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1、- 1 - / 6 广东省广州市2017 届高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷 答案 一、选择题 15ABABA610CDCBC1112BD 二、填空题 13 2 3 14 23 152 590 16 27 三、解答题 17解：（ ）因为数列 n a是等比数列，所以 2 132 a aa 因为 123 8a a a，所以 3 2 8a，解得 2 2a 因为 213521 3() nn SaaaaL， 所以 21 3Sa，即 121 3aaa 因为 2 2a，所以 1 1a 因为等比数列 n a的公比为 2 1 2 a q a ， 所以数列 n a的通项公式为 1 2 n n a （）因为等比
2、数列 n a的首项为 1 1a，公比2q， 所以 1(1 ) 1 n n aq S q 12 21 12 n n 因为 nn bnS，所以(21) n n bn2 n nng 所以 123n Tbbb 1nn bbL 23 (1222322 )(123) n nnLL 设 23 122232 n P2 n nL 则 23 21222 nP 41 322 n nL 所以 1234 2(22222) nn n PnL 1 (1)22 n n 因为1 2 3 (1) 2 n n nL， 所以 1 (1)2 n n Tn (1) 2 2 n n 所以数列b n 的前n项和 1 (1)2 n n Tn
3、(1) 2 2 n n 18解：（ ）证明：连接BD， - 2 - / 6 因为ABCD是菱形，所以ACBD 因为FD平面ABCD，AC平面ABCD， 所以ACFD 因为 BDFDDI，所以AC平面BDF 因为EB平面ABCD，FD平面ABCD，所以EB FD 所以B，D，F，E四点共面 因为EF平面BDFE，所以EFAC （） 如图，以D为坐标原点， 分别以DC uuur ，DF uuu r 的方向为y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系Dxyz 可以求得 31 (,0) 22 Aaa， 31 (,0) 22 Baa， 3 (0,0,) 2 Fa ，(0,0)Ca， 31 (,3 ) 22
4、 Eaaa 所以 (0,0)ABa uuu r ， 313 (,) 222 AFaaa uuu r 设平面ABF的法向量为,nx y z r ， 则 0, 0, nAB nAF ruuu r g ruuu r g 即 0, 313 0 222 ay axayaz 不妨取1x，则平面ABF的一个法向量为 (1,0,1)n r 因为 31 (,3 ) 22 CEaaa uuu r ， 所以 | |cos,| | n CE n CE n CE ru uu r r uu u r g ru uu r 3 6 8 所以直线CE与平面ABF所成角的正弦值为 3 6 8 - 3 - / 6 19解：（ ）依题
5、意， 1 的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4， 因为 1 (1.68)0.60.50.30P， 1 (1.92)0.60.50.30P， 1 (2.1)0.40.50.20P， 1 (2.4)0.40.50.20P 所以 1 的分布列为 11.681.922.12.4 1 P 0.300.300.200.20 依题意， 2 的所有取值为1.68，1.8，2.24， 2.4， 因为 2 (1.68)0.70.60.42P， 2 (1.8)0.30.60.18P， 2 (2.24)0.70.40.28P， 2 (2.4)0.30.40.12P 所以 2的分布列为 21.681.82.2
6、42.4 1 P 0.420.180.280.12 （）令 i Q表示方案i所带来的利润，则 1 Q 152025 P0.300.500.20 2 Q 152025 P 0.420.460.12 所以 1 150.30200.50250.2019.5EQ， 2 150.42200.46250.1218.5EQ 因为 12 EQEQ， 所以实施方案1，第二个月的利润更大 20解：（ ）双曲线 2 2 1 5 x y的焦点坐标为 (6,0)，离心率为 30 5 因为双曲线 2 2 1 5 x y的焦点是椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数， 所以
