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1、第四章 4.1 圆的方程,4.1.1圆的标准方程,1.掌握圆的定义及标准方程; 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程,会用待定系数法求圆的标准方程.,问题导学,题型探究,达标检测,学习目标,问题导学 新知探究 点点落实,知识点一圆的标准方程,思考1确定一个圆的基本要素是什么? 答案圆心和半径. 思考2在平面直角坐标系中,如图所示,以(1,2)为圆心,以2为半径的圆能否用方程(x1)2(y2)24来表示? 答案能. 1.以点(a,b)为圆心,r(r0)为半径的圆的标 准方程为(xa)2(yb)2r2. 2.以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程为x2y2r2.,答案,知识点二点与圆的位置关系,思考
2、点A(1,1),B(4,0), 同圆x2y24的关系 如图所示,则|OA|,|OB|,|OC|同圆的半径r2是什么关系? 答案|OA|2,|OC|2. 点M(x0,y0)与圆C:(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断方法,答案,返回,题型探究 重点难点 个个击破,类型一求圆的标准方程,例1(1)以两点A(3,1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是() A.(x1)2(y2)210B.(x1)2(y2)2100 C.(x1)2(y2)225D.(x1)2(y2)225 解析AB为直径, AB的中点(1,2)为圆心,,该圆的标准方程为(x1)2(y2)225.,D,解析答案,(2)与y轴相切,
3、且圆心坐标为(5,3)的圆的标准方程为 _.,解析圆心坐标为(5,3),又与y轴相切, 该圆的半径为5, 该圆的标准方程为(x5)2(y3)225.,(x5)2(y3)225,解析答案,(3)过点A(1,1),B(1,1)且圆心在直线xy20上的圆的标准方程是_.,解析答案,反思与感悟,解析 方法一设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0),,圆的标准方程为(x1)2(y1)24.,由题意知,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,方法二由几何关系知,圆心在AB的垂直平分线上, AB的中点为(0,0),AB的斜率k1, 则AB的垂直平分线为y0 x0.,则所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.
4、,答案 (x1)2(y1)24,反思与感悟,(1)直接法 根据已知条件,直接求出圆心坐标和圆的半径,然后写出圆的方程. (2)待定系数法 根据题意,设出标准方程; 根据条件,列关于a,b,r的方程组; 解出a,b,r,代入标准方程.,反思与感悟,(3)常见的几何条件与可以转化成的方程 圆心在定直线上转化为圆心坐标满足直线方程. 圆过定点转化为定点坐标满足圆的方程,或圆心到定点的距离等于半径. 圆与定直线相切转化为圆心到定直线的距离等于圆的半径,或过切点垂直于切线的直线必过圆心. 弦的垂直平分线经过圆心.,跟踪训练1求下列圆的标准方程: (1)圆心在y轴上,半径长为5,且过点(3,4); 解设圆
5、心(0,b),,得b0或8, 所以圆的标准方程为x2y225或x2(y8)225.,解析答案,(2)已知圆和直线x6y100相切于点(4,1),且经过点(9,6); 解因为圆C和直线x6y100相切于点(4,1),,其方程为y16(x4),即y6x23.,解析答案,即5x7y500上,,解得圆心坐标为(3,5),,故所求圆的标准方程为(x3)2(y5)237.,(3)圆过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上. 解线段AB的垂直平分线为y22(x3), 令y0,则x2, 圆心坐标为(2,0),,圆的标准方程为(x2)2y210.,解析答案,类型二点与圆的位置关系,例2(1)点P(m2 ,
6、 5)与圆x2y224的位置关系是() A.在圆内 B.在圆外 C.在圆上 D.不确定,解析由(m2)252m42524,点P在圆外.,解析答案,(2)已知点M(5 1, )在圆(x1)2y226的内部,则a的取值范围是_.,解得0a1.,B,0,1),反思与感悟,反思与感悟,(1)判断点与圆的位置关系的方法 只需计算该点与圆的圆心距离,与半径作比较即可; 把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的符号,并作出判断. (2)灵活运用 若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数范围.,跟踪训练2已知点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的外部,则a的取值范围是_.,解
7、析由题意知, (1a)2(1a)24, 2a220, 即a1,,解析答案,(,1)(1,),类型三与圆有关的最值问题,例3已知实数x,y满足方程(x2)2y23.,解析答案,当直线ykx与圆相切时,斜率k取最大值和最小值,,(2)求yx的最大值和最小值; 解 设yxb,即yxb, 当yxb与圆相切时,纵截距b取得最大值和最小值,,解析答案,(3)求x2y2的最大值和最小值. 解 x2y2表示圆上的点与原点距离的平方,由平面几何知识知, 它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值, 又圆心到原点的距离为2,,反思与感悟,解析答案,反思与感悟,与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型
8、: (1)形如u 形式的最值问题,可转化为过点(x,y)和(a,b)的动直线斜率的最值问题. (2)形如laxby形式的最值问题,可转化为动直线 截距的最值问题. (3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题.,解由题意知x2y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方,显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时,其平方也相应取得最大值和最小值. 原点(0,0)到圆心(1,0)的距离为d1,,解析答案,(1)x2y2的最值;,返回,(2)xy的最值. 解令yxz并将其变形为yxz, 问题转化为斜率为1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截
9、距的最值. 当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值,,解析答案,1,2,3,达标检测,4,解析答案,1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是() A.(x1)2(y1)21B.(x1)2(y1)21 C.(x1)2(y1)22D.(x1)2(y1)22,圆心坐标为(1,1), 所以圆的标准方程为(x1)2(y1)22.,D,1,2,3,4,解析答案,2.若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部,则实数a的取值范围是() A.11或a1 D.a1 解析点(1,1)在圆的内部, (1a)2(1a)24, 1a1.,A,1,2,3,4,3.若实数x,y满足(x5)2(y12)21
10、42,则x2y2的最小值是_. 解析x2y2表示圆上的点(x,y)与(0,0)间距离的平方, 由几何意义可知,,1,解析答案,1,2,3,4,解析答案,4.圆心在直线x2上的圆C与y轴交于两点A(0,4),B(0,2),则圆C的方程为_. 解析由题意知圆心坐标为(2,3),,圆C的方程为(x2)2(y3)25.,(x2)2(y3)25,规律与方法,1.判断点与圆位置关系的两种方法 (1)几何法:主要利用点到圆心的距离与半径比较大小. (2)代数法:主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断: 点P(x0,y0)在圆C上(x0a)2(y0b)2r2; 点P(x0,y0)在圆C内(x0a)2(y0b)2r2.,2.求圆的标准方程时常用的几何性质 求圆的标准方程,关键是确定圆心坐标和半径,为此常用到圆的以下几何性质: (1)弦的垂直平分线必过圆心. (2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心. (3)圆心与切点的连线长是半径长. (4)圆心与切点的连线必与切线垂直. 3.求圆的标准方程常用方法: (1)利用待定系数法确定a,b,r.(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径.,返回,