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1、- 1 - / 5 河北省石家庄市2017 届高三一模考试理科数学试卷（B 卷） 答案 一、选择题 15DDCDB 610ADBDB 1112AB 二、填空题 13 0 nN， 0 2 02 n n 141024 15 1 3 167a 三、解答题 17解： （） sin sinsin Cab ABac ，由正弦定理得 cab abac ， ()()()c acab ab ， 即 222 acbac， 又 222 2cosacbacB， 1 cos 2 B， (0, )B， 3 B （）在ABC中由余弦定理知： 222 (2 )22cos603caac ， 2 (2)93 2acac， 22
2、2() 2 ac ac ， 22 3 (2)9(2) 4 acac，即 2 (2)36ac，当且仅当2ac，即 3 2 a，3c时取等号， 所以2ac的最大值为6 18 （）证明：在ABD中， sinsin ABAD ADBDBA ，由已知60DBA， 2 3AD ，4BA， 解得sin1ADB，所以90ADB，即ADBD，可求得2BD 在SBD中， 2 3SD，4BS，2BD， 222 DBSDBS，SDBD， BD平面SAD，SDADD，BD平面SAD - 2 - / 5 （）过D作直线l垂直于AD，以D为坐标原点，以DA为x轴，以DB为 y轴，以 l为z轴，建立空间直 角坐标系 由（）可
3、知，平面SAD平面ABCD，S在平面ABCD上的投影一定在AD上，过S作SEAD于 E，则3DE，3SE，则(3,0,3)S， 易求(2 3,0,0)A，(0,2,0)B，( 2 3,2,0)C， 则( 3,2,3)SB，(3 3,0,3)SA，(3,2,3)SC， 设平面SBC的法向量 1 ( , , )nx y z， 3230, 3230, xyz xyz 解得 1 (0, 3, 2)n 同理可求得平面SAB的法向量 2 (1, 3,3)n， 12 12 5 35 273 cos 91| |137 nn nn 19解： （）X的可能取值为：0，1，2，3，4 4 6 4 10 15 (0)
4、 210 C P X C ， 13 46 4 10 80 (1) 210 C C P X C ， 22 46 4 10 90 (2) 210 C C P X C ， 31 46 4 10 24 (3) 210 C C P X C ， 4 4 4 10 1 (4) 210 C P X C ， X的分布列为： X0 1 2 3 4 P 15 210 80 210 90 210 24 210 1 210 158090241 ()012341.6 210210210210210 E X （）序号 1 a， 2 a ， 3 a ， 4 a 的排列总数为 4 4 24A种， 当0Y时， 1 1a ， 2
5、2a ， 3 3a ， 4 4a - 3 - / 5 当 1234 |1|2|3|4|2Yaaaa 时，1 a， 2 a ，3 a ，4 a 的取值为1 1a ，2 2a ，3 4a ，4 3a ； 1 1a， 2 3a， 3 2a， 4 4a； 1 2a， 2 1a， 3 3a， 4 4a 故 41 (2) 246 P Y 20解： （）设 (0,)Mm，(0, )Nn，MFNF，可得1mn， 11 | 22 AMFN SAFMNMN， 222 |2| |MNMFNFMFNF，当且仅当 | |MFNF时等号成立 min |2MN ， min 1 ()| 1 2 MFN SMN， 四边形AMF
6、N的面积的最小值为1 （）(2,0)A，(0,)Mm，直线AM的方程为 2 m yxm， 由 22 , 2 22, m yxm xy 得 2222 (1)222(1)0mxm xm， 由 2 2 2(1) 2 1 E m x m ，得 2 2 2(1) 1 E m x m ， 同理可得 2 2 2(1) 1 D n x n ， 1m n， 2 2 1 2 ()1 1 ()1 D m x m 2 2 2(1) , 1 m m 故由可知： ED xx ， 代入椭圆方程可得 22 ED yy MFNF，故M，N分别在x轴两侧， ED yy ， ED ED yy xx ，E，O，D三点共线 - 4 -
7、 / 5 21解： （）函数 ( )f x的定义域为(,1)， 由题意 2 22 ( )2,1 11 axxa fxxx xx ， 2 24( 2)()48aa 若480a，即 1 2 a，则 2 220 xxa恒成立， 则( )f x在(,1)上为单调减函数； 若480a， 即 1 2 a， 方 程 2 220 xxa的 两 根 为 1 112 2 a x， 2 112 2 a x， 当 1 (,)xx 时， ( )0fx ，所以函数 ( )f x 单调递减， 当 1 1 (,) 2 xx 时， ( )0fx ，所以函数 ( )f x 单调递增， 不符合题意 综上，若函数( )f x为定义域
8、上的单调函数，则实数a的取值范围为 1 (,) 2 （）因为函数( )f x有两个极值点，所以( )0fx在1x上有两个不等的实根， 即 2 220 xxa在 1x有两个不等的实根 1 x， 2 x， 于是 1 0 2 a ， 12 12 1, , 2 xx a x x 且满足 1 1 (0,) 2 x， 2 1 (,1) 2 x， 2 11111121 111 222 ()1ln(1)(1)(1)2ln(1) (1)2ln(1) f xxaxxxx xx xxx xxx ， 同理可得 2 222 1 () (1)2ln(1) f x xxx x 12 21112222222 21 ()()
9、2ln(1)2ln(1)212(1)ln2ln(1) f xf x xxxxxxxxxxx xx ， 令( )212(1)ln2 ln(1)g xxxxxx， 1 (,1) 2 x 22 ( )2ln(1) 1 x g xxx xx ， 1 (,1) 2 x， 1 (1) 4 xx ，2ln(1)0 xx， 又 1 (,1) 2 x时， 2 0 1 x xx ，( )0gx ，则( )g x在 1 (,1) 2 x上单调递增， 所以 1 ( )( )0 2 g xg，即 12 21 ()() 0 f xf x xx ，得证 22解： （） 2 2 1 4 x y， 2cos sin x y （
10、为参数） - 5 - / 5 （）设四边形ABCD的周长为l，设点(2cos ,sin)Aqq， 8cos4sinl 21 4 5(cossin )4 5sin() 55 ， 且 1 cos 5 ， 2 sin 5 ， 所以，当 2 2 k（kZ）时，l取最大值， 此时 2 2 k， 所以， 4 2cos2sin 5 ， 1 sincos 5 ， 此时， 41 (,) 55 A， 1 l 的普通方程为 1 4 yx 23解： （）当2a时，函数 34, ( )|24|4,2, 34,2. xaxa f xxxaxaax xax 可知，当2x时， ( )f x 的最小值为 ( 2)21fa ，解得3a （）因为( )|24|(24)() | |4|f xxxaxxaxa， 当且仅当(24)()0 xxa 时，( )|4|f xxa成立， 所以，当2a时，x的取值范围是|2x ax ； 当2a时，x的取值范围是2； 当2a时，x的取值范围是| 2xxa
