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1、第 2 讲函数与方程、数形结合思想 一、函数与方程思想 函数思想方程思想 函数思想是通过建立函数关系或构造函数， 运用函数的图象和性质去分析问题、转化问 题，从而使问题得到解决的思想 方程思想就是建立方程或方程组，或者构造 方程，通过解方程或方程组或者运用方程的 性质去分析、转化问题，使问题得到解决的 思想 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进 行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系 应用一函数与方程思想在不等式中的应用 典型例题 设不等式2x 1m(x 21)对满足 |m|2 的一切实数 m 都成立，则x 的取值范围为 _ 【解
2、析 】问题可以变成关于m 的不等式 (x 21)m(2x1)0 在 m2，2上恒成立 ， 设 f(m) (x21)m(2x 1)， 则 f（2） 2（x 21）（ 2x1）0， f（ 2） 2（x 21）（ 2x1）0， 即 2x 22x 10，解得 71 2 x 31 2 ， 故 x 的取值范围为( 71 2 ， 31 2 ) 【答案 】( 71 2 ， 31 2 ) 一般地 ，对于多变元问题，需要根据条件和要求解的结果，确定一个变量，创设新的函 数，求解本题的关键是变换自变量，以参数m 作为自变量构造函数式，不等式的问题就变成 函数在闭区间上的值域问题 对点训练 1设 0a1，e 为自然对
3、数的底数，则a， a e，ea1 的大小关系为 ( ) Ae a1aae Baeaea 1 Ca eea1a Dae a10，则 f(x)e x10， 所以 f(x)在(0， )上是增函数 ，且 f(0)0，f(x)0， 所以 e x 1x， 即 ea1a. 又 yax(0aa e， 从而 e a 1aae . 2关于 x 的不等式x4 x1a 22a0 在 x(2， )上恒成立，则 a _ 解析： 关于 x 的不等式x 4 x1a 22a0 在 x(2，)上恒成立 ? 函数 f(x)x4 x在 x(2， )上的值域为 (a 22a1，) 因为函数f(x)x4 x在(2，)上为增函数 ，所以
4、f(x)2 4 24，即 f(x)在(2， )上的 值域为 (4， )， 所以 a22a14，解得 a 1 或 a3. 答案： 1 或 3 应用二函数与方程思想在数列中的应用 典型例题 已知数列 an是各项均为正数的等差数列 (1)若 a12，且 a2，a3，a41 成等比数列，求数列 an的通项公式 an； (2)在 (1)的条件下，数列an 的前 n 项和为Sn，设 bn 1 Sn1 1 Sn2 1 S2n，若对任意的 nN * ，不等式bnk 恒成立，求实数k 的最小值 【解】(1)因为 a12，a 2 3a2(a41)， 又因为 an是正项等差数列 ，故 d0， 所以 (22d)2 (
5、2 d)(33d)，得 d2 或 d 1(舍去 )， 所以数列 an的通项公式 an2n. (2)因为 Snn(n1)，则 1 Sn 1 n（n 1） 1 n 1 n1. 所以 bn 1 Sn1 1 Sn2 1 S2n 1 n1 1 n2 1 n2 1 n 3 1 2n 1 2n1 1 n 1 1 2n1 n 2n 23n1 1 2n 1 n3 . 令 f(x)2x1 x(x1)，则 f( x) 2 1 x 20 恒成立 ，所以 f(x)在 1，)上是增函数 ， 所以当 x1 时， f(x)min f(1)3，即当 n1 时， (bn)max 1 6， 要使对任意的正整数n，不等式 bnk 恒
6、成立 ， 则须使 k(bn)max 1 6， 所以实数k 的最小值为 1 6. (1)本题完美体现函数与方程思想的应用，第(2)问利用裂项相消求bn，构造函数 ，利用单 调性求 bn的最大值 (2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n 项和公 式即为相应的解析式，因此解决数列最值(范围 )问题的方法如下：由其表达式判断单调性， 求出最值； 由表达式不易判断单调性时， 借助 an1an的正负判断其单调性 对点训练 1 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn， 若 S4 2， S50， S63， 则 nSn的最小值为 _ 解析： 由已知得 ，a5S5S4 2，a6
7、S6S5 3，因为数列 an 为等差数列 ，所以公差 d a6a51.又 S5 5（a1a5） 2 0， 所以 a1 2，故 Sn 2n n（n1） 2 n 25n 2 ，即 nSn n 3 5n2 2 ，令 f(n)n 35n2 2 (n0 且 nZ)，则 f(n) 3 2n 25n，令 f( n)0，得 n10 3 ，令 f(n)0，得 0n0，a1a24，a3a2 6. (1)求数列 an 的通项公式； (2)若对任意的nN *， ka n，Sn， 1 都成等差数列，求实数 k 的值 解： (1)因为 a1a24，a3a26， 所以 a1（1q） 4， a1（q 2q） 6， 因为 q0
8、，所以 q3，a11. 所以 an13n 1 3n1，故数列 a n的通项公式为an3 n1. (2)由 (1)知 an3 n1，S n 1（ 13 n） 1 3 3 n 1 2 ，因为 kan，Sn，1 成等差数列 ， 所以 2Snkan1，即 2 3 n1 2 k3n 11，解得 k3. 应用三函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用 典型例题 (1)若方程 cos 2xsin xa0 在 x 0， 2 上有解，则a 的取值范围是_ (2)已知 a，b，c 为平面上三个向量，又a，b 是两个相互垂直的单位向量，向量c 满足 |c| 3， c a2，c b 1，x，y 均为实数，则|c x
