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1、2.2 对数函数 知识导学 一般地 , 对于一个数a(a0 且 a1), 如果 a 的 b 次幂等于 N, 即 a b=N,那么就称 b 是以 a 为底的 N的对数 , 记作 logaN=b,其中 ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数 . 在实际应用中,一定要注意指数式与对数式的等价性, 即 logaN=ba b=N. 对数的运算性质就是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算. 一般地 , 我们称 logaN= a N b b log log 为对数的换底公式. 换底公式是对数中一个非常重要的公 式, 这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一, 是对数的运算性质. 对数运算性 质
2、应用的前提是式子中对数的底相同. 若底不同则需要利用换底公式化为底相同的. 我们在 应用换底公式时, 一方面要证明它和它的几个推论; 另一方面要结合构成式子的各对数的特 点选择一个恰当的数作为对数的底, 不要盲目地换底, 以简化我们的解题过程. 有了对数的概念后, 要求 log0.840.5 的值 ,我们需要引入两个常用的对数: 常用对数和自 然对数 . 常用对数是指以10 为底的对数 ; 自然对数是指以e(e=2.718 28 ,是一个无理数) 为 底的对数 . 有了常用对数和自然对数, 再利用对数的运算性质, 我们就可以求log0.840.5的值了 . 对数恒等式 : N a a log
3、=N的证明也很简单, 只要紧扣对数式的定义即可证明. a b=N,b=log aN. a b=N a a log =N, 即 N a a log =N. 如 5log3 3=5, 6log4 4=6 等. 要熟记对数恒等式的形式,会使用这一公式化简对数式. 作对数函数的图象一般有两种方法:一是描点法 , 即通过列表、 描点、 连线的方法作出对 数函数的图象 ; 二是通过观察它和指数函数图象之间的关系, 并利用它们之间的关系作图. 比较大小是对数函数性质应用的常见题型. 当底数相同时, 可利用对数函数的性质比较; 当底数和指数不同时, 要借助于中间量进行比较. 比较两个对数式的大小, 底相同时
4、, 可利用 对数性质进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1 等进行比较 . 对数函数 y=logax(a0 且 a1)与指数函数y=a x (a0 且 a1)互为反函数 , 这两个函数的 图象关于直线y=x 对称 . 因此 ,我们只要画出和y=a x 的图象关于直线y=x 对称的曲线 , 就可以得到y=logax 的图象 , 然后根据图象特征得出对数函数的性质. 疑难导析 通过将对数函数与指数函数的图象进行对比, 可以发现 : 当 a1 或 0a0, 且 a1; 对数函数的定义域为(0,+ ), 结合图象看 ,对数函 数在 y 轴左侧没有图象, 即负数与0 没有对数 , 也就是真数必
5、须大于0. 这些知识可以用来求 含有对数函数的定义域. 性质靠图象体现, 图象靠性质总结. 数形结合不仅是我们研究函数的一个重要工具,同时也是我们在解题时的常用方法. 借 助图形的形象直观, 可以迅速准确地得到相关问题的答案, 尤其是选择题, 能结合图象来思考, 会事半功倍 . 问题导思 对数换底公式口诀: 换底公式真神奇, 换成新底可任意, 原底加底变分母, 真数加底变分子. 对数函数的运算性质的助记口诀: 积的对数变加法, 商的对数变为减, 幂的乘方取对数, 要把指数提到前. 对数函数 y=logax(a0 且 a1) 的性质的助记口诀: 对数增减有思路, 函数图象看底数, 底数只能大于0
6、, 等于 1 来也不行 , 底数若是大于1, 图象从下往上增; 底数 0 到 1 之间 , 图象从上往下减. 无论函数增和减, 图象都过 (1,0)点. 比较两个对数型的数的大小是一种常见的题型, 好好把握 . 两个同底数的对数比较大小的一般步骤: 确定所要考查的对数函数; 根据对数底数判断对数函数增减性; 比较真数大小, 然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小. 对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于 1. 而已知条件并未指明, 因此需 要对底数a 进行讨论 , 体现了分类讨论的思想, 要求学生逐步掌握. 典题导考 绿色通道 利用数形结合的方法可以快速地比较两个对数的大小, 有
7、时也可以画出函数的略图. 由此可 见, 学会一种思考方法比解决一道题目更重要. 典题变式比较下列各组数中两个值的大小: (1)log23.4,log28.5; (2)log0.31.8,log0.32.7; (3)loga5.1,loga5.9(a0,a1). 答案 : (1)log23.4log0.32.7; (3) 当 a1 时 ,log a5.1loga5.9; 当 0aloga5.9. 绿色通道 本题的求解中 , 分解化简和方程思想的运用在处理很多问题中具有一般性. 典题变式 1. 已知 3 a=2, 用 a 表示 log 34-log36. 答案 : a-1. 2. 已知 log32
8、=a,3 b=5, 用 a、b 表示 log 330. 答案 : 2 1 (a+b+1). 绿色通道 研究函数的性质一定得先考虑定义域, 在研究函数单调性时, 注意奇偶性对函数单调性的影 响, 即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性; 奇函数在关于原点对称的区间上 具有相同的单调性. 典题变式 1. 已知函数f(x)=lg(x 2-3x+2) 的定义域为 F,函数 g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为G,那么 ( ) A.GF B.G=F C.FG D.FG= 答案 : A 2. 求函数 y= 3 1 log(-x 2+4x+5) 的定义域和值域 . 答案 : 函数的定义
9、域为x|-1x0 且 a1). (1) 求函数的定义域; (2) 讨论函数的单调性; (3) 求使 f(x)0的 x 的取值范围 . 解答 : (1) 定义域为 (-1,1). (2) 当 a1 时 ,f(x)为(-1,1)上的增函数 ; 当 0a1 时 ,f(x)0的解为 (0,1); 当 0a0的解为 (-1,0). 绿色通道 画函数图象是研究函数变化规律的重要手段, 画函数图象通常有两种方法: 列表法和变换法. 变换法有如下几种: 平移变换:y=f(x+a),将y=f(x)的图象向左(a0) 或向右 (a0) 或向下 (a0),将 y=f(x)图象上各点的横坐标压缩(a1) 或伸长 (0a0),将 y=f(x)图象上各点的横坐标不变, 纵坐标压缩 (0a1) 到原来的a倍 . 典题变式 若 loga2logb20, 则 a、b 满足的关系是 ( ) A.1ab B.1ba C.0ab1 D.0ba 2 1 ; (2)0a 2 1 .
