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1、 1 七年级数学上册知识点汇总 1.1.有理数:有理数: (1)凡能写成分数形式的数,都是有理数,整数和分数统称有理数. 注意:0 即不是正数,也不是负数;-a 不一定是负数,+a 也不一定是正数;不是有理数; (2)有理数的分类: 负分数 负整数 负有理数 零 正分数 正整数 正有理数 有理数 负分数 正分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 (3)自然数 0 和正整数; a0 a 是正数; a0 a 是负数; a0 a 是正数或 0 ( a 是非负数); a 0 a 是负数或 0(a 是非正数). (4)最大的负整数是-1,最小的正整数是 1 2 2数轴数轴:数轴是规定了原点、正方向
2、、单位长度的一条直线. 3 3相反数:相反数: (1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;如 1.5 的相反数是-1.5,-12 的 相反数是 1212,a a 的相反数是- -a,a,0 0 的相反数还是 0 0; (2)注意:3.143.14- - 的相反数是 - -3.143.14;a a- -b b 的相反数是 b b- -a a;a+ba+b 的相反数是- -a a- -b b; (3)相反数的和为 0, 即: a+b=0 a+b=0 a a、b b 互为相反数. (4)相反数的商为-1(除 0 外). (5)相反数的绝对值相等。 4.4.绝对值:绝对值: (1)正
3、数的绝对值等于它本身,例如:|5|=5, | | - -3.14|=3.14|= - -3.143.14 0 的绝对值是 0, 负数的绝对值等于它的相反数;例如: |-5|=5, |3.14|3.14- - |=|=- -( (3.143.14- - ) ) 注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离; (2) 绝对值可表示为: = = )0a (a )0a (0 )0a (a a 或 = )0( )0( aa aa a ; (3) 0a1 a a = ; 0a1 a a =; (4) |a|是重要的非负数,即|a|0; 5.5.有理数比大小:有理数比大小: (1)正数永远比 0 大
4、,负数永远比 0 小; (2)正数大于一切负数; (3)两个负数,绝对值大的反而小;(4)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大; 6.6.倒数:倒数: 乘积为 1 的两个数互为倒数;例如:1.2 的倒数是 5/6,-4/7 的倒数是-7/4 注意:0 没有倒数; 若 ab=1 a、b 互为倒数; 等于本身的数汇总: (1)相反数等于本身的数:0 (2)倒数等于本身的数:1,-1 (3)绝对值等于本身的数:正数和 0 (4)平方等于本身的数:0,1 (5)立方等于本身的数:0,1,-1. 7. 7. 有理数加法法则:有理数加法法则: 2 (1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;例如:
5、- -2 2- -1=1=- -3 3,(- -2 2- -1 1 可理解为+号省略 读作- -2 2,- -1 1 的和,也可读作- -2 2 减 1 1 ) (2)异号两数相加,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值; 例如:- -1+2=11+2=1, - -2+1=2+1=- -1, 71, 7- -9=9=- -2 2(7 7- -9 9 读为读为 7 7 与与- -9 9 的和的和) (3)一个数与 0 相加,仍得这个数. 8 8有理数加有理数加法的运算律:法的运算律: (1)加法的交换律:a+b=b+a ;(2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 9
6、 9有理数减法法则有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;例如 4-(-5)=4+5. 10 10 有理数乘法法则:有理数乘法法则: (1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(2)任何数同零相乘都得零; (3)几个不为零因数连乘,积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负,偶数个负数为正。4 (-6)(-8)12(-9)=- -468129 11 11 有理数乘法的运算律:有理数乘法的运算律: (1)乘法的交换律:ab=ba;(2)乘法的结合律:(ab)c=a(bc); (3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac .(简便运算) 1212有理数除法法则有理数除法法则:
7、 (1)除以一个数等于乘以这个数的倒数;例如:7(-4/5)=7(-5/4) (2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;0 除以任何非零数都得 0。(注意:零不 能做除数,) 1313有理数的乘方有理数的乘方: (1)求 n 个相同因数 a 的积的运算,叫做乘方;即 a a n n=a.a.a =a.a.a (2)乘方中,相同的因数 a 叫做底数,相同因数的个数 n 叫做指数,乘方的结果叫做幂; (3)|a|,|a|,a a 2 2是非负数,即|a| |a|,a a 2 2 0 0;若( (a a- -2)2) 2 2+|b +|b+4+4|=0 |=0 a a- -2 2=0,b=
