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1、课时跟踪练 (四十六 ) A 组基础巩固 1(2019 黄山模拟 )如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩 形，平面 PAD底面 ABCD，且 PAD 是边长的 2 的等边三角形， PC13，M 在 PC 上，且 PA平面 MBD. (1)求证： M 是 PC 的中点； (2)求多面体 PABMD 的体积 (1)证明： 连接 AC 交 BD 于点 E，连接 ME. 因为四边形 ABCD 是矩形，所以 E 是 AC 的中点 又 PA平面 MBD，且 ME 是平面 PAC与平面 MDB 的交线， 所以 PAME，所以 M 是 PC 的中点 (2)解：取 AD 中点 O，连接 OC，P
2、O，则 POAD， 又平面 PAD底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PO ? 平面 PAD，所以 PO平面 ABCD， 因为 OC? 平面 ABCD， 所以 POOC， 在 RtPOC中， PO3， PC13，则 OC133 10，所以 CD1013， 所以 VP-ABCD 1 323 32 3， 由(1)知 M 到平面 ABCD 的距离等于点P 到平面 ABCD 的距离 的一半，为 3 2 ，所以 VMBCD 1 3 1 2 23 3 2 3 2 ， 所以 V多面体 PABMD2 3 3 2 3 3 2 . 2如图，直角三角形ABC 中，A60 ，沿斜边 AC 上的高 BD 将
3、ABD 折起到 PBD 的位置，点 E 在线段 CD 上 (1)求证： PEBD； (2)过点 D 作 DM BC 交 BC 于点 M，点 N 为 PB 的中点，若 PE平面 DMN ，求 DE DC的值 (1)证明： 因为 BDPD，BDCD，且 PDCDD，PD，CD ? 平面 PCD， 所以 BD平面 PCD. 又 PE? 平面 PCD， 所以 BDPE. (2)解：由题意，得 BM1 4BC. 取 BC 的中点 F，连接 PF、EF， 则 PFMN. 又 PF?平面 DMN ，MN? 平面 DMN， 所以 PF平面 DMN. 由条件 PE平面 DMN，PEPFP， 所以平面 PEF平面
4、 DMN，所以 EFDM， 所以 DE DC MF MC 1 3. 3.(2017 全国卷 )如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形， ADCD. (1)证明： ACBD； (2)已知 ACD 是直角三角形， ABBD，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且AEEC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积 比 (1)证明： 取 AC 的中点 O， 连接 DO，BO. 因为 ADCD，所以 ACDO. 又由于 ABC 是正三角形，所以ACBO. 从而 AC平面 DOB， 故 ACBD. (2)解：如图所示，连接EO， 由(1)及题设知 ADC90 ，所以 DOAO. 在 R
5、tAOB 中，BO2AO2AB2. 又 ABBD，所以 BO2DO2BO2AO2AB2BD2， 故DOB90 . 由题设知 AEC 为直角三角形，所以EO 1 2AC. 又ABC 是正三角形，且ABBD，所以 EO1 2BD. 故 E 为 BD 的中点， 从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的 1 2，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 1 2，即四 面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积之比为11. 4(2019 北京模拟 )如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是 矩形， PAPD，PAAB，N 是棱 AD 的中点 (1)求证：平
6、面 PAB平面 PAD. (2)求证： PN平面 ABCD. (3)在棱 BC 上是否存在动点E，使得 BN平面 DEP？并说明理 由 (1)证明： 在矩形 ABCD 中，ABAD. 又因为 ABPA且 PAADA， 所以 AB平面 PAD. 又因为 AB? 平面 PAB， 所以平面 PAB平面 PAD. (2)证明： 在PAD 中，PAPD，N 是棱 AD 的中点，所以PN AD.由(1)知 AB平面 PAD，所以 ABPN. 又因为 ABADA，所以 PN平面 ABCD. (3)解：在棱 BC 上存在点 E，使得 BN平面 DEP，此时 E 为 BC 的中点 证明如下： 取 BC 中点 E
7、，连接 PE，DE. 在矩形 ABCD 中，NDBE，NDBE. 所以四边形 BNDE 是平行四边形，则BNDE. 又因为 BN?平面 DEP，DE? 平面 DEP. 所以 BN平面 DEP. B 组素养提升 5(2019 郑州模拟 )在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形，且DAB60 ，EAEDAB2EF2，EFAB， M 为 BC 中点 (1)求证： FM 平面 BDE； (2)若平面 ADE平面 ABCD，求 F 到平面 BDE 的距离 (1)证明： 取 BD 中点 O，连接 OM，OE， 因为 O，M 分别为 BD，BC 中点， 所以 OMCD，且 OM 1 2
8、CD， 因为四边形 ABCD 为菱形， 所以 CDAB，因为 EFAB， 所以 CDEF，又 ABCD2EF2，所以 EF 1 2CD. 所以 OMEF，且 OMEF， 所以四边形 OMFE 为平行四边形， 所以 FM OE. 又 OE? 平面 BDE 且 FM?平面 BDE，所以 FM 平面 BDE. (2)解：由(1)得 FM 平面 BDE， 所以 F 到平面 BDE 的距离等于 M 到平面 BDE 的距离 取 AD 的中点 H，连接 EH，BH， 因为 EAED，所以 EHAD， 因为平面 ADE平面 ABCD， 平面 ADE平面 ABCDAD， 所以 EH平面 ABCD，因为 BH?
9、平面 ABCD，所以 EHBH. 因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ABAD2， 又BAD60 ，所以 ABD 是等边三角形， 所以 BH3.易得 EH3. 在 RtEHB 中，因为 EHBH3， 所以 BE6， 由已知，知 ABD 是等边三角形，所以BDABED2，所 以BDE 中斜边 BE 上的高为22 10 2 2， 所以 SBDE 1 2 6 22 6 2 2 15 2 ， 设 F 到平面 BDE 的距离为 h， 连接 DM， 因为 SBDM1 2 3 4 4 3 2 ， 所以由 VEBDMVMBDE，得 1 3 3 3 2 1 3h 15 2 ， 解得 h 15 5 . 即 F 到
10、平面 BDE 的距离为 15 5 . 6.(2018 天津卷 )如图，在四面体ABCD 中，ABC 是等边三角 形， 平面 ABC平面 ABD， 点 M 为棱 AB 的中点，AB2， AD2 3， BAD90 . (1)求证： ADBC； (2)求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值； (3)求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值 (1)证明：由平面 ABC平面 ABD，平面 ABC平面 ABDAB， ADAB，可得 AD平面 ABC，故 ADBC. (2)解：取棱 AC 的中点 N，连接 MN ，ND. 又因为 M 为棱 AB 的中点，所以 MNBC. 所以 DMN (或其补角 )
11、为异面直线 BC 与 MD 所成的角 在 RtDAN 中，AM1，故 DM AD 2AM2 13. 因为 AD平面 ABC，所以 ADAC. 在 RtDAM 中，AN1，故 DNAD2AN213. 在等腰三角形 DMN 中，MN1， 可得 cos DMN 1 2MN DM 13 26 . 所以，异面直线BC 与 MD 所成角的余弦值为 13 26 . (3)解：连接 CM.因为 ABC 为等边三角形， M 为边 AB 的中点， 故 CMAB，CM3. 又因为平面 ABC平面 ABD， 而 CM? 平面 ABC，故 CM平面 ABD， 所以， CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角 在 RtCAD 中，CDAC2AD24. 在 RtCMD 中，sinCDM CM CD 3 4 . 所以，直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 3 4 .
