[初中(材料)]一次函数、二次函数、指数函数知识点汇总【必考点

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1、一次函数 一、定义与定义式：自变量x 和因变量y 有如下关系： y=kx+b 则此时称 y 是 x 的一次函数。 特别地，当b=0 时， y 是 x 的正比例函数。即：y=kx （k 为常数， k0） 二、一次函数的性质： 1.y 的变化值与对应的x 的变化值成正比例，比值为k 即： y=kx+b （k 为任意不为零 的实数b 取任何实数） 2.当 x=0 时， b 为函数在 y 轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1作法与图形：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线，可以作出一次函数的图像 一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2 点，并连成直线即可。 （通常找函数

2、图像与x 轴和 y 轴的交点） 2性质：（ 1）在一次函数上的任意一点P（x，y） ，都满足等式：y=kx+b 。 （2）一次函 数与 y 轴交点的坐标总是（0，b)，与 x 轴总是交于（ -b/k ，0）正比例函数的图像总是过 原点。 3k，b 与函数图像所在象限： 当 k0时，直线必通过一、三象限，y 随 x 的增大而增大； 当 k0时，直线必通过二、四象限，y 随 x 的增大而减小。 当 b 0时，直线必通过一、二象限； 当 b=0 时，直线通过原点 当 b 0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O 时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当 k0时，直线只通过

3、一、三象限；当k0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点 A（x1，y1） ；B（x2，y2） ，请确定过点A、B 的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b 。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y） ，都满足等式y=kx+b 。所以可以列出2个方 程： y1=kx1+b 和 y2=kx2+b （3）解这个二元一次方程，得到k，b 的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用： 1.当时间 t 一定，距离s 是速度 v 的一次函数。 s=vt 。 2.当水池抽水速度f 一定，水池中水量g 是抽水时间t 的一

4、次函数。设水池中原有水量 S。g=S-ft 。 六、常用公式： 1.求函数图像的k 值：（ y1-y2)/(x1-x2) 2.求与 x 轴平行线段的中点：|x1-x2|/2 3.求与 y 轴平行线段的中点：|y1-y2|/2 4.求任意线段的长：(x1-x2)2+(y1-y2)2 （注：根号下（x1-x2) 与（ y1-y2) 的平方和） 二次函数 I.定义与定义表达式 一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=ax2+bx+c （a，b，c 为常数， a0，且 a 决定函数的开口方向，a0 时，开口方向向上，a0 时， y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h 个

5、单位得到， 当 h0,k0 时，将抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位，再向上移动k 个单位，就可以 得到 y=a(x-h)2 +k的图象； 当 h0,k0 时，将抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位，再向下移动|k| 个单位可得到 y=a(x-h)2+k的图象； 当 h0 时，将抛物线向左平行移动|h| 个单位，再向上移动k 个单位可得到y=a(x-h) 2+k的图象； 当 h0,k0 时，开口向上，当a0 ，当 x -b/2a 时， y 随 x 的增大而减小；当x -b/2a时， y 随 x 的增大而增大若a0，图象与x 轴交于两点A(x?，0)和 B(x?，0) ，其中的 x1,x2

6、 是一元二 次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离AB=|x ?-x?| 当 =0 图象与x 轴只有一个交点； 当 0 时，图象落在x 轴的上方， x 为任何实数时，都有 y0 ；当 a0 时，图象落在x 轴的下方， x 为任何实数时，都有y0(a0)，则当 x= -b/2a时， y 最小 (大)值 =(4ac-b2)/4a 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值 6用待定系数法求二次函数的解析式 (1) 当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y 的三对对应值时，可设解析式为一 般形式： y=ax2+bx+c(a0) (2) 当题给条件为已知图

7、象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h) 2+k(a0) (3) 当题给条件为已知图象与x 轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x ?)(x- x?)(a 0) 7二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次 函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现 反比例函数 形如yk x(k 为常数且k0) 的函数，叫做反比例函数。 自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数。 反比例函数图像性质： 反比例函数的图像为双曲线。 由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。 另外，从反比例函数的

8、解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴 作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为k。 如图，上面给出了k 分别为正和负（2和-2）时的函数图像。 当 K 0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数 当 K 0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数 反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。 知识点： 1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形 的面积为 | k |。 2.对于双曲线ykx ，若在分母上加减任意一个实数(即 yk（ xm ）m 为常数 )， 就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个

9、数时向左平移，减一个数时向右平 移） 对数函数 对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a 的规 定，同样适用于对数函数。 右图给出对于不同大小a 所表示的函数图形： 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x 的对称图形，因为它们 互为反函数。 （1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。 （2）对数函数的值域为全部实数集合。 （3）函数总是通过（1，0）这点。 （4）a 大于 1时，为单调递增函数，并且上凸；a 小于 1大于 0时，函数为单调递减函数， 并且下凹。 （5）显然对数函数无界。 指数函数 指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的

10、讨论就可以知道，要想使得x 能够取整 个实数集合为定义域，则只有使得 如图所示为a 的不同大小影响函数图形的情况。 可以看到： （1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于 0，对于 a 不大于 0的情 况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 （2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3） 函数图形都是下凹的。 （4） a 大于 1，则指数函数单调递增；a 小于 1大于 0，则为单调递减的。 （5） 可以看到一个显然的规律，就是当a 从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0） ， 函数的曲线从分别接近于Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置，

11、趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1 是从递减到递增的 一个过渡位置。 （6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X 轴,永不相交。 （7） 函数总是通过（0， 1）这点。 （8） 显然指数函数无界。 奇偶性 注图：（ 1）为奇函数（2）为偶函数 1定义 一般地，对于函数f(x) （1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有 f(-x)= f(x) ，那么函数f(x) 就叫做奇函 数。 （2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=f(x)，那么函数f(x) 就叫做偶函数。 （3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)

12、与 f(-x)=f(x)同时成立，那么函数 f(x) 既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 （4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数 f(x) 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 说明： 奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言 奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这 个函数一定不是奇（或偶）函数。 （分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、 偶性的定义经过化简、整理、再与f(x) 比较得出结论） 判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

13、 2奇偶函数图像的特征： 定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y 轴或轴对称图形。 f(x) 为奇函数f(x) 的图像关于原点对称点（x,y）（ -x,-y ） 奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。 偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。 3. 奇偶函数运算 (1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数. (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数. (3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数. (4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数. (6) . 一个偶函数与

14、一个奇函数相乘所得的积为奇函数. 定义域 （高中函数定义）设A,B 是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f:A-B 为集合 A 到集合 B 的一个函数，记作y=f(x),x属于集合A。其中， x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域； 值域 名称定义 函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应 变量所有值的集合 常用的求值域的方法 （1）化归法； （2）图象法（数形结合） ， （3）函数单调性法， （4）配方法， （5）换元法， （6）反函数法（逆求

15、法） ， （7）判别式法， （8）复合函数法， （9）三角代换法， （10）基本不等式法等 关于函数值域误区： 定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“ 元件 ” 。平时数学中，实行“定义域优先 ” 的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈 化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手 “软” ，使学生对函数的掌握时好时坏， 事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互 相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限 集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏

16、效，还必须 联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案， 从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求 法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。 “范围 ”与“值域 ”相同吗？ “范围 ”与“值域 ”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈， 实际上这是两个不同的概念。“值域 ”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个 函数的取值） ，而 “范围 ” 则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一 定都满足这个条件） 。也就是说 :“值域 ”是一个 “范围 ” ，而 “范围 ”却不一定是 “值域 ” 。