《线性方程组解的结构》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性方程组解的结构（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1线性方程组解的结构我们在第一节讨论了线性方程组的解的情况，现在进一步研究它的解的结构。一、齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组的矩阵形式为AX=0(1)其中 , 。nmijaA)(nxX21齐次线性方程组(1)的解有下列性质：(1) 如果 是齐次线性方程组(1)的两个解，则 也是它的解。21,X 21X证：因为 是齐次线性方程组(1)的两个解，因此有：, 01A2得： 0)(21 XX所以 也是齐次线性方程组(1)的解。(2) 如果 是齐次线性方程组(1)的解，则 也是它的解。 （ 是常数）0 0XC C证：已知 是齐次线性方程组(1)的解，所以有0X0A从而 0)()(0CAC即 也是齐次
2、线性方程组(1)的解。0由性质(1),(2)可得：(3)如果 都是齐次线性方程组(1)的解，则其线性组合sX,21也是它的解。其中 都是任意常数。sCXC21 sC,21当一个齐次线性方程组有非零解，即它有无穷多解，这无穷多解构成了一个向量组（称为解向量组） 。若我们能求出这解向量组的一个极大线性无关组，那么就能用它的线性组合表示这个齐次线性方程组的全部解。2定义 1：如果 是齐次线性方程组(1)的解向量组的一个极大线性s,21无关组，则称 是齐次线性方程组(1)的一个基础解系。s定理 1：如果齐次线性方程组(1)的系数矩阵 A 的秩 ，则齐次线nr)(性方程组的基础解系一定存在，且每个基础解
3、系中恰恰含有 个解。证：因为 ，所以齐次线性方程组有无穷多解，且齐次线性方程组的nrA)(一般解为：（1）nrrrr rr nxKxKx 21222111其中 为自由未知量。对 n-r 个自由未知量分别取nr,21 10,代入(1)可得齐次线性方程组的 n-r 个解： 10,01,01 21221212 rnnrnrrrr KKK下面证明 是齐次线性方程组的一个基础解系，首先证明rn,21线性无关。因为向量组 是线性无关，则由上节所证rn,21 10,明的性质得 线性无关。rn,213再证齐次线性方程组的任意一个解 都可由 线性表示。ndX21 rn,21因为 是齐次线性方程组的解，所以满足(
4、1)式：ndX21nrrrr rr ndKdKd 2122 12111从而 nrr nrrrr dddX 212212 1 10010121221212 rnrrrrrr KdKddrnrr dd21即 是 的线性组合，所以 是齐次线性方程组的一个Xrn, rn,21基础解系，因此齐次线性方程组的全部解为：rnCCX214式中 为任意常数。rnC,21例 1：求齐次线性方程组 的一个基础解系，并用此基017842633524321xx础解系表示它的全部解。解： 1784352178421578463352A 005501因为 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为42)(Ar，原方程组
5、与方程组 同解42,x0572431xx对自由未知量分别取 = ，代入上式得到齐次线性方程组的一个基42x0,础解系为： 1,07521则齐次线性方程组的全部解为：（ 为任意常数）21CX21,例 2：求齐次线性方程组 的一个基础解系。04321xx解： 4310430121A因为 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为 ，43)(r 4x5原方程组与方程组 同解 04321x取自由未知量 =1，代入上式得齐次线性方程组的一个基础解系为：4xT1,3例 3：求齐次线性方程组 的一个基础解系。024431xx解： 0124A因为 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为)(r，原方
