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1、绝密启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(文史类) 本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150 分,考试用时120 分钟。第卷 1 至 2 页,第卷3 至 5 页。 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时, 考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利 第卷 注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其 他答案标号。 2.本卷共 8 小题,每小题5 分共 40 分。 参考公式:
2、 如果事件A,B互斥,那么 ()( )()P ABP AP BU . 圆柱的体积公式VSh,其中 S表示圆柱的底面面积,h表示圆柱的高. 棱锥的体积公式 1 3 VSh,其中S表示棱锥的底面面积,h表示棱锥的高. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)设集合 1,1,2,3,5,2,3,4,|13ABCxxR, ,则( )ACBIU (A)2 (B)2,3 (C)-1 ,2,3 (D )1,2,3,4 ( 2)设变量x,y满足约束条件 20, 20, 1, 1, xy xy x y 则目标函数 4zxy的最大值为 (A)2 (B)3 (C)5 ( D) 6 (
3、3)设xR,则“05x”是“|1|1x”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ( 4)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为 (A)5 (B)8 (C)24 (D)29 ( 5)已知 0.2 23 log 7,log 8,0.3abc ,则a,b,c的大小关系为 (A)cba(B)abc (c)bca(D)cab ( 6)已知抛物线 2 4yx的焦点为F,准线为l.若l与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线分别 交于点A和点B,且| |4 |ABOF (O为原点),则双曲线的离心率为 (A) 2 (
4、B) 3 (C)2 (D) 5 ( 7)已知函数 ( )sin()(0,0,| )f xAxA 是奇函数,且fx的最小正周期为,将 yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g x. 若2 4 g,则 3 8 f (A)-2 (B) 2 (C) 2 (D )2 ( 8) 已知函数 2,01 ( ) 1 ,1 xx f x x x 若关于x的方程 1 ( )() 4 f xxa aR恰有两个互异的实数解, 则a的取值范围为 (A) 5 9 , 4 4 (B) 5 9 , 4 4 (C) 5 9 ,1 4 4 ( D) 5 9 ,1 4 4 绝密启用前 20
5、19年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(文史类) 第卷 注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共 12 小题,共110 分。 二、填空题:本大题共6 小题,每小题5 分,共 30 分。 (9)i 是虚数单位,则 5i 1i 的值为 _. (10 )设x R ,使不等式 2 320 xx成立的 x的取值范围为_. (11 )曲线cos 2 x yx在点(0,1)处的切线方程为_. ( 12)已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形,侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四 条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为_. (1
6、3 )设0,0,24xyxy,则 (1)(21)xy xy 的最小值为 _. ( 14) 在四边形ABCD中,,2 3,5,30ADBCABADA, 点E在线段CB的延长线上, 且AEBE,则 BD AE u uu r uuu r _. 三.解答题:本大题共6 小题,共80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15 )(本小题满分13 分) 2019 年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利 息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用 分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25 人
7、调查专项附加扣除的享受情况. ()应从老、中、青员工中分别抽取多少人? ()抽取的25 人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6 人,分别记为,A BC DEF.享受 情况如下表,其中“ ”表示享受,“”表示不享受.现从这 6 人中随机抽取2 人接受采访 . 员工 项目 A B C D E F 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; (ii)设M为事件“抽取的2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率 . (16 )(本小题满分13 分) 在ABC中,内角,A B C所对的边分别为, ,a b c.已知2b
8、ca,3 sin4 sincBaC. ()求cosB的值; ()求sin2 6 B的值 . (17 )(本小题满分13 分) 如图,在四棱锥-PABCD中,底面ABCD为平行四边形,PCD为等边三角形,平面PAC平面 PCD, ,2,3PACD CDAD . ()设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH平面PAD; ()求证: PA 平面PCD; ()求直线AD与平面PAC所成角的正弦值. (18 )(本小题满分13 分) 设 n a 是等差数列, n b 是等比数列,公比大于0,已知112332 3,43abba ba . ()求 n a 和 n b 的通项公式; ()设数列 n c 满足
