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1、1,4-7能态密度和费米面一、能态密度函数,2,一、能态密度函数,1、能态密度函数定义： 在EE+ E能量范围内的能态数目用Z表示，则能态密度函数定义为：,单位体积能态密度g(E)：,3,一、能态密度函数,.Z的确定,在 空间中作 和 等能面，在两等能面之间状态数即为Z。而 空间中分布是均匀的，密度为 ，即：,(1)dk表示两等能面之间的垂直距离; (2)ds表示面积元。,4,一、能态密度函数,.关于E,由 的含义（表示沿法线方向能量的改变率）可知：,.由此得能态密度N(E)一般表达式：,5,关于能态密度的计算,公式：,例一、自由电子能态密度(E)。 例二、若已知，求g(E)。 例三、简立方晶
2、格的s带对应的能态密度N(E)。,6,例一、自由电子能态密度(E),解：自由电子的能量本征值：,自由电子等能面为球面，其半径为：,7,例一、自由电子能态密度(E),分析()关系,近自由电子近似的能态密度,8,近自由电子近似的等能面,第一布里渊区内：,认为从原点向外，等能面应该基本上保持为球面,接近于布里渊区边界：,等能面将向外凸出,当EAEEC时：,等能面将不再是完整的闭合面，而是分割在各个顶角附近的曲面。,9,近自由电子能态密度(E),(E)关系可表示如下：,(1)EEA时，由于等能面开始残破，面积下降，尤其是到达EC时，等能面缩小为几个顶角点，所以由EA到EC过程，N(E)将不断下降到零。
3、,10,近自由电子能态密度(E),(4)当E达到并超过第二布里渊区的最低能量EB时，能态密度N(E)将从EB开始，由0迅速增大。 注：右图为能带无交叠的情况。,11,近自由电子能态密度(E),能带有交叠情况,12,例二,例二、若已知，求g(E)。,解：等能面方程：,13,例二,能量为E的等能面内的状态数记作Z：,14,例二,引申情况：当m1=m2=m3时，等能面为球面； 当m1=m2m3时，等能面为椭球面。,15,例三,计算简立方晶格的s带对应的能态密度N(E),解：简立方晶格的s带能带函数,计算公式：,16,例三,所以能态密度可表示为：,17,紧束缚近似等能面,能带底附近等能面为球面；E增大
4、，等能面偏离球面，E越增大，偏离越明显（P218图4-40）。,18,例三,(1)能带底E=E0-6J1； (2)当E=E0-2J1时，出现微商不连续奇点，这时恰好等能面与布里渊区界面相交，等能面如P219图4-42所示； (3)E=E0时，为能带的中点，N(E)函数以E0为中心，上下对称，等能面如P219图4-43所示。,能态密度函数图（P219图4-41）,19,例三,能态密度的临界点（范霍夫奇点）,En(k)是k空间的周期函数，因此每个周期性单元中必定存在有 的点，例如：En(k)的极大值和极小值点； 的鞍点等等，而且这些点是出现在布里渊区的高对称点处。,20,例三,以简立方晶格为例，说
5、明紧束缚近似下的s能带的能态密度的临界点恰为布区的高对称点。,点 是极小值点； R点 是极大值点； X点 是一个鞍点布区侧面中心。,21,二、费米面,能量是k的函数，费米分布描述电子按能量的分布。,在k空间中画出等能面，电子按费米函数分布在各等能面上，按泡利原理，由低到高，填充能量尽可能低的电子态。,若固体中有N个电子，在k空间填充了半径为kF的球，球内包括的状态数恰好等于N，即：,一般称这个球为费米球，kF称为费米球半径，球的表面称费米面。,22,费米面定义,指当T0时，k空间中占有电子和不占有电子区域的分界面。这里 费米面的能量值称为费米能级EF； 对应的电子动量称为费米动量 ； kF称为
6、费米球半径； 称为费米速度；,费米面就是k空间中能量为EF的等能面。,23,费米面,费米能级EF,费米能级数值由电子密度决定。当T=0k时，从E=0到E=EF范围内对g(E)积分值应等于电子密度n，即：,费米球半径kF,N个电子在k空间填充半径为kF的费米球，费米球内包括的状态数恰好等于N，即,24,关于“费米面”,（1）绝对零度下，费米面将填充能级和未填充能级分隔开； （2）费米面形状基本上不随温度变化； 温度升高时，只有少量电子从费米面内侧附近激发到外侧附近，费米能级本身很少随温度变化，因此，费米面成为金属的一个物理特性。,25,费米面的重要性在于金属的物理性质由费米面的形状确定,（1）电
7、子热容是由费米面附近电子激发所引起； （2）功函数是费米面附近的电子逸出金属所必须作的功； （3）接触电势差是费米面附近的电子流动产生的； （4）讨论金属电导问题时,认为电流是由于费米面附近能态占据状况的变化所引起等。,26,金属的功函数与接触电势差,功函数：WA，WB；,27,接触电势差： VA-VB=(WB-WA)/q,28,例：自由电子费米能级EF,29,自由电子费米能级EF,若定义电子球半径 (由 得到); 氢原子玻尔半径 ;,30,自由电子的费米面,31,电子在晶体中按能级是如何排布的呢？,电子是费密子，它的排布原则有以下两条：,（1） 服从泡里不相容原理,排满电子的能带称为满带；,
