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1、绝密启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟。第卷 1 至 2 页，第卷3 至 5 页。 答卷前， 考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利 第卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其 他答案标号。 2.本卷共 8 小题，每小题5 分共 40 分。 参考公式：
2、 如果事件A，B互斥，那么 ()( )()P ABP AP BU . 圆柱的体积公式VSh，其中 S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高. 棱锥的体积公式 1 3 VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设集合 1,1,2,3,5,2,3,4,|13ABCxxR, ，则( )ACBIU （A）2 （B）2，3 （C）-1 ，2，3 （D ）1，2，3，4 （ 2）设变量x，y满足约束条件 20, 20, 1, 1, xy xy x y 则目标函数 4zxy的最大值为 （A）2 （B）3 （C）5 （ D） 6 （
3、3）设xR，则“05x”是“|1|1x”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （ 4）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为 （A）5 （B）8 （C）24 （D）29 （ 5）已知 0.2 23 log 7,log 8,0.3abc ，则a，b，c的大小关系为 （A）cba（B）abc （c）bca（D）cab （ 6）已知抛物线 2 4yx的焦点为F，准线为l.若l与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线分别 交于点A和点B，且| |4 |ABOF （O为原点），则双曲线的离心率为 （A） 2 （
4、B） 3 （C）2 （D） 5 （ 7）已知函数 ( )sin()(0,0,| )f xAxA 是奇函数，且fx的最小正周期为，将 yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g x. 若2 4 g，则 3 8 f （A）-2 （B） 2 （C） 2 （D ）2 （ 8） 已知函数 2,01 ( ) 1 ,1 xx f x x x 若关于x的方程 1 ( )() 4 f xxa aR恰有两个互异的实数解， 则a的取值范围为 （A） 5 9 , 4 4 （B） 5 9 , 4 4 （C） 5 9 ,1 4 4 （ D） 5 9 ,1 4 4 绝密启用前 20
5、19年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 第卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共 12 小题，共110 分。 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。 （9）i 是虚数单位，则 5i 1i 的值为 _. （10 ）设x R ，使不等式 2 320 xx成立的 x的取值范围为_. （11 ）曲线cos 2 x yx在点(0,1)处的切线方程为_. （ 12）已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四 条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_. （1
6、3 ）设0,0,24xyxy，则 (1)(21)xy xy 的最小值为 _. （ 14） 在四边形ABCD中，,2 3,5,30ADBCABADA， 点E在线段CB的延长线上， 且AEBE，则 BD AE u uu r uuu r _. 三.解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15 ）（本小题满分13 分） 2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利 息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用 分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25 人
7、调查专项附加扣除的享受情况. （）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （）抽取的25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6 人，分别记为,A BC DEF.享受 情况如下表，其中“ ”表示享受，“”表示不享受.现从这 6 人中随机抽取2 人接受采访 . 员工 项目 A B C D E F 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设M为事件“抽取的2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率 . （16 ）（本小题满分13 分） 在ABC中，内角,A B C所对的边分别为, ,a b c.已知2b
8、ca，3 sin4 sincBaC. （）求cosB的值； （）求sin2 6 B的值 . （17 ）（本小题满分13 分） 如图，在四棱锥-PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC平面 PCD， ,2,3PACD CDAD . （）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH平面PAD； （）求证： PA 平面PCD； （）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值. （18 ）（本小题满分13 分） 设 n a 是等差数列， n b 是等比数列，公比大于0，已知112332 3,43abba ba . （）求 n a 和 n b 的通项公式； （）设数列 n c 满足
9、 2 1 n n n c bn ， 为奇数 ， 为偶数 ，求 * 1 12222 () nn a ca ca cnNL . （19 ）（本小题满分14 分） 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，左顶点为A，顶点为B.已知 3 |2 |OAOB （O为原 点） . （）求椭圆的离心率； （）设经过点F且斜率为 3 4 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切， 圆心C在直线x=4 上，且OCAP，求椭圆的方程. （20 ）（本小题满分14 分 设函数( )ln(1)e x f xxa x，其中aR. （）若a0，讨论( )f x的单调性； （）若
10、1 0 e a ， （i）证明( )f x恰有两个零点 （ii）设 0 x为( )f x的极值点， 1 x为( )f x的零点，且 10 xx，证明 01 32xx. 绝密启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）参考解答 一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分40 分 （1）D （2）C （3）B （4）B （5）A （6）D （7）C （8）D 二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分30 分 （9）13（ 10） 2 1, 3 （11）+2 2=0 xy （12 ） 4 （ 13） 9 2 （14）1 三.解答题 （
11、 15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式 等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，满分13 分. 解： （ 1）由已知，老、中、青员工人数之比为6 : 9 : 10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25 位员 工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6 人， 9 人， 10 人. （）（i）从已知的6 人中随机抽取2 人的所有可能结果为 , , , , , , , , , , ,A BA CA DA EA FB CB DB EB FCCFD FDECE F ，共 15 种 . （ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 , , , ,
12、 , , , ,A BA DA EA FB DBCEB FEC FD FE F，共 11 种 . 所以，事件 M 发生的概率 11 () 15 P M. （16 ）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正 弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分13 分. （） 解：在ABC中，由正弦定理 sinsin bc BC ，得sinsinbCcB，又由3 sin4 sincBaC， 得3 sin4 sinbCaC，即34ba.又因为2bca，得到 4 3 ba， 2 3 ca.由余弦定理可得 222 222 416 1 99 cos 2 24
13、2 3 aaa acb B aa . （ ） 解 ： 由 （ ） 可 得 2 15 sin1cos 4 BB， 从 而 15 sin 22sincos 8 BBB， 22 7 cos2cossin 8 BBB，故 153713 57 sin 2sin2 coscos2sin 666828216 BBB， （ 17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础 知识 .考查空间想象能力和推理论证能力.满分 13 分. （）证明：连接BD， 易知ACBDHI，BHDH.又由BG= PG， 故GH PD， 又因为GH 平面PAD，PD平面PAD，所以GH平面
14、PAD. （）证明：取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DNPC，又因为平面PAC平面PCD，平 面PAC I平面PCDPC，所以DN平面PAC，又 PA 平面PAC，故DNPA.又已知 PACD，CD DNDI，所以 PA平面PCD. （）解：连接AN，由（）中DN平面PAC，可知DAN为直线 AD与平面 PAC所成的角， 因为PCD为等边三角形，CD=2 且N为PC的中点，所以 3DN .又DNAN， 在 AND 中， 3 sin 3 DN DAN AD . 所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为 3 3 . （ 18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知
15、识，考查数列求和的基 本方法和运算求解能力.满分 13 分. n （）解：设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q .依题意，得 2 332 3154 qd qd ，解 得 3 3 d q ，故 1 33(1)3 ,3 33 nn nn annb. 所以， n a的通项公式为3 n an， n b的通项公式为3 n n b. （）解： 1 12222nn a ca ca cL 135212 142632nnn aaaaa ba ba ba bL 123(1) 36(6312318363 ) 2 nn n nn L 212 36 1 32 33 n nnL. 记 12 13233
16、 n n TnL， 则 231 31 3233 n nTn， -得， 1 2311 3 1 3 (21)33 233333 1 3 32 n n nnn n n TnnL. 所以， 1 22 1 12222 (21)33 3633 2 n nnn n a ca ca cnTnL 22 (21)369 2 n nn nN. （ 19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲 线的性质 .考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力，满分14 分 . （）解：设椭圆的半焦距为 c， 由已知有 32ab， 又由 222 abc， 消去b得 2 22 3 2 aac，