9、 2 1 n n n c bn , 为奇数 , 为偶数 ,求 * 1 12222 () nn a ca ca cnNL . (19 )(本小题满分14 分) 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F,左顶点为A,顶点为B.已知 3 |2 |OAOB (O为原 点) . ()求椭圆的离心率; ()设经过点F且斜率为 3 4 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切, 圆心C在直线x=4 上,且OCAP,求椭圆的方程. (20 )(本小题满分14 分 设函数( )ln(1)e x f xxa x,其中aR. ()若a0,讨论( )f x的单调性; ()若
10、1 0 e a , (i)证明( )f x恰有两个零点 (ii)设 0 x为( )f x的极值点, 1 x为( )f x的零点,且 10 xx,证明 01 32xx. 绝密启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(文史类)参考解答 一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分40 分 (1)D (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)D 二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分30 分 (9)13( 10) 2 1, 3 (11)+2 2=0 xy (12 ) 4 ( 13) 9 2 (14)1 三.解答题 (
11、 15)本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式 等基本知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,满分13 分. 解: ( 1)由已知,老、中、青员工人数之比为6 : 9 : 10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25 位员 工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6 人, 9 人, 10 人. ()(i)从已知的6 人中随机抽取2 人的所有可能结果为 , , , , , , , , , , ,A BA CA DA EA FB CB DB EB FCCFD FDECE F ,共 15 种 . (ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为 , , , ,
12、 , , , ,A BA DA EA FB DBCEB FEC FD FE F,共 11 种 . 所以,事件 M 发生的概率 11 () 15 P M. (16 )本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正 弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力,满分13 分. () 解:在ABC中,由正弦定理 sinsin bc BC ,得sinsinbCcB,又由3 sin4 sincBaC, 得3 sin4 sinbCaC,即34ba.又因为2bca,得到 4 3 ba, 2 3 ca.由余弦定理可得 222 222 416 1 99 cos 2 24
13、2 3 aaa acb B aa . ( ) 解 : 由 ( ) 可 得 2 15 sin1cos 4 BB, 从 而 15 sin 22sincos 8 BBB, 22 7 cos2cossin 8 BBB,故 153713 57 sin 2sin2 coscos2sin 666828216 BBB, ( 17)本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础 知识 .考查空间想象能力和推理论证能力.满分 13 分. ()证明:连接BD, 易知ACBDHI,BHDH.又由BG= PG, 故GH PD, 又因为GH 平面PAD,PD平面PAD,所以GH平面
14、PAD. ()证明:取棱PC的中点N,连接DN.依题意,得DNPC,又因为平面PAC平面PCD,平 面PAC I平面PCDPC,所以DN平面PAC,又 PA 平面PAC,故DNPA.又已知 PACD,CD DNDI,所以 PA平面PCD. ()解:连接AN,由()中DN平面PAC,可知DAN为直线 AD与平面 PAC所成的角, 因为PCD为等边三角形,CD=2 且N为PC的中点,所以 3DN .又DNAN, 在 AND 中, 3 sin 3 DN DAN AD . 所以,直线AD与平面PAC所成角的正弦值为 3 3 . ( 18)本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知
15、识,考查数列求和的基 本方法和运算求解能力.满分 13 分. n ()解:设等差数列 n a的公差为d,等比数列 n b的公比为q .依题意,得 2 332 3154 qd qd ,解 得 3 3 d q ,故 1 33(1)3 ,3 33 nn nn annb. 所以, n a的通项公式为3 n an, n b的通项公式为3 n n b. ()解: 1 12222nn a ca ca cL 135212 142632nnn aaaaa ba ba ba bL 123(1) 36(6312318363 ) 2 nn n nn L 212 36 1 32 33 n nnL. 记 12 13233
16、 n n TnL, 则 231 31 3233 n nTn, -得, 1 2311 3 1 3 (21)33 233333 1 3 32 n n nnn n n TnnL. 所以, 1 22 1 12222 (21)33 3633 2 n nnn n a ca ca cnTnL 22 (21)369 2 n nn nN. ( 19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲 线的性质 .考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力,满分14 分 . ()解:设椭圆的半焦距为 c, 由已知有 32ab, 又由 222 abc, 消去b得 2 22 3 2 aac,