《2020版新设计一轮复习数学(文)通用版第九章平面解析几何第六节椭圆》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版新设计一轮复习数学(文)通用版第九章平面解析几何第六节椭圆（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节椭_圆 一、基础知识批注理解深一点 1椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数 2a(2a|F1F2|)的动点 P 的轨迹叫做椭圆，这两个 定点 F1，F2叫做椭圆的焦点 . 2椭圆的标准方程 (1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆 的标准方程为 x2 a2 y2 b21(ab0) (2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的椭圆 的标准方程为 y2 a2 x2 b21(ab0) 3椭圆的几何性质 标准方程 x2 a 2 y2 b 21(ab0) y2 a 2x 2 b 21(ab0) 范围|x|a，|y|b |x|b，|y|a 对称性关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中
2、心对称 顶点坐标 (a,0)，( a,0)，(0，b)，(0， b) (b,0)，(b,0)，(0，a)， (0， a) 焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)， (0， c) 半轴长长半轴长为a，短半轴长为b，ab? 2a|F1F2|时，动点的轨迹是 线段 F1F2； 2a |F1F2|时，动 点的轨迹不存在. 焦点在x 轴上 ? 标准方程中 x 2 项的分母较大；焦点在y 轴上 ? 标准方程中y2项的分 母较大 . 离心率e c a ? a，b，c 的关系a2b2c2 ? 长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心 ? 离心率表示椭圆的扁平程度当e 越接近于1 时， c 越接 近于 a，从而 ba2
3、c2越小，因此椭圆越扁 二、常用结论汇总规律多一点 (1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为 2b2 a ，过焦点最长弦为长轴 (2)过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. (3)与椭圆 x 2 a2 y2 b2 1(ab0)有共焦点的椭圆方程为 x 2 a2 y2 b2 1( b2) (4)焦点三角形： 椭圆上的点P(x0， y0)与两焦点F1， F2构成的 PF1F2叫做焦点三角形 若 r1|PF1|，r2|PF2|， F1PF2 ， PF1F2的面积为S，则在椭圆 x 2 a2 y2 b21(ab 0)中： 当 r1r2，即点 P 为短轴端点时， 最大； S 1 2|PF
4、1|PF2|sin c|y0|，当 |y0|b，即点 P 为短轴端点时，S取得最大值，最大值 为 bc； PF1F2的周长为 2(ac) 三、基础小题强化功底牢一点 一 判一判对的打“”，错的打“” (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆() (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形() (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆() (4)方程 mx 2ny21(m0， n0，m n)表示的曲线是椭圆 () (5) y2 a 2 x2 b21(ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆() (6) x2 a 2 y2 b21(ab0)与 y2 a2 x2 b21(ab0)的焦距相
5、等 () 答案： (1)(2)(3)(4)(5)(6) (二)选一选 1椭圆 x2 8 y 2 9 1 的离心率为 () A. 1 2 B.1 5 C. 1 3 D.1 4 解析： 选 C由椭圆的标准方程可知，该椭圆的焦点在y 轴上， a29，b2 8， 所以 c1，所以 e c a 1 3，故选 C. 2 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)， 离心率等于 1 2， 则椭圆 C 的方程是 ( ) A. x2 3 y 2 4 1 B.x 2 4 y2 31 C. x2 4 y 2 2 1 D.x 2 4 y 2 3 1 解析： 选 D设椭圆的标准方程为 x2 a2 y2 b21(ab
6、 0) 因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e 1 2， 所以 c 1， c a 1 2， a2b2c2， 解得 a24， b23， 故椭圆 C 的标准方程为 x 2 4 y2 3 1. 3(2018 全国卷 )已知椭圆C：x 2 a2 y2 4 1 的一个焦点为(2,0)，则 C 的离心率为 () A. 1 3 B.1 2 C. 2 2 D.2 2 3 解析： 选 Ca2422 8， a22， e c a 2 22 2 2 . (三)填一填 4若椭圆 x2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ，短轴长为4，则椭圆的方程为_ 解析： 由题意得 2b4， c a 3 2 ， a2
7、b2c2， 解得 a4， b2， 所以椭圆的方程为 x2 16 y2 4 1. 答案 ： x 2 16 y2 4 1 5若方程 x 2 5 k y2 k31 表示椭圆，则 k 的取值范围是_ 解析： 由已知得 5k0， k30， 5kk3. 解得 3kb0)的左、右焦点，若椭圆 C 上存在点P， 使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点 F2，则椭圆C 的离心率的取值范围是() A. 2 3，1 B. 1 3， 2 2 C. 1 3，1 D. 0， 1 3 解析： 选 C如图所示， 线段 PF1的中垂线经过 F2， |PF2|F1F2|2c， 即椭圆上存在一点P， 使得 |PF2|2c. ac2ca
