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1、例题 在下图中，气缸内壁的直径D12cm、活塞的直径d11.96cm，活塞的长度L14cm，活塞往复运动的速度为1m/s，润滑油液的0.1Pa.s，试问作用在活塞上的黏滞力为多少？,解： 因黏性作用，粘附在气缸内壁的润滑油层速度为零，粘附在活塞外沿的润滑油层与活塞速度相同，即1m/s。因此，润滑油层的速度由零增至1m/s，油层间因相对运动产生切应力，故用 计算。该切应力乘以活塞面积，就是作用于活塞 上的黏滞力T。,将间隙n放大，绘出该间隙中的速度分布图。由于活塞与气缸的间隙n很小，速度分布图近似认为是直线分布。,流体静压强,流体平衡，则作用在流体上的应力只有法向应力，而没有切向应力。流体作用面
2、上负的法向应力就是静压强。 作用在单位面积上的力，单位常用Pa或牛顿/米2 在静止流体中一作用面积为A，其上压力为P，则当面积缩为一点时，平均压强P/A的极限值就是该点静压强，用符号p小写表示。,绝对静止和相对静止,流体静压强的特性,特性一 流体静压强的作用方向沿作用面的内法线方向。,特性二 流体静压强的大小与作用面在空间的方位无关，只是坐标的函数。,特性1的证明,流体中任意点所受的力均可分为切向应力和法向应力。当流体处于静止， ， 故切应力 ，所以，只存在法向应力。 因为静止，故只存在压力。若流体受拉力作用，要发生运动 若作用力不垂直，则可以分解成法向和切向应力，不能满足平衡状态的要求。,特
3、性2的证明,同一点上各方向的静压强均相等。,A,p1,p2,p3,证明：静压强大小与作用面方向无关,证明思路： （1）取研究对象（微元体） （2）受力分析 （3）导出关系式 （4）得出结论,表面力,质量力,受力分析,x方向的力平衡方程,由于,令流体元缩为一点，即,同理：,只要流体内部无切应力存在，无论流体是处于静止还是流动状态，流体内任意点的压强大小都与其作用面的方位无关，只是空间点位置的函数。,该结论无论是对绝对静止、相对静止的流体，还是对于流动的理想流体 (流体质点间可能有相对运动）都成立。,对于粘性流体，如果流体质点间存在相对运动，则流体中就会产生切应力，此时流体中一点的法向应力（相应于
4、静止流体中的压强）在不同方向的大小可能不相同。,讨 论,【了解】 （1）静止流体表面力只有压应力-压强。 （2）流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律：它以压强为中心，阐述流体静压强的特性，静压强的分布规律，进一步求解作用在平面上、曲面上和物体上静水总压力。,【掌握】 （1）静止是相对的，针对坐标没有相对运动，分为觉对静止和相对静止。 （2）掌握流体静压强的两个基本特性。,【重点】 静压强的两个基本特性。,【难点】 静压强第二个基本特性的推导。,第二章流体静力学,第二节 欧拉平衡微分方程,流体平衡微分方程,在静止流体中取一微元六面体，各面平行于坐标平面。,微元体边长：dx dy dz 中
5、心点坐标：a(x, y, z) 中心点压强：p 单位质量力：X Y Z 中心点压强按泰勒级数展开可得各面中心压强。,流体平衡微分方程,1、表面力,设点a（x、y、z）压强为p，当坐标有微小变化时，p可用泰勒级数表示。 以x轴为例，忽略二阶以上的各项，沿x方向六面体两边界面中心点处的压强分别为：,流体平衡微分方程,1、表面力,2、质量力,设作用于六面体的单位质量力在x、y、z轴方向的分量分别为x、y、z 六面体的质量为 则沿x轴方向的质量力为,流体平衡微分方程,3、导出关系：微元体在静压强和质量力的作用下平衡。 微元体上的力在x方向的平衡方程：,化简：,同理：,欧拉平衡微分方程,流体平衡微分方程
