《2021-2021学年高中数学人教A版必修一学案：2.1.1指数与指数幂的运算Word版含解析修订》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2021学年高中数学人教A版必修一学案：2.1.1指数与指数幂的运算Word版含解析修订（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.1.1指数与指数幂的运算 课标要点 课标要点 学考要 求 高考要 求 1.根式的意义aa 2.分数指数幂的意义bb 3.无理数指数幂的意义aa 4.有理数指数幂的运算性质cc 知识导图 学法指导 1.弄清( n a)n与 n a n的区别，掌握 n 次根式的运算 2能够利用 a m n n a m进行根式与分数指数幂的互化 3通过对根指数 n 的讨论学会运用分类讨论的思想方法 4利用整体代换的思想求代数式的值. 知识点一n 次方根及根式的概念 1a的 n 次方根的定义 如果 x na，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1，且 nN* . 根式的概念中要求n1，且 nN * . 2
2、a 的 n 次方根的表示 (1)当 n 是奇数时， a 的 n 次方根表示为 n a，aR. (2)当 n 是偶数时， a 的 n 次方根表示为 n a，其中 n a表示 a 的 负的 n 次方根， a0， ) 3根式 式子 n a叫做根式，这里n 叫做根指数， a 叫做被开方数 , 知识点二根式的性质 (1)( n a)na(nR ，且 n1)； (2) n a n a n为奇数，且 n1 ， |a| n为偶数，且 n1 . ( n a) n 中当 n 为奇数时，aR；n为偶数时，a0，而 n a n中 aR. 知识点三分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质 1分数指数幂的意义 分 数 指
3、 数 幂 正分数指数 幂 规定：am n n am(a0，m，nN*，且 n1) 负分数指数 幂 规定： am n 1 am n 1 n am (a0，m，nN * ，且 n1) 性质0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂无意义 2.有理数指数幂的运算性质 (1)a r a sars； (2)(a r)sars； (3)(ab) r a rbr. 3无理数指数幂 无理数指数幂a (a0，是无理数 )是一个无理数有理数指数幂 的运算性质对于无理数指数幂同样适用 小试身手 1判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)任意实数的奇次方根只有一个() (2)正数的偶次方根有两个且互为相反数()
4、(3) 4 24.( ) (4)分数指数幂 a m n 可以理解为 m n 个 a 相乘 () (5)0 的任何指数幂都等于0.() 答案：(1)(2)(3)(4)(5) 2b43(b0)，则 b 等于() A3 4 B3 1 4 C4 3 D35 解析：因为 b43(b0)，b 4 33 1 4 . 答案：B 3下列各式正确的是 () A.3 23 B. 4 a 4a C( 3 2)32 D. 3 2 32 解析：由于3 23，4 a 4|a|，3 2 32，故选项 A，B， D 错误，故选 C. 答案：C 4. 81 625 1 4的值是_ 解析： 81 625 1 - 4 625 81
5、1 4 4 625 81 4 54 34 4 5 3 45 3. 答案： 5 3 ,类型一利用根式的性质化简求值, 例 1(1)下列各式正确的是 () A. 8 a 8a Ba01 C. 4 4 4 4 D. 5 5 55 (2)计算下列各式： 5 a 5_. 6 3 6_. 61 4 3 33 8 3 0.125_. 【解析】(1)由于 n a n |a|，n为偶数， a，n为奇数， 则选项 A，C 排除，D 正确，B 需要加条件 a0. (2) 5 a 5a. 6 3 66 3 6 3. 61 4 3 33 8 3 0.125 5 2 2 3 3 2 3 3 1 2 35 2 3 2 1
6、2 1 2. 【答案】(1)D(2)a 3 1 2 首先确定式子 n a n中 n 的奇偶，再看式子的正负， 最后确定化简结 果 方法归纳 根式化简或求值的策略 (1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是 偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值 (2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号 化简，化简时要结合条件或分类讨论 跟踪训练 1求下列各式的值： (1) 3 2 3； (2) 4 3 2； (3) 8 3 8； (4) x 22xyy2 7 yx 7. 解析：(1) 3 2 32； (2) 4 3 2 4 3 2 3； (3) 8 3 8|3| 3；
7、 (4)原式xy 2yx|xy|yx. 当 xy 时，原式 xyyx0； 当 xy 时，原式 yxyx2(yx) 所以原式 0，xy， 2 yx ，xy. (4)由根式被开方数正负讨论xy，x0)化为根式为 _； (2)化简：(a 2 5 a3) (a 10 a9)_.(用分数指数幂表示 )； (3)将下列根式与分数指数幂进行互化 a 33 a 2； a 4b23 ab 2(a0，b0) 【解析】(1)a 3 4 1 a3 4 1 4 a3 (2)(a 25 a 3) ( a10 a 9)(a2 a 3 5 ) (a 1 2 a 9 10 )a 13 5 a7 5a 13 7 55 a 6 5
