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1、课后限时集训 48 立体几何中的翻折、探究性、最值问题 建议用时： 45 分钟 一、选择题 1(2019乐山模拟) 已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1,1,1,1，2，a，且长为a 的棱与长为2的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为 ( ) A. 2 12 B. 3 12 C. 2 6 D. 3 6 A 如图所示，三棱锥A-BCD中，ADa，BC2，ABAC BDCD1，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将BCD看作底 面，则当平面ABC平面BCD时，该三棱锥的体积有最大值，此时 三棱锥的高h 2 2 ，BCD是等腰直角三角形，则SBCD 1 2，综上 可得，三棱锥的体积的最大值为 1
2、3 1 2 2 2 2 12 . 故选 A. 2. 如图，矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE 沿直线DE翻转成A1DE(A1?平面ABCD) ，若M，O分别为线段A1C， DE的中点，则在ADE翻转过程中，下列说法错误的是( ) A与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直 B异面直线BM与A1E所成角是定值 C一定存在某个位置，使DEMO D三棱锥A1-ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值 C 取DC的中点N，连接MN，NB，则MNA1D，NBDE，平 面MNB平面A1DE，MB平面A1DE，故 A正确； 取A1D的中点F，连接MF，EF，则四边形EFMB为平行四边形，
3、则A1EF为异面直线BM与A1E所成角，故B正确； 点A关于直线DE的对称点为N，则DE平面AA1N，即过O与DE垂直的直线在平面AA1N 上，故 C错误； 三棱锥A1-ADE外接球半径为 2 2 AD，故 D正确 二、填空题 3 (2019荆门一模) 如图，在直角梯形ABCD中，ABBC， ADBC，ABBC1 2AD 1，点E是线段CD上异于点C，D的动 点，EFAD于点F，将DEF沿EF折起到PEF的位置， 并使 PFAF，则五棱锥P-ABCEF的体积的取值范围为_ 0， 1 3 PFAF，PFEF，AFEFF， PF平面ABCD. 设PFx，则 0x1，且EFDFx. 五边形ABCEF
4、的面积为 SS梯形 ABCD-S DEF 1 2( )12 1 1 2x 2 1 2( )3x 2 . 五棱锥P-ABCEF的体积 V 1 3 1 2(3 x 2) x1 6(3 xx 3) ， 设f(x) 1 6(3 xx 3) ，则 f(x) 1 6(33x 2) 1 2(1 x 2) ， 当 0x0， f(x) 在(0,1) 上单调递增， 又f(0) 0，f(1) 1 3. 五棱锥P-ABCEF的体积的范围是 0， 1 3 . 4(2019柳州模拟) 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB 3 cm，BC2 cm，AA12 cm， E为CC1的中点，则一质点自点A出发，沿着长方体的
5、表面到达点E的最短路线的长为 _cm. 32 将长方体沿C1C, C1B1, BC剪开， 使面ABB1A1和面BCC1B1 在同一个平面内，连接AE，如图 在 RtACE中，AC5，CE1，由勾股定理，得AE 2 AC 2 CE 226，则 AE26. 将长方体沿C1D1, DD1, C1C剪开，使面ABCD和面CDD 1C1在同一个平面 内，连接AE，如图， 在 RtABE中，AB3，BE3, 由勾股定理，得AE 2 AB 2 BE 23232 32. 将长方体沿B1C1, CC1, BB1剪开，使面ABCD和面BCC1B1在同一个平面内，连接AE， 在 RtADE中，DE 4，AD 2，由
6、勾股定理，得AE 2 AD 2 DE 2 20，则AE25. 综上可知，故沿着长方体的表面到达点E的最短路线的长为32 cm. 三、解答题 5(2019湖南六校联考) 如图，梯形EFBC中，ECFB，EFBF，BF 2 3EC 4，EF 2， A是BF的中点，ADEC，D在EC上，将四边形AFED沿AD折起，使得平面AFED平面ABCD， 点M是线段EC上异于E，C的任意一点 (1) 当点M是EC的中点时，求证：BM平面AFED； (2) 当平面BDM与平面ABF所成的锐二面角的正弦值为 30 6 时，求三棱锥E-BDM的体积 解 (1) 法一： ( 几何法 ) 取ED的中点N，连接MN，AN
7、，点M是EC的中点，MN DC， 且MN 1 2DC ， 而ABDC，且AB 1 2DC ， MN綊AB，即四边形ABMN是平行四边形， BMAN，又BM平面AFED，AN平面AFED， BM平面AFED. 法二： ( 坐标法 ) ADCD，ADED， 平面AFED平面ABCD，平面AFED平面ABCDAD， DA，DC，DE两两垂直 以DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所 示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)， M(0,2,1)， BM ( 2,0,1) ， 又平面AFED的一个法向量DC (0,4,
8、0)， BM DC 0，BM DC ， 又BM平面AFED，BM平面AFED. (2) 依题意设点M0，t，2 t 2 (0 t 4) ， 设平面BDM的法向量n1(x，y，z) ， 则DB n12x2y0，DM n1ty 2t 2 z0， 令y 1，则n1 1， 1， 2t 4t ， 取平面ABF的一个法向量n2 (1,0,0)， |cos n1，n2| | n1n2| |n1|n2| 1 2 4t 2 4t 2 6 6 ， 解得t2. M(0,2,1)为EC的中点，SDEM1 2S CDE2， 又点B到平面DEM的距离h2， VE-BDMVB-DEM1 3 SDEMh 4 3. 6. 如图