6、,物理意义：静止流体内质量力与静压强相平衡。 适用范围：理想流体 黏性流体 可压缩流体 不可压缩流体 静止 相对静止,欧拉平衡微分方程,流体平衡微分方程的积分,目的：在给定质量力（X,Y,Z）的作用下，得到绝对静止或相对静止流体中压强的分布规律。,流体平衡微分方程的综合式,流体平衡微分方程的积分,对于不可压缩均质流体来说，其密度为常数。,左边是一个坐标函数p的全微分 右边也必须是某一个坐标函数U（x,y,z）的全微分, 即,因,说明：,所取的空间中的任何点上都存在着质量力，因此这个空间可叫做质量力场或势力场。 因函数U 对各坐标的偏导数分别等于力场的力在对应坐标轴上的分量，则这函数称U为力函数
7、或势函数。 而力X,Y,Z称为有势力。 质量力是有势的力。如重力和惯性力。 结论：不可压缩均质流体要维持平衡，只有在有势的质量力作用下才有可能。,积分,积分常数c由边界条件来确定。 设已知边界点上的势函数为U0和压强为p0，则cp0-U0.得： 不可压缩均质流体平衡微分方程积分后的普遍关系式。 它表明任一点上的压强等于外压强p0与有势的质量力所产生的压强之和。,帕斯卡定律,式中p0是单独的一项，（U-U0）是由流体的密度和质量力的势函数所决定的，与p0无关。 因此，p0若有所增减，则平衡的流体中各点的压强也随之有同样大小的数值变化，即在平衡的不可压缩均质流体中，由于部分边界面上的外力作用而产生
8、的压强将均匀地传递到该流体的各点上。 帕斯卡定律 该定律在水压机、水力起重机等水力机械中有广泛的应用。,充满液体的连通器内，一点的压强变化可瞬间传递到整个连通器内,当作用力很大时，液体内部可近似为等压空间。,等压面,取一微元矢量,欧拉平衡微分方程,与欧拉平衡微分方程点乘,等压面,取一微元矢量,与欧拉平衡微分方程点乘,说明：质量力一定时，静压强的增量取决于坐标增量。,压强差公式,等压面,1、等压面：流体中压强相等的点组成的面。,2、等压面特性,（1）等压面就是等势面 等压面，p常数 dpdU0.因为dU0 势函数U是为常数。,（2）等压面垂直于质量力的合力 等压面方程,推理：式中dx、dy、dz
9、可设想为流体质点在等压面上的任一微小位移在相应坐标轴上的投影。 因此，当流体质点沿等压面移动距离ds时，质量力所作的微功为零。因质量力和位移ds都不为零，所以，必然是等压面和质量力正交。,数学证明：,作用：已知质量力的方向 确定等压面的形状,（3）等压面不能相交 （4）两种互不相溶的流体平衡时分界面为等压面。,分界面上任一点处两种流体质量力及质量势力均相等。,由于12，则dp0，分界面为等压面。,（5）（同一种、相互连通、绝对静止流体）水平面为等压面。,流体平衡的条件,由欧拉平衡微分方程，对坐标交错求导，可得,根据场论，此式表明质量力场是有势场，存在势函数(x, y, z)，且,由压强差公式,
10、（不可压缩）,流体平衡的条件,结论： 质量力有势是不可压缩流体静止的必要条件； 对于不可压缩流体，等压面与等势面重合。,流体静力学基本方程,1、推导,（1）坐标： 将直角坐标原点选在自由面上，z轴垂直向上，液面上的压力为P0. （2）作用力： 作用在单位质量流体上的质量力在各坐标轴方向的分量：,由流体平衡微分方程式,可以得到：,对于不可压缩流体，为常数，积分上式，可得,静力学基本方程（形式之一）,形式之二：,自由表面上z0，pp0，一般用点在液面以下深度h代替z更为方便。代入上式得：,静力学基本方程,形式之一：,（1）静止液体中任一点压力p等于液面压力p0与从该点到液体自由表面液柱所产生的压强
11、gh之和。,推广：已知某点压力求任一点的压力值。,上式中h为两点间深度差。,2、 说明：,（2）在静止流体中，压力 随深度按线性规律变化。 压强分布图：用几何图形表示受压力面上压强随液深而变化的图，称为压强分布图。,大小：静力学基本方程 方向：垂直并且指向作用面,大小：静力学基本方程 方向：垂直并且指向作用面,流体静力学基本方程,公式推导 取微元高度：dZ 向上的力：PA 向下的力：（P+dP）A 重力：mg = gAdZ 三力之和为零：PA - (P+dP)A - gAdZ=0 即 dP + gdZ = 0 gz + P = 常数 流体静力学基本方程,流体静力学基本方程,1. 应用条件：连续