8、排了电子但未排满的称为未满带（或导带）；,未排电子的称为空带；,（有时也称为导带）；,两个能带之间的禁带是不能排电子的。,（2） 服从能量最小原理,32,导体和绝缘体 （conductor &insulator）,它们的导电性能不同， 是因为它们的能带结构不同。,晶体按导电性能的高低可以分为,33,三、晶体能带的填充情况,第一种情况：只有满带和空带,电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各带全部是空的。 最高的满带价带；最低的空带导带（此时导带为空带） ； 价带最高能级（价带顶）与导带最低能级（导带底）之间的能量范围带隙。 带隙宽度大(约10eV)绝缘体； 带隙宽度小(约1eV)半导体。,34,
9、第一种情况：只有满带与空带图示,35,晶体能带的填充情况,除去完全被电子充满的一系列能带（即满带）外，还有只是部分被电子填充的能带(即未满带)，常被称为导带（此时，导带为不满带）。,第二种情况：除满带和空带，还存在未满带,36,导体,导体,导体,半导体,绝缘体,Eg,Eg,Eg,37,在外电场的作用下，大量共有化电子很 易获得能量，集体定向流动形成电流。,从能级图上来看，是因为其共有化电子 很易从低能级跃迁到高能级上去。,E,导体,38,从能级图上来看，是因为满带与空带之间 有一个较宽的禁带（Eg 约36 eV）， 共有化电子很难从低能级（满带）跃迁到 高能级（空带）上去。,在外电场的作用下，
10、共有化电子很难接 受外电场的能量，所以形不成电流。,的能带结构,满带与空带之间也是禁带， 但是禁带很窄（E g 约0.12 eV )。,绝缘体,半导体,39,绝缘体与半导体的击穿,当外电场非常强时，它们的共有化电子还是 能越过禁带跃迁到上面的空带中的。,绝缘体,半导体,导体,40,例一、碱金属是电子填充情况,以Na晶体为例，来说明电子填充情况。 结构：体心立方晶格，每个原胞有一个原子。 电子组态：1s22s22p63s1 分析：由1s22s22p6组态能级扩展的五个能带正好被十个电子所填满（即满带），剩下一个3s带，只被一个3s电子填充到一半（即半满带）。这时若将钠晶体置于一外电场中，这个3s
11、带中的电子将在外电场作用下，获得加速，跃入能量较高的空的能态位置上去。从而在布里渊区中建立一个沿电场方向不对称的电子占据态分布，导致沿外场方向出现电流。,41,例一、碱金属是电子填充情况,而在满带中的电子，不存在上述构成电流的条件，由于中心布里渊区的对称性，存在等量的+k和-k电子，其贡献的电流互相抵消，即使在外电场作用下也互相抵消。 总结：钠晶体是良导体的原因在于其电子结构中存在半满带。,金属（碱金属，贵重金属等）,42,例二、IIA族二价碱土金属,以Mg元素为例来分析IIA族的碱土金属的电子填充情况。 电子组态：1s22s22p63s2 分析：1s2，2s2，2p6，3s2等原子能级扩展的
12、4个电子能带是满带，而且3s带也是一个满带，它正好容纳2个3s电子（对每个原子而言）。外电场作用下不能激发电流，论理应是非导体，但事实Mg却是良导体(认为3s 带和更高的3p带有交叠)。,43,例二、IIA族二价碱土金属,原因在于3s和3p能级十分接近，扩展后的3s和3p能带将发生部分重叠，因此3s带尚未填满时，就会有部分电子已进入3p带中，即3s和3p能带都成为未满带。在外电场作用下，则会激发而产生电流。,金属（碱土金属等）,44,k1方向上的3p带底能量低于k2方向的3s带能量，导致部分3s电子占据3p带中较低的状态，两个带都变成未充满的带。,45,例三、半金属,与碱土金属的电子填充情况相
13、比，二者的区别在于半金属的能带交叠很小，其导电性比碱土金属还低几个数量级，故称为半金属。但其本质上仍是金属，费米能级处在能带重叠部分里。 例如，与三价铝同族的镓，铟，铊； 三价铝是优良金属，但它们的导电性与铝相比却相差很大，这是由于受d层电子的影响。,46,例三、半金属,又如：VA族的砷，锑，铋等等。 结构分析：它们是以双原子基胞构成复式晶格，每个基胞中价电子数是偶数（10），理论上最外带应该是满带，属于非导体，但由于它们同碱土金属一样，价电子带与再上面的一个能带少量重叠，只是重叠很小很小，导电性比碱土金属还低几个数量级，故称为半金属。,47,例四、四价的碳，硅，锗，锡等,以碳为例来说明其电子填充情况。 碳电子组态：1s22s22p2 (1)石墨结构 其sp2杂化轨道扩展成为被禁带所隔开的两个能带，而2pz带和sp2能量较高的带有微小重叠，将有小部分电子进入2pz带，而在2pz带留下相应空位，使得石墨成为半金属，具有一定导电性。,48,例四、四价的碳，硅，锗，锡等,(2)金刚石结构典型的非导体（绝缘体） 其sp3杂化轨道能级扩展为能隙为6eV的两个能带，而2s2和2p2电子正好填满能量较低的一个带（满带）。上面的带为全空状态（空带）。除非外加电场足够大得使介质被击穿，结构被破坏，否则晶体中不能产生电流。,绝缘体,