8、c. e c a 1 3，1 . 课时跟踪检测 A 级 保大分专练 1椭圆以x 轴和 y 轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的标准 方程为 () A. x2 4 y21 B. y2 16 x 2 4 1 C. x2 4 y21 或 y2 16 x 2 4 1 D. x2 4 y21 或 y2 4 x21 解析：选 C由题意知， 椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，即 a2b.因为椭圆经过点(2,0)， 所以若焦点在x 轴上，则a2，b 1，椭圆的标准方程为 x 2 4 y2 1；若焦点在y 轴上，则 a4，b2，椭圆的标准方程为 y2 16 x2 4 1，故选 C. 2已知
9、方程 x 2 |m|1 y2 2m1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为() A. ， 3 2 B(1,2) C (， 0) (1,2) D(， 1) 1， 3 2 解析： 选 D依题意得不等式组 |m|1 0， 2m0， 2m|m| 1， 解得 m 1 或 1m 3 2，故选 D. 3已知椭圆的方程为2x 23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为 () A. 1 3 B. 3 3 C. 2 2 D.1 2 解析： 选 B由题意得椭圆的标准方程为 x2 m 2 y2 m 3 1， 所以 a2 m 2 ，b2 m 3 ， 所以 c2a2b2 m 6 ， e2 c2 a2 1 3，e 3
10、 3 . 4已知椭圆C： x 2 4 y2 3 1 的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆 C 上的点 A 满足 AF2 F1F2，若点 P 是椭圆 C 上的动点，则F1P F2A 的最大值为 () A. 3 2 B.3 3 2 C. 9 4 D.15 4 解析： 选 B由椭圆方程知c1， 所以 F1(1,0)，F2(1,0) 因为椭圆C 上的点 A 满足 AF2F1F2，则可设 A(1，y0)， 代入椭圆方程可得y2 0 9 4，所以 y 0 3 2. 设 P(x1，y1)，则 F1P (x11，y1)， F2A (0，y0)， 所以 F1P F2A y1y0. 因为点 P 是椭圆 C 上的动点
11、，所以3y1 3， 故 F1P F2A 的最大值为 3 3 2 . 5以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最 小值为 () A 1 B.2 C 2 D22 解析： 选 D设 a，b，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当 三角形的高为b时面积最大，所以 1 22cb1，bc1，而 2a2 b2c22 2bc2 2(当且 仅当 b c1 时取等号 )，故选 D. 6(2019 惠州调研 )设 F1，F2为椭圆 x 2 9 y2 5 1 的两个焦点， 点 P 在椭圆上， 若线段 PF1 的中点在y 轴上，则 |PF2| |PF1|的值为 ( )
12、A. 5 14 B.5 9 C. 4 9 D. 5 13 解析： 选 D如图，设线段PF1的中点为 M，因为 O 是 F1F2的中 点，所以OMPF2，可得 PF2x 轴， |PF2| b2 a 5 3， |PF 1|2a|PF2| 13 3 ，故 |PF2| |PF1| 5 13，故选 D. 7 已知椭圆 x 2 a2 y2 b2 1(ab0)的一个焦点是圆 x2y2 6x8 0 的圆心，且短轴长为8， 则椭圆的左顶点为_ 解析： 圆的标准方程为(x3)2y21， 圆心坐标为(3,0)， c3.又 b4， ab2c25. 椭圆的焦点在x 轴上，椭圆的左顶点为(5,0) 答案 ：( 5,0)
13、8过点 A(3， 2)且与椭圆 x 2 9 y2 4 1 有相同焦点的椭圆方程为_ 解析：法一：设所求椭圆方程为 x2 a2 y2 b2 1(a b0)，则 a2b2c25，且 9 a2 4 b21， 解方程组 a 2b25， 9 a 2 4 b21， 得 a215， b2 10，故所求椭圆方程为 x 2 15 y2 10 1. 法二： 椭圆 x 2 9 y 2 4 1 的焦点坐标为( 5，0)，设所求椭圆方程为 x 2 5 y2 1( 0)， 代入点 A(3，2)得 9 5 4 1( 0)，解得 10 或 2(舍去 )，故所求椭圆方程为 x 2 15 y2 10 1. 答案： x 2 15
14、y2 10 1 9 已知 ABC 的顶点 A(3,0)和顶点 B(3,0)， 顶点 C在椭圆 x 2 25 y2 161上， 则 5sin C sin Asin B _. 解析： 由椭圆 x2 25 y2 161 知长轴长为 10，短轴长为8，焦距为6，则顶点A，B 为椭圆 的两个焦点在ABC 中，设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分 别为 a，b，c，则 c|AB|6，ab|BC| |AC|10，由正弦定理 可得 5sin C sin Asin B 5c a b 56 10 3. 答案 ：3 10点 P 是椭圆上任意一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，F1PF2的最大值是 60 ，
15、则椭圆的离心率e_. 解析： 如图所示，当点P 与点 B 重合时， F1PF2取得最大值 60 ， 此时 |OF1|c，|PF1|PF2|2c.由椭圆的定义，得 |PF1|PF2| 4c2a， 所以椭圆的离心率e c a 1 2. 答案 ： 1 2 11已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3,0)和(3,0) (1)求椭圆的标准方程； (2)若 P 为短轴的一个端点，求F1PF2的面积 解： (1)设椭圆的标准方程为 x2 a2 y2 b21(a b0)， 依题意得 2a10， c3， 因此 a5，b4， 所以椭圆的标准方程为 x2 25 y2 16 1. (2)易知 |yP
16、|4，又 c3， 所以 S F1PF21 2|y P|2c 1 24612. 12已知焦点在x 轴上的椭圆 x2 4 y2 b21 的离心率 e1 2，F，A 分别是椭圆的左焦点和 右顶点， P 是椭圆上任意一点，求PF PA 的最大值和最小值 解： 设 P 点坐标为 (x0，y0) 由题意知a2， e c a 1 2， c1， b2a2c23， 椭圆方程为 x2 4 y2 3 1. 2 x02. 又 F(1,0)，A(2,0)， PF (1x0， y0)， PA (2x0， y0)， PF PA x 2 0 x0 2y20 1 4x 2 0 x0 1 1 4(x 02)2. 当 x02 时， PF PA取得最小值 0， 当 x0 2 时，
