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1、概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第163 页 题 目 与 课 时 第四章随机变量的数字特征问题内容习题课 课时： 2 教 学 目 的 (1) 熟练计算离散型随机变量的数字特征问题； (2) 熟练计算连续型随机变量的数字特征问题； (3) 会计算随机变量函数的数字特征问题. 内 容 离散型随机变量、连续型随机变量的数字特征问题. 教 学 重 点 解 决 办 法 加强离散型随机变量、连续型随机变量的数字特征问题的理 论与方法的讲评，加大例题讲解力度，布置作业训练与巩固. 内 容 随机变量函数的数字特征问题. 教 学 难 点 解 决 办 法 讲情随
2、机变量函数的数字特征计算公式，加大例题讲解力 度. 教 学 辅 助 利用多媒体课件，板书配合分析 习 题 布 置 P128：A 组： 2、5、 6、9、10. P129：B 组： 1、2、 5、7、8、9. 参 考 文 献 1 郑一 ,王玉敏 ,冯宝成 . 概率论与数理统计. 大连理工大学出版社， 2015 年 8 月. 2 郑一 ,戚云松 ,王玉敏 . 概率论与数理统计学习指导书. 大连理工大学 出版社， 2015 年 8 月. 3 郑一 ,戚云松 ,陈倩华 ,陈健 . 光盘：概率论与数理统计教案、作业册与 考试试卷及答案、数学实验视频. 大连理工大学出版社，2015 年 8 月 . 4 王
3、玉敏 ,郑一 ,林强 . 概率论与数理统计教学实验教材. 中国科学技术 出版社， 2007 年 7 月. 联系方式： 概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第164 页 教 学 内 容 教学笔记 内 容 简 介 我们归纳了第四章的概念、理论与方法等内容，并对关键而又容易 出错的地方作了讲评 . 分三块讲解，一是“主要内容归纳”，二是“例 题分类解析” ，三是“学习与研究方法”总结. 在“例题分类解析”部 分，讲解了： 1. 直接按定义计算随机变量的数学期望；2. 利用数学期 望的性质及常见分布的期望进行计算. 3. 直接按定义计算随机变量的 方差；
4、 4. 利用方差的性质及常见分布的数字特征进行计算；5. 对较复 杂的随机变量进行分解，化为简单随机变量之和进行计算； 6. 一维随 机变量函数的数字特征；7. 二维随机变量及其函数的数字特征；8. 相 关性与独立性问题； 9. 有关数字特征的证明问题. 预 备 知 识 随机变量的数学期望的定义及其性质，方差及其性质，相关系数. 第一节内容归纳与例题分类解析 一、主要内容归纳 1. 一维随机变量的数学期望 表 4-1 一维随机变量的数学期望 离 散 型 随 机 变 量 (1) 若X的分布律为, 2, 1,ipxXP ii , 则 1 )( i ii pxXE. (2) 若随机变量函数为 )(X
5、gY , 则 1 )()( i ii pxgYE. 连 续 型 随 机 变 量 (1) 若X的概率密度为)(xf, 则()( )E Xxf x dx. (2) 若随机变量函数为)(XgY, 则( )( )( )E Yg x f x dx. 数 学 期 望 性 质 (1) CCE)(C为常数); (2) )()(XCECXE; (3) CXECXE)()( ; (4) )()()(YEXEYXE; (5) 若 X 与 Y 相互独立 , 则)()()(YEXEXYE. 讲评要注意掌握上面随机变量函数)(XgY的数学期望的计算公式 )()(XgEYE. 这个公式的作用在于, 当我们求函数期望)(YE
6、时, 不必求 函数)(XgY的分布律或概率密度. 要特别注意性质(5)的独立性前提条件. 2. 一维随机变量的方差 概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第165 页 表 4-2 一维随机变量的方差 离 散 型 若 X的分布律为,2, 1,ipxXP ii , 则 2 1 ()() ii i D XxE Xp. 连 续 型 若 X的概率密度为)(xf, 则 2 ()()( )D XxE Xf x dx. 方 差 性 质 (1) 222 )()()()(XEXEXEXEXD; (2) 0)(CD(C为常数); (3) )()( 2 XDCCXD; (
7、4) )()(XDCXD ; (5) 若X与Y相互独立 , 则)()()(YDXDYXD. 讲评在实际计算方差时, 常利用公式 22 ()()()D XE XE X. 还有 , X 与 Y相互独立仅是()()( )D XYD XD Y成立的充分条件. 3. 二维随机变量的数学期望与方差 表 4-3 二维随机变量的数学期望与方差 数 学 期 望 (1) 设 ),(YX 的分布律为 , 2, 1,jipyYxXP ijji , 则 111 () iiiij iij E Xx px p, 111 ( ) jjjij jij E Yy py p. (2) 二维离散型随机变量 ),(YX 函数 ),(Y
8、Xg 的数学期望等于 11 (,)(,) ijij ij E g X Yg xyp. 离 散 型 随 机 变 量 方 差 2 11 ()() iij ij D XxE Xp, 2 11 ( )( ) jij ij D YyE Yp. 数 学 期 望 (1) 设),(YX的概率密度为),(yxf, 则 ()( )( , ) X E Xxfx dxxf x y dxdy, ( )( )( , ) Y E Yyfy dyyf x y dxdy. (2) 二维连续型随机变量函数),(YXg的数学期望等于 (, )( ,) ( , )E g X Yg x y f x y dxdy. 连 续 型 随 机
