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1、1 / 11 河南省南阳、信阳等六市2017 年高考一模数学（文科）试卷 答案 一、选择题 15CADBC 610CCBCC 1112BA 二、填空题 13 2 141 1512 16 3 3 , 8 4 三、解答题 17解：（ 1） ( )2sin 2 f xx，集合( )|2,0Mxf xx， 则： + 22 xk 解得：21()xkkZ， 把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列 n a， 所以：21 n an 证明： （2）记 2 1 1 n n b a ，数列 n b 的前 n项和为 n T ， 222 1 1111 11 () (21)4441 n n annnn b n 所以：
2、 12 1111 (1 4 11 ) 1223 nn Tbbb nn 111 (1) 414n 18解：（）游客人数在 0,100)范围内的天数共有15 天， 故15a， 151 302 b， 游客人数的平均数为 1121 50150250350120 231530 (百人) （）从5 天中任选两天的选择方法有： (1 ,2),(1,3),(1 4),(1,5),(2 4),(2,5),(3,4),(35),(4,5)，,，共 10 种， 其中游客等级均为“ 优” 的有(1,4),(1,5),(4,5)，共 3 种， 2 / 11 故他这2天遇到的游客拥挤等级均为“ 优” 的概率为 3 10
3、19解：（ 1）在正方形ABCD 中， ADAE， CDCF ， A DA E，A DA F， 又A EA FA，A E，A FA EF平面， A DA EF平面 EFA EF而平面， A DEF， 异面直线A D与EF所成角的大小为90； （2）正方形ABCD 的边长为2，点E是AB的中点，点F是 BC 的中点， 在RtBEF中，1BEBF，得 2EF ， 而1A EA F， 222 A EA FEF ，则A EA F， 11 1 1 22 A EF S， 由（1）得A DA EF平面，且2A D， 1111 2 3323 DA EFA EF VSA D 20解：（ 1）把 (1,2)Q 代
4、入 2 2ypx，得24p，所以抛物线方程为 2 4yx， 准线 l 的方程为1x （2）由条件可设直线AB的方程为(1),0yk xk- 由抛物线准线1l x:，可知( 1, 2 )Mk，又(1,2)Q，所以 3 22 1 11 k kk， 把直线AB的方程(1)yk x-， 代入抛物线方程 2 4yx， 并整理，可得 2222 2(2)0k xkxk-， 设 11 (),A xy， 22 (),B xy，则 2 1212 2 24 ,1 k xxx x k ， 又(1,2)Q，故 12 11 12 22 , 11 yy kk xx 因为A，F，B三点共线，所以 AFBF kkk， 3 /
5、11 即 12 12 11 yy k xx ， 所以 121212 12 121212 222(22)()24 2(1) 11()1 yykx xkxxk kkk xxx xxx ， 即存在常数2 ，使得 123 2kkk成立 21解：（ 1）当1a时， 1 ( ) e x x f x，则 (1)0f ， 可得 2 ( ) e x x fx， 1 (1) e f 所以曲线( )fx在点(1, (1)f处的切线方程为e10 xy （2） 2 (1)(2)2(1)(2) ( ) ee xx axa xaaxax fx 令( )0fx得 1 (1) 1 a xa a 或 2 2x 当1a时， ( )
6、f x 在0,2递减，在 2,)递增 当x时， max ( )0( )(0)fxf xfa 当2 1 a a 即 2 1 3 a时， ( )f x 在0,2和, 1 a a 递减， ( )f x 在2, 1 a a 递增 1 () 1 a a aa fa a e 解得 01a，所以 2 1 3 a 当2 1 a a 即 2 3 a时，( )f x在0,)递减， max ( )(0)f xfa 当02 1 a a 即 2 0 3 a时， ( )fx在0, 1 a a 和2,)递减，在,2 1 a a 递增， 2 45 (2) e a fa，解 得 2 4 e5 a，所以 2 42 e53 a 当
7、0 1 a a 即0a时，( )f x在0,2递增，( )(0)f xfa不合题意 综上所述：a 的取值范围为 2 4 , e5 第（ 2）问另解： (0)fa ( )f x当0 x时的最大值为 a，等价于( )f xa对于0 x 恒成立， 可化为 2 2 e1 x x a xx 对于0 x恒成立， 令 2 2 ( ) e1 x x g x xx ，则 22 (2)(1e ) ( ) (e1) x x x x g x xx 于是( )g x在0,2上递增，在(2,)上递减， 4 / 11 max 2 4 ( )(2) e5 gxg， a 的取值范围是 2 4 e5 a 22解：（ 1）由4co
8、s，得出 2 4 cos，化为直角坐标方程： 22 4xyx 即曲线 C 的方程为 22 (2)4xy-，直线 l 的方程是：0 xy （2）将曲线 C 横坐标缩短为原来的 1 2 ，再向左平移1个单位， 得到曲线 1 C的方程为 22 44xy，设曲线 1 C 上的任意点(cos ,2sin) 到直线 l 距离 |cos2sin|5|sin() | 22 d 当()0sin时 到直线 l 距离的最小值为 0 23解：（ 1）由( )2f xx得： 1 112 x xxx 或 11 112 x xxx 或 1 112 x xxx ， 即有 12x或 01x 或 x， 解得 02x， 所以( )
