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1、 1.1.3 导数的几何意义 教学目标 1 了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2 理解曲线的切线的概念； 3 通过 函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点： 曲线的切线 的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义教学过程：一创设 情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数xxxxfxxyfy附近 )在 )=( 处的瞬时 变化率， 反映了函数在我们知道，导数表示函数=(= 00 )(fx的几何意义是什么呢？的变化情况， 导数0二 新课讲授4)2,3,)(n 1,P(x,f(x)xf(沿着曲线（一）曲线的切线及切线的斜率：如图 3.1
2、-2 ， 当nnn)(,fxP(xPP时，割线趋近于点的变化趋势是什么？ 00n 3.1-2 图 PPPxP趋近于确定的位置，这个确即 , 0 时割线 , 我们发现当点沿着曲线无限接近点 nnPPT称 为曲线在点处的切线定位置的直线.kPPkPT的斜率问题：割线有什么关系？的斜率与切线 nnkPT 切线为多少？的斜率 专心爱心用心 f(x) f(x) 0n kPkPPP无限当点的斜率是时，沿着曲线无限接近点容易知道，割线, nnnnx x0nf(x x) f(x) 00(x) k limfk PT的斜率趋近于切线，即 0 x0 xxP处的切线称为曲线在点 PQ的斜率 , 0 时, 割线说明：（
3、1） 设切 线的倾斜角为, 那么当的斜率. 这个概念 : 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; x x处的导数切线斜率的本质函数在. 0（2）曲线在某点处的切线:1) 与该点的位置有关;2) 要根据割线是否有极限位置来判 断与求解 . 如有极限 , 则在此点有切线, 且切线是唯一的; 如不存在 , 则在此点处无切线;3) 曲线的 切线 , 并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个 , 甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义： (x,f(x)xxxyf处的切线的斜率，)在处的导数等于在该点=( 函数 000f(x x) f(x) 00 limkf)(x 即 0 x0 x说明：求曲线在某点处
4、的切线方程的基本步骤: P点的坐标 ; 求出f(xx) f(x) 00 x(x) limkf，得到曲线在点求出函数在点处的变化率 00 x0 x (x,f(x)的切线的斜率； 00利用点斜式求切线方程 . （二）导函数： (xf)xfxxx当, 由函数 ,( ) 在是一个确定的数， 那么 =, 处求导数的过程可以看到当时 00 )x(fyxxf， 的一个函数 , 我们叫它为或( )的导函数 . 便是变化时 , 记作：f(x x) f(x)limfy(x) : 即 x0 x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数 )fxx(xfx)f(、导数、导函数在点处的导数（三）函数之间的区别与联系。 00
5、(xf)，就是在 该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，）函数在一点处的导数10它是一个常数，不 是变数。 x而言的，就是函数f(x)2）函数的导数，是指某一区间内任意点的导函数 )xf(xxx)xf()f(x处的函数值，这也是在就是导函数函数3） 求函数在点处的导数 000 x处的导 数的方法之一。在点0三典例分析 专心爱心用心 2Pxyfx. ）求曲线 +1=在点 ( 处的切线方程)=(1,2)（例 1:12(1,3)xy. 在点 =3（2）求函数处的导数 222x x 1 (1 1)2(1x)lim2y | lim） , 解： （1 1 xx x0 x 0 x0 x y2 2(x
6、 1)2y所以，所求切线的斜率为2， 因此， 所求的切线方程为即2222) 3 113(3xxlimy| lim3(x1) 6 lim）因为（ 2 1 x11x x11x x 1x0 3 1)6x yy 3 6(x即所以，所求切线的斜率为6，因此，所求 的切线方程为2xx 1xxf 在)= （2）求函数附近的平均变化率，并求出在该点处的导 数 (22)1( 1x)x ( y x3解： xx 22) 1 1x)x (y (lim ( 1) lim(3x)3f xx0 x 0 x ， 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数（课本例2） 如图 3.1-3例 2 210 6.5x)4.9xx(h， 根据
7、图像，请描述、比 ttt)th(、较曲线在附近的变化情况、201ttt)(ht处的切线， 刻画曲解： 我们用曲线在、 、201)h(t线 在上述三个时刻附近的变化情况tt tl)h(t平行于在 1） 当时，曲线处的切线（ 000t tx附近曲线 比较平坦，几轴，所以，在 0乎没有升降t lht(t) 0t tt)th(附近曲线下降，的斜率）（2 当处 的切线在时，曲线，所以，在 111112104.9x 6.5x xh()tt即函数在附近单调递 减1tht ttt(t) 0 l)h(t附近曲线下降，的斜率，所以，在处的切线）（3 当曲线时，在 22222210 x x)h(x 4.9 6.5t
8、 t即函数在附近单调递减 2专心爱心用心 llt附近比在的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在从图3.1-3可以看出， 直线 112t附近 下降的缓慢2c f(t)mg/mL)3.1-4例 3 （课本例3）如图，它表示人体血管中药物浓度随时间 ( 单位：tt 0.2,0.4,0.6,0.8min时， 血管中药物浓度的 （单位：） 变化的图象 根据图像， 估计 0.1） 瞬 时变化率（精确到 )(tf在此时刻的导数，从图像解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度)(tf上 看，它表示曲线在此点处的切线的斜率，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的 斜率，可以得到此时刻药物如图3.1-4 浓度瞬时变化率的近似值(1.0,0.48)(0.7,0.91)0.8t， 则它的斜率为：作处的切线，并在切线上去两点，如，0.91 0.481.4k 0.7 1.0 1.4 (0.8) f所以 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值： t 0.8 0.6 0.2 0.4 0.4 -0.7 0 -1.4 药物浓度瞬时变化率四课堂练习 3(1,1)xyxf 1 求曲线 =在点 ()= 处的切线； xy (4,2)处 的切线求曲线在点 2 五回顾总结 1曲线的切线及切线的斜率； 2导数的几何意义 六布置作业 专心爱心用心 专心爱心用心
