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1、4.5 标准正交基与正交矩阵,黄凤英,信息科学与计算学院,内积的定义,主要内容,内积的性质,向量的长度和夹角,正交向量组的性质,正交基与规范正交基,正交矩阵,正交变换,定义1 设有 n 维向量,令 x, y = x1y1 + x2y2 + + xnyn , x, y 称为向,量 x 与 y 的内积.,一、内积的定义,内积是向量的一种运算，运算结果是一个实数,阵记号表示.,x 与 y 都是列向量，有,x, y = xTy = yTx .,这种运算也可用矩,例如：,（1） x, y = y, x; （2） x, y = x, y; （3） x + y, z = x, z + y, z; （4） x
2、, x 0, 且当 x 0 时有 x, x 0.,下列性质：,二、内积的性质,设 x, y, z 为 n 维向量， 为实数，则内积有,在解析几何中，我们曾引进向量的数量积,度和夹角.,广.,并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长,念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推,维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概,所以 n 维向量的内积是数量积的一种推广.,但 n,( x1, x2, x3 ) (y1, y2 , y3 ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 .,且在直角坐标系中，有,x y = |x| |y| cos ,三、向量的长度和夹角,1. 长度的定义 定义2 令,|
3、x | 称为 n 维向量 x 的长度 ( 或模 ).,当 | x | = 1 时, 称 x 为单位向量.,(1) 非负性 当 x 0 时, | x | 0; 当 x = 0 时, | x | = 0. (2) 齐次性 | x | = | | x | ; (3) 三角不等式 | x + y | | x | + | y |.,是一个单位向量，称这,当 x 0 时，,一运算为将向量x标准化或单位化。,向量的长度具有下列性质:,2. 长度的性质,例如：单位化x,3. 向量的夹角 向量的内积满足施瓦茨不等式 x, y 2 x, x y, y , 由此可得,(当 | x | | y | 0 时),令,于是
4、有下面的定义: 定义 当 | x | 0, | y | 0 时,称为 n 维向量 x 与 y 的夹角.,量正交.,x = 0, 则 x 与任何向量都正交, 即零向量与任何向,当 x, y = 0 时, 称向量 x 与 y 正交.,显然,若,讲解书例1,1. 正交向量组的定义 定义 若非零向量组a1 , a2 , , am两两正交,即 ai , aj=aiTaj=0 (ij; i,j=1,2,.m),两两正交的非零向量, 则 a1 , a2 , , am线性无关.,定理 1 若 n 维向量 a1 , a2 , , am是一组,则向量组称为正交向量组.若每个向量为单位向量，,四、正交向量组的性质,
5、称此正交向量组为单位正交向量组。,1. 定义 设 a1 , a2 , , an 是,a2 , , an 是 Rn 的一个标准正交基.,如果 a1 , a2 , , an 为单位正交向量组，则称 a1,五、正交基与标准正交基,Rn 的一个基,2. 标准正交基的求法 设 a1 , a2 , , ar 是向量空间 V 的一个基, 要,正交化:,我们可以用以下方法把 a1 , a2 , , ar 规范, , ar 这个基标准正交化.,a1 , a2 , , ar 等价. 这样一个问题, 称为把 a1 , a2 ,正交的单位向量 1 , 2 , , r , 使 1 , 2 , , r 与,求 V 的一个
6、标准正交基.,也就是要找一组两两,x,x,x,x,x,x,取 b1 = a1 ;,容易验证 b1 , , br 两两正交, 且 b1 , , br 与,然后只要把它们单位化, 即取,a1 , , ar 等价.,就得 V 的一个标准正交基.,bk 与 a1 , , ak 等价.,等价, 还满足对任何 k (1 k r), 向量组 b1 , ,正交化过程.,它不仅满足 b1 , , br 与 a1, , ar,向量组 b1 , , br 的过程称为施密特(Schimidt),上述从线性无关向量组 a1 , , ar 导出正交,综上所述, 求向量空间 V 的一个标准正交基,的 一个标准正交基.,步骤
7、 3 : 把 正交基 b1 , , br 单位化即得 V,正交化, 得正交基 b1 , , br ;,步骤 2 : 用施密特正交化过程把 a1 , , ar,步骤 1 : 求 V 的任意一个基 a1 , , ar;,可归为以下三步:,例 4 设,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.,例 5 已知R3中两个向量,求a3，使得a1 , a2 , a3为R3的一组正交基，并求与之等价的标准正交基。,例 6 已知,求一组非零向量,a2 , a3 ，使 a1 , a2 , a3 两两正交.,定义 4 设 A 为 n 阶实矩阵, 且 ATA = E ,都是正交矩阵.,则称 A 为正交矩阵.,例如,六、正交矩阵,2. 正交矩阵的性质 (1) 若矩阵 A 为正交矩阵, 则,行(列)向量组是两两正交的单位向量组.,定理2 实矩阵 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的,AT = A-1 ;,(2) 实矩阵 A 为正交矩阵的充要条件是,|A| = ;,定义 5 若 P 为正交矩阵，则线性变换,设 y = Px 为正交变换，则有,y = Px 称为正交变换.,| y | = | x | 说明经正交变换线段长度保持不变，,七、正交变换,
