《【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)[整理]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)[整理]（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三角形三角形“四心四心”向量形式的充要条件应用向量形式的充要条件应用 在学习了平面向量一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有 关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下： 一一知识点总结知识点总结 1）O 是 ABC 的重心 0OCOBOA ; 若 O 是 ABC 的重心，则 ABCAOBAOCBOC S 3 1 SSS 故0OCOBOA ; 为的重心. 1( ) 3 PGPAPBPC GABC 2）O 是 ABC 的垂心 OAOCOCOBOBOA ; 若 O 是 ABC (非直角三角形)的垂心，则 CtanBtanAtanSSS AOBAOCBO
2、C ： 故 0OCCtanOBBtanOAAtan 3）O 是 ABC 的外心 |OC|OB|OA| (或 222 OCOBOA ) 若 O 是 ABC 的外心 则 C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSS AOBAOCBOC ： 故 0OCC2sinOBB2sinOAA2sin 4）O 是内心 ABC 的充要条件是 0) |CB| CB |CA| CA (OC) |BC| BC |BA| BA (OB) AC AC |AB| AB (OA 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 CA,BC,AB 的单位向量为 321 e ,e ,e ，则刚才 O 是 AB
3、C 内心的充要条件可以写成： 0)ee(OC)ee(OB)ee(OA 322131 O 是 ABC 内心的充要条件也可以是0OCcOBbOAa 若 O 是 ABC 的内心，则 cbaSSS AOBAOCBOC ： 故0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa 或或 ; 的内心;|0AB PCBC PACA PBP ABC 向量所在直线过的内心(是的角平分()(0) | ACAB ABAC ABCBAC 线所在直线)； 二二范例范例 (一)将平面向量与三角形内心结合考查 例 1O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足，则 P 点的轨迹一定通过的（
4、）)( AC AC AB AB OAOP, 0ABC （A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心 A C B 1 e C 2 e C P B C H A 图 6 解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又 AB AB AB AB AC 21 ee 和 ，则原式可化为，由菱形的基本性质知 AP 平分，那么在APOAOP)( 21 eeAPBAC 中，AP 平分，则知选 B.ABCBAC 点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生” ，首先是什么？没见过！想想，一个非 AB AB 零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向 量的基本定理、菱形的
5、基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一 起，解这道题一点问题也没有。 (二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理垂心定理” 例 2 H 是ABC 所在平面内任一点，点 H 是ABC 的垂心.HAHCHCHBHBHA 由,ACHBACHBHAHCHBHCHBHBHA00)( 同理，.故 H 是ABC 的垂心. （反之亦然（证略） ）ABHC BCHA 例 3.(湖南)P 是ABC 所在平面上一点，若，则 P 是ABC 的（DPAPCPCPBPBPA ） A外心B内心C重心D垂心 解析:由.0PCPBPBPAPCPBPBPA得 即0, 0)(CAPBPCPAPB即 则
6、ABPCBCPACAPB,同理 所以 P 为的垂心. 故选 D.ABC 点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义 等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。 变式：变式：若 H 为ABC 所在平面内一点，且 222222 ABHCCAHBBCHA 则点 H 是ABC 的垂心垂心 证明: 2222 BCCAHBHA BACBCABAHBHA)()( 0 0BACBCAHBHA)(得 即0 0BAHCHC)( HCAB 同理，HBAC HABC 故 H 是ABC 的垂心 (三)将平面向量
7、与三角形重心结合考查“重心定理重心定理” 例 4 G 是ABC 所在平面内一点，=0点 G 是ABC 的重GCGBGA 心. 证明证明 作图如右，图中GEGCGB 连结 BE 和 CE，则 CE=GB，BE=GCBGCE 为平行四边形D 是 BC 的 中点，AD 为 BC 边上的中线. 将代入=0，GEGCGBGCGBGA 得=0，故 G 是ABC 的重心.（反之亦然（证略） ）EGGAGDGEGA2 例 5 P 是ABC 所在平面内任一点.G 是ABC 的重心.)( 3 1 PCPBPAPG 证明证明 CGPCBGPBAGPAPG)()(3PCPBPACGBGAGPG G 是ABC 的重心
8、=0=0，即GCGBGACGBGAGPCPBPAPG3 由此可得.（反之亦然（证略） ）)( 3 1 PCPBPAPG 例 6 若 为内一点， ，则 是 的（ ）OABC0OAOBOC OABC A内心 B外心 C垂心 D重心 解析：由得，如图以 OB、OC 为相邻两边构作平行四边形，则0OAOBOC OBOCOA ，由平行四边形性质知，同理可证其它两边上的这个性OBOCOD 1 2 OEOD 2OAOE 质，所以是重心，选 D。 点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是 三角形中线的内分点，所分这比为。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四