8、 【答案】(1) 1 4 a 3 (2)a 6 5 (3)a 33 a 2a3 a 2 3 a 2 3+ 3 a 11 3 . a 4b23 ab 2 a 4b2 ab21 3 a 4b2a1 3b 2 3 a11 3 b 8 3a 11 6 b4 3. 利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂 方法归纳 根式与分数指数幂互化的方法及思路 (1)方法：根指数化为分数指数的分母， 被开方数 (式)的指数 化为分 数指数的分子 (2)思路：在具体计算中， 通常会把根式转化成分数指数幂的形式， 然后利用有理数指数幂的运算性质解题 提醒：如果根式中含有多重根号， 要由里向外用分数指数幂写出
9、, 跟踪训练 2下列根式与分数指数幂的互化正确的是() Ax(x) 1 2 (x0)B. 6 y2y 1 3 (y0) Dx 1 3 3 x(x0) 解析：xx 1 2 (x0)； 6 y 2(y2) 1 6y 1 3 (y0)； x 1 3 1 x 1 3 3 1 x(x0) 答案：C A：x先把xx 1 2 再加上 . B：注意 y0，b0) 解析：(1)原式 1 2 3 2 27 8 2 3 109 3 2 1 2 3 2 3 2 2102729 1019. (2)原式4 1 2 0.1 2 2 3 a3 2 b 3 2 a3 2 b 3 2 2 1 1008 4 25. 先把根式化为分
10、数指数幂再运用指数幂的运算法则计算 基础巩固 (25 分钟， 60 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分) 1将 3 2 2化为分数指数幂，其形式是() A2 1 2 B2 1 2 C2 1 2 D2 1 2 解析： 3 2 2(2 2) 1 3(22 1 2 ) 1 3 (23 2) 1 3 2 1 2 . 答案：B 2若 a 1 4 (a2)0有意义，则 a 的取值范围是 () Aa0 Ba2 Ca2 Da0 且 a2 解析：要使原式有意义，只需 a0 a20 ， a0 且 a2. 答案：D 3化简 x3 x 的结果是 () AxB. x CxD.x 解析：依题意知 x0)的值
11、是 () A1 Ba Ca 1 5 Da 17 10 解析：原式 a 3 a1 2 a 4 5 a 14 3 25 a 17 10 . 答案：D 5化简( 3 6 a 9)4 ( 6 3 a 9 ) 4 的结果是 () Aa 16 Ba 8 Ca 4 Da 2 解析：( 3 6 a9)4 ( 6 3 a 9)4 ( 6 a9) 4 3 ( 3 a9) 4 6 (a9 6) 4 3 (a9 3 ) 2 3 a 94 63 a 9 2 3 3 a4. 答案：C 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 6. 2 3 2(1 2)0 33 8 2 3 16 0.75_. 解析： 2 3 2(1
12、2)0 33 8 2 3 160.75 9 41 27 8 2 3 16 3 4 9 41 3 2 3 2 3 (24) 3 4 9 41 9 48 7 答案：7 7化简_. 解析：原式 a 111 326 b 115 236 1 a. 答案： 1 a 8若 10 x2,10y3，则 10 34 2 xy _. 解析：由 10 x2,10 y3， 得 10 3 x 2 (10 x) 3 2 2 3 2 ， 10 2y(10y)232， 10 34 2 xy 103 2x 10 2y 23 2 3 22 2 9 . 答案： 2 2 9 三、解答题 (每小题 10 分，共 20 分) 9用分数指数
13、幂的形式表示下列各式(a0，b0)： (1)a 2 a； (2) 3 a2a3； (3)( 3 a) 2ab3； (4) a2 6 a 5 . 解析：(1)原式 a2a 1 2 a 1 2+ 2 a 5 2 . (2)原式a 2 3 a 3 2 a 23 32 a 13 6 . (3)原式(a 1 3 )2 (ab3) 1 2 a 2 3 a 1 2 b 3 2 a 21 32 b 3 2 a 7 6 b 3 2 . (4)原式a 2 a 5 6 a 5 2- 6 a 7 6 . 10计算下列各式： (1)0.064 1 3 5 7 0(2)3 4 3 16 0.75； (2) 9 4 1 2
14、 (9.6) 0 27 8 2 3 (1.5) 2； (3) 3 3 8 2 3 0.002 1 2 10( 52) 1( 52)0. 解析：(1)原式 0.4 11(2)4235 21 1 16 1 8 27 16. (2)原式 3 2 2 1 2 13 2 3 2 3 3 2 22 31 3 2 2 2 3 2 1 2. (3)原式(1) 2 3 3 3 8 2 3 1 500 1 2 10 521 27 8 2 3 500 1 2 10( 52)1 4 910 510 5201 167 9 . 能力提升 (20 分钟， 40 分) 11化简a 3 a的结果是 () A. 5 a 2 B
15、6 a 5 C.6a5D 6 a5 解析：由题意可知 a0，则a 3 a(a) 1 2 a 1 3 (a) 1 2 ( a) 1 3 (a) 5 6 6 a 5 6 a5. 答案：B 12若x22x1y 26y90，则(x2019)y_. 解析：因为x22x1y 26y90， 所以x1 2 y3 2|x1|y3|0， 所以 x1，y3. (x2019)y(1)2019 3(1)31. 答案：1 13将下列根式化为分数指数幂的形式： (1)m 2m(m0)； (2) mm(m0)； (3) ab 3 ab 5(a0，b0)； (4) y2 x x3 y 3 y6 x3(x0，y0) 解析：(1)m 2mm2 m 1 2 m 1 2+ 2 m 5 2 . (2) m mm m 1 2 m 3 2(m 3 2 ) 1 2 m 3 4 . (3)原式ab 3(ab5) 1 2 1 2 a a 1 2 b3 (b5) 1 2 1 2 (a 3 2 b 11 2 ) 1 2 a 3 4 b 11 4 . (4)方法一从外向里化为分数指数幂 y 2 x x 3 y 3 y 6 x3 y 2 x x 3 y 3 y 6 x3 1 2 y2 x x 3 y 3 y 6 x 3 1 2 1 2 y 2 x x3 y y 6 x3 1 3 1 2 1 2 y 2 x 1 2