9、ayb|的最小值为 _ 【解析 】(1)法一： 把方程 cos 2xsin xa0 变形为 a cos2xsin x， 设 f(x) cos 2xsin x， x 0， 2 ， f(x) (1sin 2x)sin x sin x1 2 2 5 4， 由 x 0， 2 可得 sin x(0，1 ，易求得 f(x)的值域为 ( 1，1，故 a 的取值范围是 (1，1 法二： 令 tsin x， 由 x 0， 2 ， 可得 t (0，1 依题意得1t 2 ta0，即方程 t2t1a0 在 t (0，1上有解 ，设 f(t)t2t 1 a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线t 1 2，如图所示 因
10、此 ，f(t)0 在(0，1上有解等价于 f（0）0， f（1）0， 即 1 a0， 1a0， 所以 1b0)经过点 1， 3 2 ，离心率为 1 2. (1)求椭圆 E 的方程； (2)设点 A，F 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F 作直线交椭圆E 于 C， D 两点， 求四边形OCAD 面积的最大值(O 为坐标原点 ) 【解】(1)由题设得 1 a 2 9 4b 21， c a 1 2， a 2 b2c2. 解得 a2， b3， c 1. 所以椭圆E 的方程为 x 2 4 y 2 3 1. (2)设直线 CD 的方程为x ky1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，与椭圆方程 x 2
11、4 y 2 3 1 联立得 (3k 2 4)y26ky 90. 所以 y1 y2 6k 3k 24，y1y2 9 3k 24. 所以 S四边形 OCADSOCA SODA 1 22 |y1| 1 22 |y2| |y1y2| （y1y2） 24y 1y2 12 k 21 3k 2 4 12t 3t 2 1 12 3t 1 t (其中 tk 21，t1) 因为当 t1 时， y 3t 1 t 单调递增 ， 所以 3t 1 t 4， 所以 S四边形OCAD3(当 k0 时取等号 )， 即四边形OCAD 面积的最大值为3. 几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般
12、 思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系 ，将目标量表示为一个(或者多个 )变量 的函数 ，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长、最值(范围 )问题的基本方 法 对点训练 设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0， 1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与 AB 相 交于点 D，与椭圆相交于E，F 两点若 ED 6DF ，求 k 的值 解：依题意得椭圆的方程为 x 2 4 y21，直线 AB，EF 的方程分别为x2y2，ykx(k0) 如图 ，设 D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2， kx2)，其中 x10 (aR)，若函数f(x)在 R 上有两个零点，
13、则实数a 的取 值范围是 () A(0，1B1， ) C(0，1) D(， 1 解析： 选 A.画出函数f(x)的大致图象如图所示因为函数f(x)在 R 有两个零点 ，所以 f(x) 在(， 0和(0，)上各有一个零点当x 0时 ，f(x)有一个零点 ，需 00 时 ， f(x)有一个零点 ，需 a0.综上 ，00， x2 4x，x0且x 4，其大致图象如图所示 ， 由图易得01 k 1 4. 所以 k 的取值范围为 1 4， . 答案： 1 4， 应用二数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用 典型例题 设函数 f(x) 2 x，x 0 1，x0 ，则满足f(x1)f(2x)的 x 的取值
14、范围是 () A(， 1 B(0， ) C(1，0) D(， 0) 【解析 】当 x0 时，函数 f(x)2 x 是减函数 ，则 f(x)f(0)1.作出 f(x)的大致图象如 图所示 ，结合图象可知，要使 f(x1)f(2x)，则需 x10， 2x0， 2xx 1 或 x10， 2x0 所以 x0，故选 D. 【答案 】D 求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象， 根据不等式中量的特点，选择适当的 两个 (或多个 )函数 ，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可 以避免烦琐的运算 对点训练 若不等式 |x2a| 1 2xa1 对 xR 恒成立，则 a 的取值范围
15、是_ 解析： 作出 y|x 2a|和 y1 2xa1 的简图 ， 依题意知应有 2a2 2a，故 a 1 2. 答案： (， 1 2 应用三数形结合思想在解析几何中的应用 典型例题 已知抛物线的方程为x 28y，点 F 是其焦点，点 A(2，4)，在此抛物线上求一点 P，使 APF 的周长最小，此时点P 的坐标为 _ 【解析 】因为 ( 2)20，b0)的左焦点为 F，直线 4x3y200 过点 F 且与双 曲线 C 在第二象限的交点为P，O 为原点， |OP|OF|，则双曲线C 的离心率为 () A5B5 C 5 3 D 5 4 解析： 选 A.根据直线4x3y200与 x 轴的交点F 为(
16、5，0)，可知半焦距c5， 设双曲线C 的右焦点为F2，连接 PF2，根据 |OF2|OF|且|OP| |OF|可得 ，PFF2为直角 三角形 如图 ，过点 O 作 OA 垂直于直线4x 3y200，垂足为 A，则易知 OA 为PFF2的中位 线， 又原点 O 到直线 4x3y200 的距离 d4，所以 |PF2|2d8，|PF| |FF2| 2|PF 2| 2 6，故结合双曲线的定义可知|PF2| |PF|2a2，所以 a1， 故 e c a5.故选 A. 2已知圆 C：(x3) 2 (y4)21 和两点 A(m，0)，B(m，0)(m0)若圆 C 上存在点 P， 使得 APB90，则 m 的最大值为 _ 解析： 根据题意 ，画出示意图
