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1、共 4 页第 1 页 福建工程学院2011-2012学年第 一 学期期 末 考试试卷审批表 课程名称常微分方程考试班级 计算科学 10011003 参加考 试 学生 人数 60 任课教师陈晓鹰命题教师陈晓鹰 试卷类型 (A、B) A 考试形式 开卷（） 闭卷（闭） 答卷纸 ( 张) 3 草稿纸( 张)1 审核人 意见 审核人签名： 教研室意见 ( 签字) 系( 部) 意见 ( 签字) 试题参考答案及评分标准 一一选择、填空题（每小题3 分，共 30 分） 1 x y u；2tx3sin 8 1* 3.x dt dx 2，不稳定；4xbxa2cos2sin ； 5. x eyy2 6 )( 0
2、1 21 21 tfxx xx 7 t t t e e e 3 2 8n 9 24 22yx dt dv ， 渐近稳定 10解函数内存在唯一且连续在Gxy)( ，的边界内延伸到在GGx)( 二求下列方程的通解或特解（共42 分） 1（8 分） 求方程 xy y dx dy 的满足初始条件1) 1(y解 解：ydxdyxy)( （3 分） 共 4 页第 2 页 通解为：cyxy 2 2 1 （3 分） 代入初始条件得： 2 1 2 12 yxy（2 分） 2（ 8 分） 求方程： 2 xyyx的通解 解： dx dp ypy则,（2 分） 0 2 xppx xp x p 1 2 11 1 1 1
3、 )(xxcxcxdxxecep dx x dx x （4 分） 2 32 1 3 1 cxxcy（2 分） 3（ 12 分） 用拉氏变换法或待定系数法求方程 x eyyy 3 296的通解)(xy 。 并求)(limxy x 解：特征方程为096 2 ，特征根： 3 2,1， 对应齐次方程的通解为： x c exccxy 3 21 )()(（5 分） 令：,0)0(,0)0( * yy 32 * )3( 2 )3( )3( 2 )( ss s xyL x exxy 32* )( xx exexccxy 323 21 )()(（5 分） )(limxy x = xlim xx exexcc 3
4、23 21 )(=0 （2 分） 共 4 页第 3 页 4 （14 分） 对于一阶二维线性常系数方程组： 0 1 )( 20 11 )(tXtX （1）求对应齐次方程组的基解阵)(t 和通解 （2）求出原方程组的一个特解 * ( )Xt （3） 写出原方程组的通解 解：（1）0)2)(1(EA2, 1 21 0 1 0 10 10 , 1 1 c b a b a 解方程组对 1 1 0 00 11 ,2 2 c b a b a 解方程组对（4 分） 2 1 2 2 2 2 0 )(, 0 )( c c e ee tX e ee t t tt c t tt 齐次方程组通解（4 分） （2） 1
5、3 2 1 1 1 10 12 2 1 1 1 20 11 1 1 ,)( 1 1 * Ah htX代入原方程得：令 （3 分） （3）通解为： 1 3 2 1 0 )( 2 1 2 2 c c e ee tX t tt （3 分） 三应用题（ 10 分） 在一个由电阻R、电感L 和电源E 串联而成的闭合回路中，已知E=50 （V） ，R=10 欧姆，L=2（ H） 。 设 I（0） =0。 求开关闭合10s 后，电感 L 上电流 I 。 （电感电压 = dt dI L） )3( )3( 0)0( 分通解： 分解： R E ceI I L E I L R dt dI t L R )3( 分特解
6、： R E e R E I t L R 共 4 页第 4 页 55 10 50 10 50 )10( 50 10 2 10 eeI （1 分） 四变换题（ 6 分） 将三阶线性方程txx txtxsin 2 化为一阶三维线性方程组 解：令, 321 xxxxxx（2 分） tx x x ttx x x sin 0 0 1 100 010 3 2 1 2 3 2 1 （4 分） 五证明题（ 12 分） 1. (6分）设：是二阶线性方程： 2. (6分) )()()(. 321 txtxtx、 的线性无关解)()()( 21 2 2 tfxta dt dx ta dt xd 解并写出非齐次方程的通
7、 组。是对应齐次方程的基解、证明：)()()()(. 3231 txtxtxtx 分）通解 分） 若 分）是对应齐次方程的解。、证明： 2()()()(c)()(c)( 2(0kk 0)()kk()(k)(k 0)()(k)()(k2 2()()()()(1. 3322311 21 3212211 322311 3231 txtxtxtxtxtx txtxtx txtxtxtx txtxtxtx 分）（30 11 01 1ln ln 22 ttttt ttt 的基解阵是方程组： y x tt t y x /2/1 1/1 2 分）（证：3 ln ln /2/1 1/1 ln ln 22 2 22 tttt ttt tt t tttt ttt tttt ttt t ln ln )( 22 求证：