9、变 量 方 差 22 ()()( )()( , ), X D XxE Xfx dxxE Xf x y dxdy 22 ( )( )( )()( , ). Y D YyE Yfy dyyE Yf x y dxdy 讲评 二维连续型随机变量的数学期望和方差的计算, 本质上就是二重 概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第166 页 积分的计算 , 要特别注意积分限的确定和积分表达式分段形式的正确处理. 4. 协方差和相关系数 表 4-4 协方差和相关系数 协 方 差 (1) Cov(,)()( )()()( )X YEXE XYE YE XYE X E
10、 Y; (2) Cov(,)()X XD X; (3) Cov( ,)Cov(, )Y XX Y; (4) Cov(,)Cov(, )aX bYabX Y; (5) 1212 Cov(, )Cov(, )Cov(, )XXYX YXY. 相 关 系 数 Cov(,)()()( ) ()()()( ) XY X YE XYE X E Y D XD YD XD Y (1) 1 XY 1; (2) 若YX,相互独立 , 则0 XY ; (3) | 1Y与X以概率1线性相关 , 即存在常数ba, 使 1P YaXb. 讲评 注意随机变量的独立性和不相关性的关系. 5. 矩和协方差矩阵 表 4-5 矩和
11、协方差矩阵 离 散 型 X的k阶原点矩 1 () kk kii i AE Xx p. X的k阶中心矩 1 ()() kk kii i BE XE XxE Xp. 矩 连 续 型 X的k阶原点矩()( ) kk k AE Xx f x dx. X的k阶中心矩()()( ) kk k BE XE XxE Xf x dx. 协 方 差 矩 阵 ),(YX的协方差矩阵 2221 1211 cc cc C, 其中)( 2 11 XEXEc, )()( 12 YEYXEXEc, )()( 21 XEXYEYEc, )( 2 22 YEYEc. 讲评事实上 , 随机变量X 的数学期望E(X)就是 X 的 一
12、阶原点矩 , 方差 D(X)就是 X 的二阶中心矩 , 而协方差Cov(,)X Y是随机变量X 和随机变量Y 二阶混合中心矩. 6. 常用分布的数学期望和方差 表 4-6 常用分布的数学期望和方差 分 布 分布律或概率密度 期望方差 两点分布 kk ppkXP 1 )1 (, 1 ,0k, 10p . ppq 二项分布 knkk n ppCkXP)1 ( ,nk,2, 1 ,0, 10p . npnpq 泊松分布 e ! k P Xk k , 2, 1 ,0k 0 概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第167 页 正态分布 2 2 () 2 1
13、( ) 2 x xe,0,x. 2 均匀分布 1 , ( ) 0, axb f xba 其它. 2 ba 12 )( 2 ab 指数分布 ,0, ( ) 0, x ex f x 其它. 1 2 1 几何分布 ppkXP k 1 )1(, , 2, 1 , 0k 10p . p 1 2 1 p p 讲评 (1) 上述七种分布的数学期望和方差是我们计算随机变量函数的数 字特征的基础, 一定要非常熟悉. (2) 注意指数分布的概率密度也有形式 1 ,0, ( ) 0, x ex f x 其它. 这种形式的数学期望和方差分别为 , 2. 审题时一定要分清概率密度形式 . 一 般说，随机变量服从参数为的
14、指数分布 , 其概率密度是指表4- 6 中的形式 . 7. 重要结论和常用公式 表 4-7 重要结论和期望、方差计算时常用公式 重 要 结 论 (1) ()()( )2Cov(, )D XYD XD YX Y , 特别地 , 当X与Y独立时)()()(YDXDYXD. (2) Cov(, )0(, )0()() ( )X YX YE XYE X E Y ()()( )D XYD XD Y . (3) X与Y独立0 XY , 但反过来不成立 . (4) 若),(YX服从二维正态分布, 则X与Y独立X与Y不相关 . 常 用 公 式 (1) p ppp n 1 1 1 2 ) 10(p; (2) 2
15、 12 )1 ( 1 321 p nppp n )10(p; (3) 2 1e 2! n n ; (4) - 函 数 的 性 质 :)() 1(, 其中 1 0 ( ) x xxe d (0); (5) 2 2 0 2 x xed . 讲评在计算离散型随机变量函数的数字特征时, 往往会涉及数项级数 的求和问题 . 当然 , 上面我们仅给出了常用的情形. 必要时通过考虑适当的幂 级数，并利用幂级数的分析性质求得所需数项级数之和. 二、例题分类解析 概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第168 页 1. 直接按定义计算随机变量的数学期望 例 1 设从
16、学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗 , 又设在各个交通岗遇 到红灯的事件是相互独立的, 其概率均为 2 5 . 试求途中遇到红灯次数的数学期 望. 分析本题涉及离散型随机变量的数学期望的计算. 注意到 2 (3,) 5 XB. 解令 X 表示途中遇到红灯的次数, 由题意知 2 (3,) 5 XB. 即 X的分布律 为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 从而 3 1 27543686 ()0123 1251251251255 k E XkP Xk. 讲评因没有直接给出随机变量的分布, 所以必须先由试验写出分布律, 而后计算期望. 扩展本题可扩展成考虑“ 途中经过n个交通岗 , 遇到红灯的概率为p” . 2. 利用数学期望的性质及常见分布