12、、静止、均一的不可压缩性流体； 2. 若P1=P0，P2=P；则P=P0 + gh，当P0一定时， h增加，P增加，即：静止流体中任一点的压力与流体密度和所处高度h有关，与容器形状无关； 3. P0变化时，会以同样大小传递到液体内部帕斯卡原理；应用：水压机、液压传动装置 4. 静止、连续、同一流体、同一水平面上，各点的压力相等，即：等压面为一水平面连通器原理。,流体静力学基本方程,若积分限取距离基准水平面高度为Z1和Z2的两个平面，且作用于这两个平面上的压强分别为P1和P2，则得： （P2 - P1）/g = Z1 - Z2 即： P2 = P1 + g(Z1 - Z2) = P1 + gZ
13、P2 = P0 + gh,应用：斜管式压力计,P1,主要用于测量微小的压力、负压和压差。为了减少读数的相对误差，拉长液柱，将测量管倾斜放置。,流体静力学基本方程,质量力仅为重力,设不可压缩，积分,对图中1、2点,由压强差公式,流体静力学基本方程,适用条件：同一容器、同种不可压缩重力流体。,流体静力学基本方程,物理意义,不可压缩的重力流体处于平衡状态时，其中任意点上的单位重量流体的总势能为常数。,单位重量流体的重力势能,单位重量流体的压强势能,单位重量流体的总势能,流体静力学基本方程,几何意义,不可压缩的重力流体处于平衡状态时，静水头线或计示静水头线为平行于基准面的水平线。,位置水头,压强水头,
14、静水头线,计示静水头线,总水头,流体静力学基本方程,物理意义,位置水头Z表示单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称比未能。 具有长度单位，基准面不同，值也不同。,位置水头,压力水头,总水头,压力水头表示单位重量流体从某压力为大气压算起所具有的压力势能，简称比压能。 具有长度单位，不受基准面影响。,流体静力学基本方程,物理意义,比压能是一种潜在的势能。 如果流体中某点的压力为p，在该处接一测压管后，在压力作用下，液面会上升高度 ，也就是把压力势能变为位置势能。 测压管水头 就代表了总势能。,在静止流体中，单位重量流体的总势能是恒定的。,重力场中静止液体内的静压强,对淹深为h的a点和压
15、强为p0的自由液面列静力学基本方程,表明不可压缩的重力流体处于平衡状态时：,静压强随深度线性分布； 静压强包括自由表面压强和液重产生的压强； 自由表面的压强以相同大小传到液体内部任意点。,压强的单位,垂直作用于单位面积上的力： 国际单位制：N/m2（Pa） bar 工程单位制：kgf/cm2 液柱高：mH2O mmHg 大气压：工程大气压 标准大气压 1atm=1.013105Pa=10.33mH2O=760mmHg 1at=9.81104Pa=10mH2O=735.6mmHg=1kgf/cm2 1巴105Pa,压强的计量,绝对压强 以完全真空为基准计量的压强。,计示压强 以大气压为基准计量的
16、压强，也称为相对压强或表压强。,真空 绝对压强低于大气压时，负的计示压强。,在兰州操作的苯乙烯真空蒸馏塔顶的真空表读数为80103Pa，在天津操作时，若要求塔内维持相同的绝对压强，真空表的读数应为多少？ 已知Pa.兰州=85.3103Pa；Pa.天津=101.33103Pa,解： 兰州： 绝压=大气压 - 真空度 =85.3103 - 80103 = 5300 Pa 天津： 真空度=大气压 - 绝压 =101.33103 - 5.3103 = 9.603104 Pa,某离心泵进、出口压力分别为120 mmHg（真空度）和1.2 kgf/cm2（表压），试求进、出口处的绝对压力分别为多少Pa？当地大气压为750 mmHg。,解： 进口处（P1）： 绝压=大气压 - 真空度 P1 = 750 - 12