9、2f xx的解集为0,2； （2） |1|21|1111 |1|2| |12|3 | aa aaaaa ， 当且仅当 11 (1)(2)0 aa 时，取等号 由不等式 |1|21| ( ) | aa fx a 对任意实数0a恒成立， 可得1|1|3|xx，即 1 23 x x 或 11 23 x 或 1 23 x x ， 解得 33 22 xx-或， 故实数 x 的取值范围是 33 (,) 22 ， 5 / 11 河南省南阳、信阳等六市2017 年高考一模数学（文科）试卷 解析 一、选择题 1 【考点】交集及其运算 【分析】先利用交集定义求出集合C，由此能求出C 的子集的个数 【解答】解：集合
10、， C=A B= （x，y）|= （，）， C 的子集的个数是：21=2 故选： C 2 【考点】复数求模 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、实部与虚部的定义即可得出 【解答】解：（1i）=|1+i|，（1i） （1+i）=（1+i） ，=+i 则复数 z 的实部与虚部之和=+= 故选： A 3 【考点】平面与平面之间的位置关系 【分析】对4 个命题分别进行判断，即可得出结论 【解答】解：若m ，n ，mn，则 、位置关系不确定，故不正确； 若 m ，则 中存在直线c 与 m 平行， mn， n ，则 c ， c? ， ，不正确； 若 m ，n ，mn，则 、可以相交，不正确； 若
11、m ，m n，则 n ，n ， ，正确， 故选： D 4 【考点】模拟方法估计概率 【分析】由题意知模拟射击4 次的结果，经随机模拟产生了如下20 组随机数，在20 组随机数中表示种射 击 4 次至少击中3 次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果 【解答】解：由题意知模拟射击4 次的结果，经随机模拟产生了如下20 组随机数， 在 20 组随机数中表示射击4 次至少击中3 次的有： 7527 9857 0347 4373 8636 9647 4698 6233 8045 3661 9597 7424，共 12 组随机数， 所求概率为0.6 故选： B 5 【考点】指
12、数函数单调性的应用 【分析】利用指数函数的性质，结合 x0，即可得到结论 6 / 11 【解答】解：1bx， b0 b x， x0， b1 bx a x， x0， ab 1ba 故选 C 6 【考点】程序框图 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m 的值，模拟程序的运 行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件； 故输出的m 值为 45， 故选： C 7 【考点】简单线性规划 【分析】由题意作出其平面区域，
13、将z=x2y 化为 y= x ，相当于直线y= x 的纵截距，由几 何意义可得 【解答】解：由题意作出其平面区域， 将z=x2y化为 y=x ，相当于直线 y=x 的纵截距， 由解得， E（，） ； 此时 z=x2y 有最大值+2=； 故选： C 7 / 11 8 【考点】函数奇偶性的性质 【分析】由题设条件可先由函数在R 上是奇函数求出参数m 的值，求函数函数的解板式，再由奇函数的性 质得到 f（ log35）=f（ log35）代入解析式即可求得所求的函数值，选出正确选项 【解答】解：由题意，f（x）是定义在R 上的奇函数，当x0 时 f（x） =3x+m（m 为常数）， f（0）=30+
14、m=0，解得 m= 1，故有 x 0 时 f（x）=3x1 f（ log35）= f（log35）=（ ）=4 故选 B 9 【考点】函数y=Asin （x + ）的图象变换 【分析】化简这两个函数的解析式，利用正弦函数的单调性和对称性逐项判断，可得A、B、D 不正确， C 正确 【解答】解：函数y=sinx+cosx=sin（x+） ， y=2sinxcosx=sin2x， 由于的图象关于点（，0）成中心对称，的图象不关于点（，0）成中心对称， 故 A 不正确 由于函数的图象不可能关于直线x=成轴对称，故B 不正确 由于这两个函数在区间（，）上都是单调递增函数，故C 正确 由于将函数的图象向
15、左平移个单位得到函数y=sin2（x+） ，而 y=sin2（x+）sin（x+ ） ，故 D 不正确 故选 C 10 【考点】双曲线的简单性质 【分析】首先求出F2到渐近线的距离，利用 F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心， |OF1|为半径的圆 上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率 【解答】解：由题意，F1（0， c） ，F2（0，c） ， 一条渐近线方程为y=x，则 F2到渐近线的距离为 =b 设 F 2关于渐近线的对称点为M，F2M 与渐近线交于 A， |MF2|=2b，A 为 F2 M 的中点， 又 0 是 F1F2的中点， OA F1M， F1MF
16、 2为直角， MF1F2为直角三角形， 由勾股定理得4c2=c2+4b 2 3c2=4（c2a2） ， c2=4a2， c=2a， e=2 故选 C 11 【考点】球的体积和表面积 8 / 11 【分析】 由三视图可知： 该四面体是正方体的一个内接正四面体此四面体的外接球的半径为正方体的对角 线长为利用球的表面积计算公式即可得出 【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体 此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为 此四面体的外接球的表面积为表面积为=3 故选： B 12 【考点】命题的真假判断与应用；函数的图象 【分析】过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，故正确； 作函数的大致图象，从而判断的正误； 将圆的圆心放在正弦函数y=sinx 的对称中心上，则正弦函数y=sinx 是该圆的 “ 优美函数 ” ；即可判断的正 误； 函数 y=f （x）的图象是中心对称图形，则y=f（x）是 “ 优美函数 ” ，但函数y=f（ x）是 “ 优美函数 ” 时，图象 不一定是中
