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1、第二章 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系,2.1.1 平 面,1.掌握平面的表示法,点、直线与平面的位置关系; 2.掌握有关平面的三个公理; 3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.,问题导学,题型探究,达标检测,学习目标,问题导学 新知探究 点点落实,知识点一平面,思考几何里的“平面”有边界吗?用什么图形表示平面? 答案 没有. 平行四边形.,1.平面的概念 (1)平面是一个不加定义,只需理解的原始概念. (2)立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的.如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象.,答案,答案,2.平面的画法,3.平面的表示方法 (1)用希
2、腊字母表示,如平面,平面,平面. (2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示,如平面ABCD. (3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示,如平面AC,平面BD.,平行四边形,2,虚线,45,知识点二点、直线、平面之间的关系,思考直线和平面都是由点组成的,联系集合的观点,点和直线平面的位置关系,如何用符号来表示?直线和平面呢? 答案点和直线,平面的位置关系可用数字符号“”或“”表示, 直线和平面的位置关系,可用数学符号 “”或“”表示.,答案,点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达,Al,Al,A,答案,答案,A,l,l,l,知识点三平面的基本性质,思考1直线l与平面有且仅
3、有一个公共点P.直线l是否在平面内?有两个公共点呢? 答案前者不在,后者在.,答案,思考2观察右图,你能得出什么结论? 答案不共线的三点可以确定一个平面.,思考3观察正方体ABCDA1B1C1D1(如图所示),平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点A、B吗? 答案不是,平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.,返回,题型探究 重点难点 个个击破,类型一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示,例1如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系. 解在(1)中,l,aA,aB. 在(2)中,l,a,b,alP,blP.,反思与感悟,解析答案,反思与感悟,借助集合中的符号来表
4、示几何中点、线、面的关系就是几何中的符号语言,符号语言的运用简洁明了地表达了几何中的各元素的关系,比文字语言更适合于几何关系的表示,因此,要逐步适应并掌握.,跟踪训练1若点M在直线a上,a在平面内,则M,a,之间的关系可记为() A.Ma,a B.Ma,a C.Ma,a D.Ma,a,解析点与直线的关系为元素与集合的关系,能用“”,直线与平面的关系为集合间的关系,不能用“”.,解析答案,B,类型二平面性质的应用 例2已知:如图所示,l1l2A,l2l3B,l1l3C. 求证:直线l1、l2、l3在同一平面内.,解析答案,证明方法一(纳入平面法) l1l2A,l1和l2确定一个平面. l2l3B
5、,Bl2. 又l2,B. 同理可证C. 又Bl3,Cl3,l3. 直线l1、l2、l3在同一平面内.,解析答案,反思与感悟,方法二(辅助平面法) l1l2A,l1、l2确定一个平面. l2l3B,l2、l3确定一个平面. Al2,l2,A. Al2,l2,A. 同理可证B,B,C,C. 不共线的三个点A、B、C既在平面内,又在平面内. 平面和重合,即直线l1、l2、l3在同一平面内.,反思与感悟,反思与感悟,证明点、线共面问题,一般先由部分点线确定一个平面,再证其他的点和线在所确定的平面内.,跟踪训练2已知abc,laA,lbB,lcC. 求证:a,b,c和l共面.,证明如图, ab,a与b确
6、定一个平面. laA,lbB,A,B. 又Al,Bl,l. bc,b与c确定一个平面,同理l. 平面与都包含l和b,且blB, 由公理2的推论知:经过两条相交直线有且只有一个平面, 平面与平面重合, a,b,c和l共面.,解析答案,例3已知ABC在平面外,ABP,ACR,BCQ,如图所示. 求证:P、Q、R三点共线.,解析答案,反思与感悟,证明方法一ABP, PAB,P平面. 又AB平面ABC,P平面ABC. 由公理3可知:点P在平面ABC与平面的交线上, 同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上. P、Q、R三点共线.,解析答案,反思与感悟,方法二APARA, 直线AP与直线AR确定平面A
7、PR. 又ABP,ACR, 平面APR平面PR. B平面APR,C平面APR, BC平面APR. QBC,Q平面APR, 又Q,QPR, P、Q、R三点共线.,反思与感悟,反思与感悟,证明多点共线的方法是利用公理3,只需说明这些点都是两个平面的公共点,则必在这两个面的交线上.也可考虑为点P、R确定一条直线,Q也在这条直线上,这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法.,跟踪训练3如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:CE、D1F、DA三线交于一点.,解析答案,返回,返回,证明如图,连接EF,D1C,A1B. E为AB的中点,F为AA1的中点,,E,
8、F,D1,C四点共面, D1F与CE相交于点P. 又D1F平面A1D1DA,CE平面ABCD. P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点. 又平面A1D1DA平面ABCDDA, 根据公理3,可得PDA, 即CE、D1F、DA相交于一点.,1,2,3,达标检测,4,5,解析答案,1.若A平面,B平面,C直线AB,则() A.C B.C C.AB D.ABC 解析因为A平面,B平面,所以AB. 又因为C直线AB,所以C.,A,1,2,3,4,5,解析答案,2.下列说法正确的是() A.三点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.四边形是平面图形 D.两条相交直线可以确定一个平
9、面 解析A选项中,三点若在同一直线上就不能确定一个平面; B中,这一点在直线上不能确定一个平面; 空间四边形ABCD就不是平面图形,故C错.,D,1,2,3,4,5,3.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.,答案,(1)A,a_. (2)a,P且P_. (3)a,aA_. (4)a,c,b,abcO_.,C,D,A,B,1,2,3,4,5,4.空间两两相交的三条直线可以确定的平面数是_.,1或3,答案,1,2,3,4,5,解析答案,5.如图,已知D,E是ABC的边AC,BC上的点,平面经过D,E两点,若直线AB与平面的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是_. 解析因为PAB,
10、AB平面ABC, 所以P平面ABC. 又P,平面ABC平面DE, 所以P直线DE.,P直线DE,规律与方法,1.三个公理的作用:公理1判定直线在平面内的依据; 公理2判定点共面、线共面的依据; 公理3判定点共线、线共点的依据. 2.证明几点共线的方法:先考虑两个平面的交线,再证有关的点都是这两个平面的公共点.或先由某两点作一直线,再证明其他点也在这条直线上. 3.证明点线共面的方法:先由有关元素确定一个基本平面,再证其他的点(或线)在这个平面内;或先由部分点线确定平面,再由其他点线确定平面,然后证明这些平面重合.注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用. 4.证明几线共点的方法:先证两线共点,再证这个点在其他直线上,而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线.,返回,