8、0,b+4+4=0=0(即 a=2,b=a=2,b=- -4 4); (4)正数的任何次幂都是正数;例如:1 1 n n =1 =1 (5)负数的奇次幂是负数; 例如:(- -1 1) 2n+12n+1= =- -1 1 负数的偶次幂是正数;( (- -1)1) 2n2n=1 =1 (6)(- -3 3) 2 2 与 与- -3 3 2 2的区别: ( (- -3 3) 2 2= =( (- -3 3)()(- -3 3)=9=9; - -3 3 2 2= =- -3 3 3.3.= =- -9 9 1414科学记数法科学记数法:把一个大于 10 的数记成 a a1010 n n的形式,其中
9、a 是整数数位只有一位的数,这种 记数法叫科学记数法. 1515. .近似数的精确位近似数的精确位: 一个近似数, 四舍五入到那一位, 就说这个近似数的精确到那一位例如: 23.4 精确到 0.1 或精确到十分位,5.785.781010 4 4(5.78 万)精确到百位。 1616. .有效数字有效数字:从左边第一个不为零的数字起,到末位数字止,所有数字,都叫这个近似数的有效 数字.例如:0.0403 有三个有效数字:4,0,3. 1717. .混合运算法则:混合运算法则:先乘方,再乘除,后加减;如果有括号,先算括号,同一级运算,从左到右进行. 注意:不省过程,不跳步骤。 1818. .特殊
10、值法:特殊值法:是用符合题目要求的数代入,并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于 证明.常用于填空,选择。 整式的加减 1 19 9单项式:单项式:表示数与字母的乘积的式子,单独的一个数或字母也叫单项式。 例如:单项式:3xy, a, -3ab/2, 0, -7, 不 是单项式:a/c, (m+n)/2, ab+ac 3 2 20 0单项式的系数与次数:单项式的系数与次数:单项式中的数字因数,称单项式的系数;例如:-3 2xy, a, -3ab/2, a2b 的系数分别是-3 2,1,-3/2, 单项式中所有字母指数的和,叫单项式的次数. 例如:-3 2xy, a, a2b 的次数分别
11、是 2,1,3 2121多项式多项式:几个单项式的和叫多项式. 2 22 2多项式的项数与次数:多项式的项数与次数:多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数,每个单项式叫多项式 的项;多项式里,次数最高项的次数叫多项式的次数;例如:-x 2y+5xy-2x-1 是三次四项式,其 中,三次项是-x 2y,三次项系数是-1 ,二次项是 5xy,二次项系数是 5,一次项是-2x, 一次项 系数是-2, 常数项是-1 2323单项式与多项式统称整式 . 2424同类项:同类项: 所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 2525合并同类项法则:合并同类项法则: 系数相加,字母与字母的指
12、数不变.不是同类项不能合并。 2626去(添)括号去(添)括号法则:法则:把括号和括号前面的符号去掉 若括号前边是“+”号,括号里的各项都不变号;+(a-b+c)=a-b+c 若括号前边是“-”号,括号里的各项都要变号. -(a-b+c)=-a+b-c 2727整式的加减整式的加减:一找(同类项):(划线);二加(系数相加)三合(字母部分不变) 2828. .多项式的升幂和降幂排列:多项式的升幂和降幂排列:把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排 列起来,叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列). 经典例题透析 类型一:用字母表示数量关系 1填空题: (1)香蕉每千克售价 3
13、元,m 千克售价_元。 (2)温度由 5上升 t后是_。 (3)每台电脑售价 x 元,降价 10后每台售价为_元。 (4)某人完成一项工程需要 a 天,此人的工作效率为_。 思路点拨:用字母表示数量关系,关键是理解题意,抓住关键词句,再用适当的式子表达出 来。 举一反三: 变式 某校学生给“希望小学”邮寄每册元的图书 240 册,若每册图书的邮费为书价的 5,则共需邮费_元。 4 类型二:整式的概念 2指出下列各式中哪些是整式,哪些不是。 (1)x1;(2)a2;(3);(4)SR2;(5);(6) 总结升华:判断是不是整式,关键是了解整式的概念,注意整式与等式、不等式的区别,等 式含有等号,
14、不等式含有不等号,而整式不能含有这些符号。 举一反三: 变式把下列式子按单项式、多项式、整式进行归类。 x2y, ab, xy25, , 29, 2ax9b5, 600 xz, axy, xyz1, 。 分析:本题的实质就是识别单项式、多项式和整式。单项式中数和字母、字母和字母之间必 须是相乘的关系,多项式必须是几个单项式的和的形式。 答案:单项式有:x2y,29,600 xz,axy 多项式有:ab,xy25,2ax9b5,xyz1 整式有:x2y,ab,xy25,29,2ax9b5,600 xz,axy,xyz 1。 类型三:同类项 3若与是同类项,那么 a,b 的值分别是( ) (A)a
15、=2, b=1。 (B)a=2, b=1。 5 (C)a=2, b=1。 (D)a=2, b=1。 思路点拨:解决此类问题的关键是明确同类项定义,即字母相同且相同字母的指数相同,要注 意同类项与系数的大小没有关系。 解析:由同类项的定义可得:a1=b,且 2a+b=3, 解得 a=2, b=1, 故选 A。 举一反三: 变式在下面的语句中,正确的有( ) a2b3 与a3b2 是同类项; x2yz 与zx2y 是同类项; 1 与是 同类项; 字母相同的项是同类项。 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 解析:中a2b3 与a3b2 所含的字母都是 a,b,但 a 的次数分别是 2,3,b 的次数分别 是 3,2,所以它们不是同类项;中所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,所以 x2yz 与zx2y 是同类项;不含字母的项(常数项)都是同类项,正确,根据可知不正 确。故选 B。 类型四:整式的加减 4化简 mn(m+n)的结果是( ) (A