9、所示，在梯形ABCD中，ABCD，BCD120，四边形ACFE 为矩形，且CF平面ABCD，ADCDBCCF. (1) 求证：EF平面BCF； (2) 点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面 FCB所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值 解 (1) 证明：设ADCDBC1， ABCD，BCD120，AB2， AC 2 AB 2 BC 2 2AB BCcos 60 3， AB 2 AC 2 BC 2，则 BCAC. CF平面ABCD，AC平面ABCD， ACCF，而CFBCC，CF，BC平面BCF， AC平面BCF. EFAC，EF平面BCF. (2) 以C为坐标原点，分
10、别以直线CA，CB，CF为x轴、y轴、 z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设FM(0 3) ， 则C(0,0,0)，A(3， 0,0) ，B(0,1,0)，M(，0,1) ， AB ( 3，1,0) ，BM ( ， 1,1) 设n(x，y，z) 为平面MAB的法向量， 由 nAB 0， nBM 0， 得 3xy0， xyz0， 取x1，则n(1，3，3) 易知m(1,0,0)是平面FCB的一个法向量， cosn，m nm |n|m| 1 133 2 1 3 24. 03，当0 时， cosn，m取得最小值 7 7 ， 当点M与点F重合时， 平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，此时二面角
11、的余弦 值为 7 7 . 1(2019河南郑州三测) 如图甲，ABC中，ABBC2，ABC90，E，F分别为 边AB，AC的中点， 以EF为折痕把AEF折起，使点A到达点P的位置 ( 如图乙 ) ，且PBBE. 甲乙 (1) 证明：EF平面PBE； (2) 设N为线段PF上的动点 ( 包含端点 )，求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大 值 解 (1) 因为E，F分别为边AB，AC的中点，所以EFBC. 因为ABC90，所以EFBE，EFPE，又BEPEE，所以EF平面PBE. (2) 取BE的中点O，连接PO，因为PBBEPE，所以POBE. 由(1) 知EF平面PBE，EF平面BCFE
12、，所以平面PBE平面BCFE. 又PO平面PBE，平面PBE平面BCFEBE，所以PO平面BCFE. 过点O作OMBC交CF于点M，分别以OB，OM，OP所在直线为x 轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则B 1 2，0， 0 ，P 0， 0， 3 2 ，C 1 2，2，0 ， F 1 2，1，0 ，PC 1 2，2， 3 2 ，PF 1 2，1， 3 2 ， 由N为线段PF上一动点，得PN PF (0 1) ， 则可得N 2 ， 3 2 1，BN 1 2 ， 3 2 1. 设平面PCF 的法向量为m(x，y，z) ， 则 PC m0， PF m0， 即 1 2x2y 3 2 z 0
13、， 1 2x y 3 2 z0， 取y 1，则x 1，z3，所以 m( 1,1 ，3) 为平面PCF的一个法向量设直线BN与平面PCF所成的角为， 则 sin |cos BN ， m| |BN m| |BN | |m| 2 52 2 1 2 52 1 4 27 8 2 5 7 8 470 35 ( 当且仅当1 4时取等号 ) ， 所以直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值为 470 35 . 2. 在直角三角形ABC中，C90，AC4，BC 2，E是AC 的中点，F是线段AB上一个动点，且AF AB (01) ，如图所 示， 沿BE将CEB翻折至DEB的位置，使得平面DEB平面ABE. (
14、1) 当 1 3时，证明： BD平面DEF. (2) 是否存在，使得DF与平面ADE所成角的正弦值为 2 3 ？若存在， 求出的值； 若 不存在，请说明理由 解 (1) 证明：在ABC中，C90，即ACBC，则BD DE. 取BF的中点N，连接CN交BE于M，当 1 3时， F是AN的 中点，而E是AC的中点，所以EF是ANC的中位线，所以EF CN， 在BEF中，N是BF的中点，所以M是BE的中点， 在 RtBCE中，ECBC2，所以CMBE，则EFBE， 又平面DEB平面ABE，平面DBE平面ABEBE， 所以EF平面DBE，因为BD平面DBE，所以EFBD. 而EFDEE，所以BD平面D
15、EF. (2) 连接DM. 以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立如图所示 的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,2,0)，E(2,0,0)，由 (1) 知M是BE的中 点，DMBE，又平面DEB平面ABE，所以DM平面ABE，则D(1,1 ，2) 假设存在满足题意的，则由AF AB ，可得F(4 4，2，0) ， 则DF (3 4，21，2) ，AE ( 2,0,0)，AD ( 3，1，2) ，设平面ADE 的一个法向量为n(x，y，z) ， 则 nAE 0， nAD 0， 即 2x0， 3xy2z0， 令y2，可得x0，z 1，即n (0，2
16、， 1) 设DF与平面ADE所成的角为，则 sin |DF n| |DF | |n| |2212| 334 2 21 2 2 2 2 3 ， 解得 1 2或 3(舍去 ) 综上可知，存在 1 2，使得 DF与平面ADE所成角的正弦值为 2 3 . (2019长沙一模 ) 已知三棱锥P-ABC( 如图 1)的平面展开图( 如图 2) 中，四边形ABCD为 边长等于2的正方形，ABE和BCF均为正三角形，在三棱锥P-ABC中； 图 1 图 2 (1) 证明：平面PAC平面ABC； (2) 若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角P-BC-M 的余弦值 解 (1) 证明：三棱锥P-ABC( 如图 1) 的平面展开图 ( 如图 2)中， 四边形ABCD为边长等于2的正方形，ABE和BCF均为正三角