7、6a，且 22 30 6 ab a ，解得1b - 4 - / 6 故椭圆C的方程为 2 2 1 6 x y （）因为 4 3 |2 3 MN，所以直线MN的斜率存在 因为直线MN在y轴上的截距为m ，所以可设直线MN的方程为ykxm 代入椭圆方程 2 2 1 6 x y得 222 (16)126(1)0kxkmxm 因为 22 (12)24(16)kmk 2 (1)24m 22 (16)0km， 所以 22 1+6mk 设 11 (,)Mxy， 22 (,)N xy， 根据根与系数的关系得 12 2 12 16 km xx k ， 2 12 2 6(1) 16 m x x k 则 2 222
8、22 121212 22 1224(1) |1|1()41() 1 616 kmm MNkxxkxxx xk kk 因为 4 3 | 3 MN，即 2 22 22 1224(1)4 3 1() 161 63 kmm k kk 整理得 42 2 2 18397 9(1) kk m k 令 2 11kt，则 2 1kt 所以 2 2 187550150752305 75(18) 9993 tt mt tt 等号成立的条件是 5 3 t，此时 22 3 k， 25 3 m满足 22 16mk，符合题意 故 m 的最大值为 15 3 21解：（ ）函数( )f x 的定义域为 (0,1)(1,)U 因
9、为( ) ln x f xaxb x ，所以 2 ln1 ( ) ln x fxa x 所以函数( )f x 在点 (e,(e)f处的切线方程为eeeyabax，即eyax b 已知函数( )f x 在点 (e,(e)f处的切线方程为2eyax，比较求得eb 所以实数b的值为e （）由 1 ( )e 4 f x ，即 1 ee ln4 x ax x 所以问题转化为 11 ln4 a xx 在 2 e,e 上有解 令 11 ( ) ln4 h x xx 2 e,e x， - 5 - / 6 则 2 222222 11ln4(ln2)(ln2) ( ) 4ln4ln4ln xxxxxx h x x
10、xxxxxx 令( )ln2p xxx， 所以当 2 e,e x时，有 111 ( )0 x p x xx x 所以函数( )p x 在区间 2 e,e 上单调递减 所以( )(e) lne 2 e 0p xp 所以()0hx ，即( )h x 在区间 2 e,e 上单调递减 所以 2 222 1111 ( )(e )= lne4e24e h xh 所以实数 a 的取值范围为 2 11 ,) 24e 22解：（ ）曲线C的普通方程为 22 1 124 xy 将直线20 xy代入 22 1 124 xy 中消去y得， 2 30 xx 解得0 x或3x 所以点(0,2)A，(3,1)B， 所以 2
11、2 |(30)(1 2)3 2AB （）在曲线C上求一点P，使PAB的面积最大，则点P到直线l的距离最大 设过点P且与直线l平行的直线方程yx b 将 yxb 代入 22 1 124 xy 整理得， 22 463(4)0 xbxb 令 22 (6 )443(4)0bb，解得4b 将4b代入方程 22 463(4)0 xbxb，解得3x 易知当点P的坐标为 ( 3,1)时，PAB的面积最大 且点( 3,1)P到直线l的距离为 22 |312 | 11 d 32 PAB的最大面积为 1 |9 2 SABd 23解：（ ）证明：因为1abc， 所以 222 (1)(1)(1)abc 222 abc2
12、()3abc 222 5abc - 6 - / 6 所以要证明 22216 (1)(1)(1) 3 abc， 即证明 2221 3 abc 因为 222 abc 2 ()abc 2222 2()()2()abbccaabcabc 所以 2222 3()()abcabc 因为1abc，所以 222 1 3 abc 所以 22216 (1)(1)(1) 3 abc （）设( )fx|21|xax， 则“ 对任意实数x ，不等式|21|2xax恒成立 ” 等价于 “ min ( )2fx” 当 1 2 a时，()fx 31, 1 1, 2 1 31,. 2 xaxa xa ax xax 此时 min 1 ( )() 2 fxf 1 2 a， 要使|21|2xax恒成立，必须 1 2 2 a，解得 3 2 a 当 1 2 a时， 12 | 23 x不可能恒成立 当 1 2 a时，()fx 1 31, 2 1 1, 2 31,. xax xaxa xaxa 此时 min 1 () 2 fxf 1 2 a， 要使|21|2xax恒成立，必须 1 2 2 a，解得 5 2 a 综上可知，实数a的取范为 35 (,) 22 U
