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1、第一节 集合及其运算,第一章 集合及其基数,集合论产生于十九世纪七十年代，它是德国数学家康托尔（Cantor）创立的，不仅是分析学的基础，同时，它的一般思想已渗入到数学的所有部门。“集合论观点”与现代数学的发展不可分割地联系在一起。,集合，指的是具有某种特定性质的对象的全体，通常用大写英文字母A，B，X，Y等表示；集合中的每个对象称为该集合的元素。一般说来，我们总用小写字母a,b,x,y表示集合中的元素。,集合与元素的关系：属于或不属于.,集合的定义,对于集合A，某一对象x如果是A的元素，则称x属于A，如果x不是A的元素，则称x不属于A。 集合的表示方法： 1.列举法； 2.描述法；,例如，A
2、是由具有性质P的元素全体组成时，记为： 其中P可以是一段文字，也可以是某个数学式子。,集合的运算,定理1 的充要条件是 且 .,定理2 若 ， ,则 .,类似定义其交集，即,例1 若,则,例2 若 是全体实数构成的集合，,则,一簇集合 ，可类似定义其并集，即,4. 并运算,例1 若,则,例2 若,则,例 3,定理3,（1）交换律,（2）结合律,（3）分配律,（4）幂等律,定理4,（1）,（2） 若,（3） 若,（4）,(5),证明 （2）由并集的定义，若,则存在,而,从而 故,（5）若,由交的定义，,再由并的定义可知存在,于是,从而,所以,再证,略,(6),5差运算 由所有属于A但不属于B的元
3、素组成的集合，称为A减B的差集，记作A-B。即,注,特别地，若考虑的一切集合都是某一给定集合S的子集，集合A相对于S的余集称为A的余集，简记为,定理5,（1）,（2）,(3),(4),（其中S为全集）,简记为Ac,定理6 De Morgan 公式,证明 （1） 若,设,反之，,当,域或代数,对于一个给定的集合S，若F 是S的一族子集，它满足下列条件,1）,2）,3）,则称F是S的一些子集构成的一个域或代数.,注,2. 一串指的是可排序.,集合序列的极限,1.序列的增减性,2.序列的并和交,3.上极限和下极限,例1,证：对一切自然数 ，显然有 ，所以,因为对任一有理数 其中 均为整数， 对任何 有 所以 这样,定理8,定理9,证明,单减如何证？,上、下极限集,上极限集,例：设A2n=0,1 A2n+1=1,2; 则上极限集为0,2,下极限集,例：设A2n=0,1 A2n+1=1,2; 则上极限集为0,2, 下极限集为1,上极限集,单调增集列极限分析,当An为单调增加集列时,单调减集列极限分析,当An为单调减小集列时,例3,笛卡尔乘积,集合的特征函数(示性函数),设S是一非空集合，A是S的一个子集。,重要性质,
