2a=|F1F2| 时，轨迹为以F1，F2为端点的2 条射线； 当 2a|F1F2| 时，动点轨迹不存在。 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 与1 2 2 2 2 b x a y
2、 （a0,b0）的区别和联系 标准方程 1 2 2 2 2 b y a x （a0,b0）1 2 2 2 2 b x a y （a0,b0） 图像 A2A1F2F1x O y A2 A1 F2 F1 x O y 性质 范 围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 实、虚轴 渐近线 准线方程 离心率 焦半径 通径 a，b，c 之间 的关系 x y Q B1 B2 A1 A2 N M O （二）双曲线的简单性质 1范围：由标准方程1 2 2 2 2 b y a x （a0，b 0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的 方向来看，随着x 的增大， y 的绝对值也无限增大。 x 的取值范围
3、 _ ,y的取值范围 _ 2. 对称性：对称轴 _ 对称中心 _ 3顶点： ( 如图 ) 顶点： _ 特殊点： _ 实轴： 21A A 长为 2a, a叫做半实轴长 虚轴： 21B B 长为 2b，b 叫做半虚轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点 4离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 a c a c e 2 2 ，叫做双曲线的离心率范围： _ 双曲线形状与e的关系： 11 2 2 222 e a c a ac a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越 大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5双曲线的第二定义： 到定点 F 的距离
4、与到定直线 l的距离之比为常数 )0(ac a c e 的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双 曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数 e 是双曲线的离心率 准线方程： 对于 1 2 2 2 2 b y a x 来说，相对于左焦点 )0 ,( 1 cF 对应着左准线 c a xl 2 1 : ， 相对于右焦点 )0 ,( 2 cF 对应着右准线 c a xl 2 2 : ； 6渐近线 过双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 的两顶点 21, A A ，作 x 轴的垂线 ax ，经过 21,B B 作 y 轴的垂线 by ，四条直线 围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线方程是_或（ 0 b y
5、 a x ），这两条直线就是双曲线 的渐近线 双曲线无限接近渐近线，但永不相交。 7等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 性质：（ 1）渐近线方程为： xy ；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 2e 8共渐近线的双曲线系 与双曲线1 2 2 2 2 b y a x （a0，b0）共渐近线的双曲线方程可表示为 2 2 2 2 b y a x ( 0且为待定 常数) 备注：与双曲线1 2 2 2 2 b y a x (ab0)共焦点的双曲线方程可表示为1 - 2 2 2 2 b y a x ( a 2,且 b2 - ) 例 1 求与双曲线- 1 有共同渐近线且过点(2，3)的双
6、曲线方程. 9共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三个量a,b,c中 a,b 不同（互换）c 相同 共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1 变为 -1 10 . 双曲线的焦半径 定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点 21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径 焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义， 设双曲线 )0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x ， 21,F F 是其左右焦点则由第二定义： e d MF 1 1 ， e c a x MF 2 0 1 axMF 01 e同理aexMF 02 11通径定义：过焦点且垂直于对称轴的焦点弦 a b d 2 2