6、程组与方程组 同解32,x02431x对自由未知量为 分别取 和 ，代入上式得到方程组的一个基础解系32,x为： 和T0,11T0,12二、非齐次线性方程组解的结构：非齐次线性方程组可表示为 AX=b，称齐次线性方程组 AX=0 为非齐次线性方程组 AX=b 的导出组。下面讨论非齐次线性方程组的解和它的导出组解之间关系。(1) 如果 是非齐次线性方程组 AX=b 的解， 是其导出组 AX=0 的一个解，则 是非齐次线性方程组 AX=b 的解。证：由已知得 0,Ab所以有 b)(即 是非齐次线性方程组 的解。x6(2)如果 是非齐次线性方程组 AX=b 的两个解，则 是其导出组21, 21AX=
7、0 的解。证：由 得：bA21,( 0)2121 bA即 是其导出组 AX=0 的解。2定理 2：如果 是非齐次线性方程组的一个特解， 是其导出组的全部解，0 则 是非齐次线性方程组的全部解。0由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解可表示为：rnCC210其中 是非齐次线性方程组的一个特解， 是导出组的一个基础解0 rn,21系。例 4：求非齐次线性方程组 的解，用其导出组的基础解1224431xx系表示其全部解。解： 00112124A因为 ，所以非齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知4)(r量为 ，原方程组与方程组 同解32,x0124
8、431x取自由未知量 ，代入上式得非齐次方程组的一个特解为：032x 021再求其导出组的基础解系，其导出组与方程组 同解02431x7对自由未知量为 分别取 ，代入上式得到其导出组的一个基础解系32,x10,为： 01,21则原方程组的全部解为：（ 为任意常数）021CX21,C例 5：求非齐次线性方程组 的解，用其导出组的基549313643215421xx础解系表示其全部解。解： 4215035149321036A005因为 ，所以非齐次线性方程组有无穷多组解，取自由未52)(Ar知量为 ，原方程组与方程组 同解542,x425335421xx取自由未知量 为 ，得原方程组的一个特解：
9、542,0 T0,50再求其导出组的基础解系，其导出组与方程组 同解2535421xx8对自由未知量 分别取 ，代入上式得到其导出组的一个542,x10,基础解系为： 10,0135235172则原方程组的全部解为： 0321CX练习：求解非齐次线性方程组： 6941854zyxz解： 6914328369142835A005147028 021因为 ，所以方程组有无穷多组解，取 为自由未知3)(Ar z量。得特解： 和基础解系： 。T,20T1,2即得方程组的全部解为： 。X0k例 6：已知 是齐次线性方程组 AX0 的一个基础解系，证明321, ,21也是齐次线性方程组 AX0 的一个基础
10、解系。321证：由已知可得：齐次线性方程组 AX0 的基础解系含有 3 个解向量，并且由齐次线性方程组解的性质可知 都是 AX0 的解；因此只要32121,证明 线性无关即可。32121,设存在数 使k90)()(32132121 kk成立。整理得：（1）)()( 32321321已知 是齐次线性方程组 AX0 的一个基础解系，即得 线性无关，321, 321,则由(1)得 ，解得：32k0321k所以 线性无关。即 也是齐次线性方程2121, 32121,组 AX0 的一个基础解系。例 7：设矩阵 A 。证：AB0 的充分必要条件是矩阵 B 的每snijnmijbBa,一列向量都是齐次方程组
11、 AX=0 的解。证：把矩阵 B 按列分块： ，其中 是矩阵 B 的第 i 列向量s,21 i，零矩阵也按列分块),21(si ssmO,21则 sAA,21必要性：AB0 可得： ，即 是齐次方程组 AX=0 的解。),1(,siOBii iB充分性：矩阵 B 的每一列向量都是齐次方程组 AX=0 的解，即有),21(,siOAii 得： ，即证。sBA,21s,例 8：设 是四元非齐次线性方程组 AXb 的三个解向量，且矩阵 A 的秩321,为 3， ，求 AXb 的通解。TT 3,21,0,432解：因为 A 的秩为 3，则 AX0 的基础解系含有 431 个解向量。由线性方程组解的性质得： 是 AX0 的解，)()(12132 则解得 AX0 的一个非零解为： 。T5,由此可得 AXb 的通解为： 。Tc434,