9、 2 1 边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。 变式：变式：已知分别为的边的中点则DEF，ABCBCACAB，ADBECF 0 证明：证明： GCCF GBBE GAAD 2 3 2 3 2 3 )( 2 3 GCGBGACFBEAD 0GCGBGA ADBECF 0 变式引申：变式引申：如图 4，平行四边形的中心为，为该平面上任意一点，ABCDOP 则 1 () 4 POPAPBPCPD 证明：证明：， 1 () 2 POPAPC 1 () 2 POPBPD 1 () 4 POPAPBPCPD 点评：点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则， 证法 2 运用了向量加法的
10、平行四边形法则 （2） 若与重合，则上式变PO OAOBOCOD 0 0 A B C E D O AB(x1,0 ) C(x2,y2) y x H Q G D E F (四)将平面向量与三角形外心结合考查 例 7 若 为内一点，则 是 的（ ）OABCOAOBOC OABC A内心 B外心 C垂心 D重心 解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故 是 的外心 ，选 B。OABCOABC 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查 例 8已知向量，满足条件+=0，|=|=|=1， 1 OP 2 OP 3 OP 1 OP 2
11、OP 3 OP 1 OP 2 OP 3 OP 求证求证 P1P2P3是正三角形.（数学第一册（下） ，复习参考题五 B 组第 6 题） 证明证明 由已知+=-，两边平方得=， 1 OP 2 OP 3 OP 1 OP 2 OP 2 1 同理 =， 2 OP 3 OP 3 OP 1 OP 2 1 |=|=|=，从而P1P2P3是正三角形. 21P P 32P P 13P P3 反之，若点 O 是正三角形P1P2P3的中心，则显然有+=0 且|=|=|. 1 OP 2 OP 3 OP 1 OP 2 OP 3 OP 即 O 是ABC 所在平面内一点， +=0 且|=|=|点 O 是正P1P2P3的中心
12、. 1 OP 2 OP 3 OP 1 OP 2 OP 3 OP 例 9在ABC 中，已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H 三点共 线，且 QG:GH=1:2。 【证明】：以 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设 A(0,0)、 B（x1,0） 、C(x2,y2)，D、E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点，则有： 112222 ,0)(,)(,) 22222 xxxyxy EF D （、 由题设可设, 1 324 ,)(,) 2 x QyH xy（、 122 (,) 33 xxy G 212 243 (,)(,) 222 xxy
13、AHxyQFy ， 212 (,)BCxxy 22124 221 4 2 ()0 () AHBC AHBCxxxy y xxx y y 212 223 2212 3 2 ()()0 222 () 22 QFAC xxy QFACxyy xxxy y y 1212212 243 23() (,),) 22 xxxxxxy QHxyy 2 （ 22y 21122122212 3 212212212212 2() (,),) 32332 23()23()1 (,)(,) 632 1 = 3 xxxyxxyxxxy QGy xxxxxyxxxxxy QH 2 22 （ 62y 66y22y 即，故Q、
14、G、H三点共线，且QG：GH=1：2=3QHQG 【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用 向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起， 从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。 例 10若 O、H 分别是ABC 的外心和垂心. 求证求证 .OCOBOAOH 证明证明 若ABC 的垂心为 H，外心为 O，如图. 连 BO 并延长交外接圆于 D，连结 AD，CD. ，.又垂心为 H，ABAD BCCD BCAH ABCH ， AHCD，CHAD， 四边形 AHCD 为平行四边形
15、， ，故.OCDODCAHOCOBOAAHOAOH 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、 重心、垂心的位置关系： （1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线” ； （2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距 离是重心到外心距离的 2 倍。 “欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题. 例 11 设 O、G、H 分别是锐角ABC 的外心、重心、垂心. 求证求证 OHOG 3 1 证明证明 按重心定理 G 是ABC 的重心)( 3 1 OCOBOAOG 按垂心定理 OCOBOAOH 由此可得 .OHOG 3 1 三、与三角形的三、与三角形的“四心四心”有关的高考连接题及其应用有关的高考连接题及其应用 例 1：（2003 年全国高考题）是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足O ，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的（ ）)( AC AC AB AB OAOP, 0 （A）外心 （B）内心
